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美国心理学家桑代克说过，学习的过程是一种渐进的尝试错误的过程。没有错误就没有真正意义上的学习，学生正是在纠正错误的过程中成长起来的。在这个过程中，重要的不是学生是否犯错误，而是教师采取何种态度。教师善待学生的错误，变学生的“错”为课堂的“宝”，利用错误拓展师生共同成长的空间，使课堂中的错误成为一种重要的课程资源，促进学生主动获取知识之间的联系和区别，成为学生主动生成知识的必由之路。
一、错误——真实课堂的伊始
错误是正确的先导，成功的开始。随着新课改的深入，大家对课堂教学、对学生的学习错误有了进一步的认识，无论何时，我们都希望展现真实的课堂，有效是以真实为前提的。课堂上需要面对全体，关注所有，正视各类错误。于是，原汁原味的、未经雕琢的课堂就展现在了大家眼前。学生学习中产生的错误，对激发学生的学习兴趣，唤起学生的求知欲有特殊的作用。因此，有的内容采用纠错式导入会取得良好的效果。下面请看一则教学案例。
师：请同学们回忆一下，长方形的面积是怎样算的？
生：长方形的面积等于长乘宽。
师：很好，那大家猜猜看，平行四边形的面积应该怎样求呢？
生：只要用两条邻边相乘。
师：真的是这样吗？
生：是的。
……
案例评析：在这个教学片段中，教师正是利用学生已有知识的负迁移制造了这样一个错误的开始，并且在实物的动态演示过程中让学生自己发现这种迁移是错误的。教师利用平行四边形的活动框架让学生明白：如果用邻边相乘的话，不管怎样拉动平行四边形框架，因为两条邻边没有发生变化，平行四边形的面积也应该是不变的。实际上，学生亲眼看到这个平行四边形的面积在变得越来越小。每拉动一点，教师都让学生来指一指平行四边形的面积，直至拉到上下边几乎要重合的时候，学生发现面积几乎没有了，但此时两条邻边却仍然是那么长。所以一开始学生的猜想是不成立的。
当学生自己否定自己的时候，脸上却露出了顿悟的快乐，与此同时无疑又产生了一种强烈的探知欲和求知欲，他们必然会有一个新的问题。而且是一个迫切想知道答案的问题，这时候已经不需要老师再来调动他们的积极性了，学生的自我否定和自我质疑正是他们探究新知的原动力和助跑器。于是教师就顺水推舟提问：“那平行四边形的面积应该跟什么有关系呢？”
其实，聪明的学生已经隐约感觉到在拉动平行四边形的过程中，平行四边形变矮了，面积变小了，也就是平行四边形高的变化引起了面积的变化。有了这样一个初步的感知，那知识的建模就变得天时地利了。
二、错误——动态生成的来源
富兰克林有一句名言：垃圾是放错了地方的宝贝。对教学而言，学生的错误同样是放错地方的资源。教师既要能充当废纸篓装下学生的错误，又不要像废纸篓对待废纸一样一倒了之。教师必须对学生的错误及时地作出相关检索，并进行有效分类，对于有效的生成性资源，适时进行价值引领，让学生充分展示思维过程，显露资源中的“闪光点”，顺着学生的思路将“合理成分”激活。正是因为教师对学生错误的悦纳和欣赏，才使学生的好奇心和创造力在“出错”中发出了异常的光彩。因此，作为教师要知道，有时教学中学生的意外错误，反而会给课堂注入新的生命力，使学生茅塞顿开、豁然开朗，使课堂呈现峰回路转、柳暗花明的精彩！
例如，在教学《解决问题的策略——替换》一课时，我首先通过媒体出示3根长彩带共72厘米，提问：“我们可以求什么？”学生说可以求每根长彩带的长度。我肯定了学生的回答之后让学生口答每根长彩带的长度，然后又出示6根短彩带共72厘米，同样提问：“我们可以求什么？”学生说可以求每根短彩带的长度，还是学生口答，一切都很顺利。最后我出示了1根长彩带和6根短彩带共72厘米的图，提问：“现在我们还能求每根长彩带的长度和每根短彩带的长度吗？”实在出乎我的意料，居然好多学生说：“能的。”我一下懵了，但我知道不能简单地用教师所谓的权威来否定学生，更不能因为学生的错误批评学生。学生有错误说明学生在思考，既然课堂上生成了这样的错误，我必定要寻根问底：“为什么？怎么求呢？”学生说：“因为3根短彩带可以合成1根长彩带。”当我在倾听学生的回答的时候，我也在积极思维，我马上追问：“你怎么知道的？”“图上这样画的啊！”“但图上有标明是3根短彩带可以合成1根长彩带吗？”这时候有部分学生笑了，这位学生有一点点尴尬。我马上说：“也就是说3根短彩带可以合成一根长彩带这个条件是你给题目添上去的吧，所以你说能求每根长彩带和每根短彩带的长度，是这样吗？”于是我马上肯定了这位学生：“很好，如果要求每根长彩带和每根短彩带的长度，确实要给这个题目添上一个条件。这位同学真了不起，把掌声送给他。”“那下面我们就按这位同学说的给题目补上这样一个条件。”顿时，那位同学脸上的尴尬全无，取而代之的是一脸的自豪。这位学生的自尊心受到了保护，教学过程又是那样的自然流畅。
三、错误——思维火花的导线
学生由未知到已知，由知之不多到知之甚多，都需要一定的探索、理解、掌握、升华等一系列过程。在探索的过程中，错误是难免的。学生有了错误，教师不要急于评价，出示结论，而要帮助学生弄清出错的原因，从而让学生以积极的态度去承认并改正错误。从客观上保护学生思维的积极性，使学生以积极的态度投入到学习中。与此同时，教师在课堂中巧妙地把学生的错误作为一种智力发展的教学资源，机智、灵活地引导学生从正反两个角度去修正错误，训练学生思维的灵活性和创造性。利用错误，给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度、全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，也是深化认识，培养学生创造性思维的有效办法，同时对学生注意力的集中也起到了不可磨灭的作用。下面请看一则教学案例。
题目：足球的单价是42元，排球的单价是38元，买3个足球和2个排球一共多少元？ 生1：（42 38）×（2 3）=80×5=400（元）。
教师没有马上否定，学生表示无异议。
师：还有不同的解答方法吗？
生2：42×3 38×2=126 76=202（元）。
这时，有学生叫起来：两种结果不一样，第一种是错的。
师：哪里错了？错的原因是什么？
生3：足球和排球的单价不同，数量也不同，不能直接相加。
生4：（认为前面的同学没有表达清楚）足球是3个42元，排球是2个38元，合起来不是5个80元。
生5：还有一种解答方法，把每个足球42元，给每个排球2元，使每个足球和每个排球的单价相同，那么可以列式：40×（3 2） 2=202（元）。
教师关注学生的学习过程，让学生有独立思考的时间，在巡视中捕捉到了“（42 38）×（3 2）”这一错误资源，并把它展示在黑板上。此时，教师没有马上否定，学生认为这是一种新的解答方法，表示无异议。当出现第二种解答方法时，同学们马上显得疑惑起来：怎么两种方法的答案不一样呢？一会儿就有几个同学喊起来：“他做错了。”
于是，学生们把问题的焦点放在对第一种解答方法是否合理的争论上。在激烈的辨错、改错过程中，学生创造出了另一种解答方法：把每个足球的42元给每个排球2元，使足球和排球的单价相同，可以列式为“40×（3 2） 2=202（元）”。正因为教师的宽容、耐心，课堂上允许学生出错，允许学生争论，才激活了学生的思维，迸发出了创新的火花，成为本堂课的一个亮点。
在教学实践中，我们每个老师都经常遇到与上面这则教学案例类似的情况，但不同的处理方法所得到的教学效果却是完全不同的。试想：如果那位老师当时在课堂上轻易地否定了那位学生，而不就错因势利导，那么，这么好的教学契机就会错过，学生就不会获得良好的思维空间，更不会碰撞出这么多的智慧火花。
四、错误——知识获取的始终
没有错误就没有正确，二者是对立统一的。有时教学中甚至应该感谢学生的错误，教师通过引领学生体验错误，反思错误，感悟新方法，达到自主建构数学知识和思想方法的目的。因为有了错误，课堂才显得生气勃勃，充满活力；因为有了错误，师生才更能张扬个性，充满灵性。所以，我在每次课堂结束的时候都会问：“还有问题吗？”解决了这一节课的问题，学生的知识得到了拓展，新的问题又产生了，为了寻求解决新问题的方法，自然就想学习新的知识，数学就是这样周而复始的过程。让学生带着问题进入课堂，又带着同样的问题走出课堂，绝对是教师的失误！让学生带着问题进入课堂，带着更多的问题走出课堂，才是我们追求的境界。
心理学家盖耶认为：“谁不愿意尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”英国心理学家贝恩布奇说过：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”学生的错误能真实地在课堂上反映出来，教师的真实水平也能在课堂上真实地体现出来。一节真实的好课正是有了种种错误，才使教学更精彩。？筻
一、错误——真实课堂的伊始
错误是正确的先导，成功的开始。随着新课改的深入，大家对课堂教学、对学生的学习错误有了进一步的认识，无论何时，我们都希望展现真实的课堂，有效是以真实为前提的。课堂上需要面对全体，关注所有，正视各类错误。于是，原汁原味的、未经雕琢的课堂就展现在了大家眼前。学生学习中产生的错误，对激发学生的学习兴趣，唤起学生的求知欲有特殊的作用。因此，有的内容采用纠错式导入会取得良好的效果。下面请看一则教学案例。
师：请同学们回忆一下，长方形的面积是怎样算的？
生：长方形的面积等于长乘宽。
师：很好，那大家猜猜看，平行四边形的面积应该怎样求呢？
生：只要用两条邻边相乘。
师：真的是这样吗？
生：是的。
……
案例评析：在这个教学片段中，教师正是利用学生已有知识的负迁移制造了这样一个错误的开始，并且在实物的动态演示过程中让学生自己发现这种迁移是错误的。教师利用平行四边形的活动框架让学生明白：如果用邻边相乘的话，不管怎样拉动平行四边形框架，因为两条邻边没有发生变化，平行四边形的面积也应该是不变的。实际上，学生亲眼看到这个平行四边形的面积在变得越来越小。每拉动一点，教师都让学生来指一指平行四边形的面积，直至拉到上下边几乎要重合的时候，学生发现面积几乎没有了，但此时两条邻边却仍然是那么长。所以一开始学生的猜想是不成立的。
当学生自己否定自己的时候，脸上却露出了顿悟的快乐，与此同时无疑又产生了一种强烈的探知欲和求知欲，他们必然会有一个新的问题。而且是一个迫切想知道答案的问题，这时候已经不需要老师再来调动他们的积极性了，学生的自我否定和自我质疑正是他们探究新知的原动力和助跑器。于是教师就顺水推舟提问：“那平行四边形的面积应该跟什么有关系呢？”
其实，聪明的学生已经隐约感觉到在拉动平行四边形的过程中，平行四边形变矮了，面积变小了，也就是平行四边形高的变化引起了面积的变化。有了这样一个初步的感知，那知识的建模就变得天时地利了。
二、错误——动态生成的来源
富兰克林有一句名言：垃圾是放错了地方的宝贝。对教学而言，学生的错误同样是放错地方的资源。教师既要能充当废纸篓装下学生的错误，又不要像废纸篓对待废纸一样一倒了之。教师必须对学生的错误及时地作出相关检索，并进行有效分类，对于有效的生成性资源，适时进行价值引领，让学生充分展示思维过程，显露资源中的“闪光点”，顺着学生的思路将“合理成分”激活。正是因为教师对学生错误的悦纳和欣赏，才使学生的好奇心和创造力在“出错”中发出了异常的光彩。因此，作为教师要知道，有时教学中学生的意外错误，反而会给课堂注入新的生命力，使学生茅塞顿开、豁然开朗，使课堂呈现峰回路转、柳暗花明的精彩！
例如，在教学《解决问题的策略——替换》一课时，我首先通过媒体出示3根长彩带共72厘米，提问：“我们可以求什么？”学生说可以求每根长彩带的长度。我肯定了学生的回答之后让学生口答每根长彩带的长度，然后又出示6根短彩带共72厘米，同样提问：“我们可以求什么？”学生说可以求每根短彩带的长度，还是学生口答，一切都很顺利。最后我出示了1根长彩带和6根短彩带共72厘米的图，提问：“现在我们还能求每根长彩带的长度和每根短彩带的长度吗？”实在出乎我的意料，居然好多学生说：“能的。”我一下懵了，但我知道不能简单地用教师所谓的权威来否定学生，更不能因为学生的错误批评学生。学生有错误说明学生在思考，既然课堂上生成了这样的错误，我必定要寻根问底：“为什么？怎么求呢？”学生说：“因为3根短彩带可以合成1根长彩带。”当我在倾听学生的回答的时候，我也在积极思维，我马上追问：“你怎么知道的？”“图上这样画的啊！”“但图上有标明是3根短彩带可以合成1根长彩带吗？”这时候有部分学生笑了，这位学生有一点点尴尬。我马上说：“也就是说3根短彩带可以合成一根长彩带这个条件是你给题目添上去的吧，所以你说能求每根长彩带和每根短彩带的长度，是这样吗？”于是我马上肯定了这位学生：“很好，如果要求每根长彩带和每根短彩带的长度，确实要给这个题目添上一个条件。这位同学真了不起，把掌声送给他。”“那下面我们就按这位同学说的给题目补上这样一个条件。”顿时，那位同学脸上的尴尬全无，取而代之的是一脸的自豪。这位学生的自尊心受到了保护，教学过程又是那样的自然流畅。
三、错误——思维火花的导线
学生由未知到已知，由知之不多到知之甚多，都需要一定的探索、理解、掌握、升华等一系列过程。在探索的过程中，错误是难免的。学生有了错误，教师不要急于评价，出示结论，而要帮助学生弄清出错的原因，从而让学生以积极的态度去承认并改正错误。从客观上保护学生思维的积极性，使学生以积极的态度投入到学习中。与此同时，教师在课堂中巧妙地把学生的错误作为一种智力发展的教学资源，机智、灵活地引导学生从正反两个角度去修正错误，训练学生思维的灵活性和创造性。利用错误，给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度、全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，也是深化认识，培养学生创造性思维的有效办法，同时对学生注意力的集中也起到了不可磨灭的作用。下面请看一则教学案例。
题目：足球的单价是42元，排球的单价是38元，买3个足球和2个排球一共多少元？ 生1：（42 38）×（2 3）=80×5=400（元）。
教师没有马上否定，学生表示无异议。
师：还有不同的解答方法吗？
生2：42×3 38×2=126 76=202（元）。
这时，有学生叫起来：两种结果不一样，第一种是错的。
师：哪里错了？错的原因是什么？
生3：足球和排球的单价不同，数量也不同，不能直接相加。
生4：（认为前面的同学没有表达清楚）足球是3个42元，排球是2个38元，合起来不是5个80元。
生5：还有一种解答方法，把每个足球42元，给每个排球2元，使每个足球和每个排球的单价相同，那么可以列式：40×（3 2） 2=202（元）。
教师关注学生的学习过程，让学生有独立思考的时间，在巡视中捕捉到了“（42 38）×（3 2）”这一错误资源，并把它展示在黑板上。此时，教师没有马上否定，学生认为这是一种新的解答方法，表示无异议。当出现第二种解答方法时，同学们马上显得疑惑起来：怎么两种方法的答案不一样呢？一会儿就有几个同学喊起来：“他做错了。”
于是，学生们把问题的焦点放在对第一种解答方法是否合理的争论上。在激烈的辨错、改错过程中，学生创造出了另一种解答方法：把每个足球的42元给每个排球2元，使足球和排球的单价相同，可以列式为“40×（3 2） 2=202（元）”。正因为教师的宽容、耐心，课堂上允许学生出错，允许学生争论，才激活了学生的思维，迸发出了创新的火花，成为本堂课的一个亮点。
在教学实践中，我们每个老师都经常遇到与上面这则教学案例类似的情况，但不同的处理方法所得到的教学效果却是完全不同的。试想：如果那位老师当时在课堂上轻易地否定了那位学生，而不就错因势利导，那么，这么好的教学契机就会错过，学生就不会获得良好的思维空间，更不会碰撞出这么多的智慧火花。
四、错误——知识获取的始终
没有错误就没有正确，二者是对立统一的。有时教学中甚至应该感谢学生的错误，教师通过引领学生体验错误，反思错误，感悟新方法，达到自主建构数学知识和思想方法的目的。因为有了错误，课堂才显得生气勃勃，充满活力；因为有了错误，师生才更能张扬个性，充满灵性。所以，我在每次课堂结束的时候都会问：“还有问题吗？”解决了这一节课的问题，学生的知识得到了拓展，新的问题又产生了，为了寻求解决新问题的方法，自然就想学习新的知识，数学就是这样周而复始的过程。让学生带着问题进入课堂，又带着同样的问题走出课堂，绝对是教师的失误！让学生带着问题进入课堂，带着更多的问题走出课堂，才是我们追求的境界。
心理学家盖耶认为：“谁不愿意尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻。”英国心理学家贝恩布奇说过：“错误人皆有之，作为教师不利用是不可原谅的。”学生的错误能真实地在课堂上反映出来，教师的真实水平也能在课堂上真实地体现出来。一节真实的好课正是有了种种错误，才使教学更精彩。？筻