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[摘 要] 统计与概率是小学数学教材中唯一研究不确定现象的内容。但是由于许多老师的统计与概率学科知识不扎实，加上一些陈旧思想的影响，导致本领域内容的教学难以达到新课标的要求。以通俗易懂的语言简述概率统计的基本学科知识，使小学数学教师能站在更高层面理解统计与概率内容，提高统计与概率内容的教学实效。
[关 键 词] 义务教育;新课程标准;概率统计;学科知识
[中图分类号] G623.5 [文獻标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）10-0046-02
统计与概率是小学教材中的四大学习领域之一，但小学教师对统计与概率的理解程度如何呢？本人多次深入小学听课或担任比赛课评委，并与小学数学教师座谈，发现问题多多，一些教师面对概率问题的理解时，仅看到随机事件的表面，没看到实质，没看到隐藏在内面的规律性。新课程标准的十个核心概念中提出要培养学生的创新意识和应用能力，但如果老师对随机性的内涵都理解不深，如何开展数学探究活动呢？如何培养创新意识和应用能力等核心素养呢？本文将结合概率统计学科理论知识，谈谈小学阶段统计与概率的教学问题，以飨读者。
一、正确认识统计与概率的关系
统计与概率两者关系如何呢？统计是以概率为基础，还是概率以统计为基础呢？新课标修订后，学生在第一阶段不再学习概率，仅学习统计内容，主要理由是在基础教育阶段统计的重要性是大于概率的，正是基于此，大多数小学教师认为概率是以统计为基础的。实际上，当前正迈向人工智能时代，人工智能就是要对历史随机大数据进行统计分析，找出大量随机数据隐藏的内在规律，以概率说明随机数据发生的可能性大小，从而作出决策。因此，对大数据进行分析时，需要利用概率理论知识进行推断分析，没有概率理论知识为基础，是无法对大量随机数据做出科学判断的，因此统计是以概率为基础的。在小学阶段，因为我们涉及的数据是少量的，因此还没体现出概率在统计分析中的作用。综上可见，正确认识统计与概率的关系，对课堂教学具有非常积极的意义和作用。
二、整体认识事件
常言道，要给人一点水，自己必须有一桶水。小学教师对概率统计的教学，不能仅仅凭经验、凭感觉，对教学教材上的内容要有一定的学科知识支撑。从事小学概率的教学，必须对事件概念有全面的认识。简单来说，随机事件就是试验时可能产生的结果。不可再分的结果称为基本事件，基本事件对应试验的具体结果，基本事件不可能同时发生，基本事件发生的可能性是相等的，也称为等可能性;由二个（含二个）以上的基本事件复合而成的结果称为复合事件，复合事件可以分解为多个基本事件，复合事件是可以同时发生的。注意到，事件概念中加了“可能”二字。因为，概率统计的任务就是在试验之前对某个结果在试验中以多大可能性出现做预测，根据出现的可能性大小来指导决策的，也就是它是站在试验之前来考量的。如果站在试验之后去考量，那么只有两种结果：要么发生（称为必然事件，概率为1），要么不发生（称为不可能事件，概率为0），这两种情况都属于确定性现象，没有研究的必要。譬如以彩票开奖为例，假设昨天（假设是11日）已开出的四字彩大奖号码为1234。今天（12日）来说，昨天11日开的七星彩大奖号码为1234的概率为1（已开出，成为必然事件），但如果是站在10日前天来预测，昨天11日开的四字彩大奖号码为1234的概率为1/10000（随机事件）。显然，11日开什么码，只有在11日开奖之前去预测才有价值，12日去研究就没有意义了。特别的由所有基本事件复合而成的复合事件是必然发生的，是必然事件。
三、正确认识概率概念与意义
概率是用来刻画随机事件发生的可能性大小的数量指标。随机事件具有两面性：表面上的偶然性与内部蕴涵着的必然性。在表面上是偶然性起作用的地方，这种偶然性始终受到内部隐藏着的规律支配，而问题只在于发现这种规律。实际上，在相同条件下，大量重复进行同一个随机试验时，其随机事件的内部规律性是可以呈现出来的，概率统计的主要任务就是用数学的理论和方法揭示并研究随机现象的这种统计规律性。注意到：随机事件的统计规律性是在相同条件下进行大量试验时才逐渐体现出来的，这从概率的统计定义及伯努利定理更能深刻认识。
定义1：设随机事件A在那次重复试验中发生了k次，则比值k/n称为事件A在n次试验中发生的频率。
定义2：在一组不变的条件下，重复作n次试验，设事件A在n次试验中发生了k次。当试验次数n增大时，如果频率k/n稳定地在某一常数p的附近摆动，则称此常数p为事件A发生的概率，记为P（A）=p.称此概率为随机事件A的统计概率。
由此可见，伯努利定理从理论上阐明了频率的稳定性：只要随机试验的次数n充分大，事件A出现的频率k/n与事件发生的概率P无限的接近，这就是统计概率的理论基础。定义和定理为小学的验证性试验提供了方法论：试验时得到的实际是事件A发生的频率，只有进行很多很多次实验时，频率才接近概率。关于扔一个硬币，观察正反面出现的频率情况，历史上曾经有几位著名的数学家做了试验，结果如下：
由此可见，扔一个硬币，观察正反面出现的频率情况，要进行成千上万次的试验其规律才呈现出来，才发现正面向上的频率在1/2周围波动不大，因此1/2代表正面向上的概率。关于小学生课堂上每个学生少量的试验，是不足以发现这个规律的。课堂上，可以通过逐步把部分学生的试验统计数目累加起来，当学生的人数逐步增多，试验的总次数逐渐增大时，可以发现正面向上的频率在1/2周围摆动的幅度越来越小，这时才水到渠成地让学生知道扔一个硬币，正、反面向上的机会是一样大的。
作为一名小学老师，对可能性大小的判断，不能只通过做试验来去认识，实际上，小学研究的概率是理论概率，试验属于验证性的试验，但课堂上的少量试验是验证不出来的。因此，小学教师应对理论概率有深入的理解，才能驾驭课堂试验的开展，才能因势利导，培养学生的探究能力和创新意识。小学研究的是简单事件的概率问题，它实际上就是古典概型的概率。
定义3.设随机试验具有下面两个特性：
（1）有限性：只有有限个不同的基本事件;
（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性均等。
则称这种随机试验模型为古典概型。在古典概型的随机试验中，随机事件A发生的概率为
例2.随机扔一个硬币，求正面向上的概率。
解：随机扔一个硬币，基本事件为{正面向上}，{反面向上}，共有2个，其中{正面向上}是其中的一个，因此P=1/2.
例3.随机扔2个硬币，求两个正面都向上的概率。
解：随机扔2个硬币，基本事件由（正、正）、（正、反）（反、正）（反、反）共四个，其中（正、正）占其中一个，因此两个正面都向上的概率为1/4.
如果求出现一正一反的概率，则P=2/4=1/2.
四、结束语
根据我们多次深入小学对统计与概率内容的教学调研，发现许多老师对统计与概率内容的理解错误百出，深表痛心。本着对基础教育的一片责任心，本文从统计与概率的学科知识方面给老师“补补短”，期望老师能科学对待统计与概率的教学，正确理解事件与概率，培养学生打破确定性思维，能用随机思想正确分析简单的不确定现象，达到新课标要求。
参考文献：
[1]王元.高等数学基础[M].人民教育出版社，2010.
[2]赵冬雪.探讨新课标理念下小学数学的教与学[J].中国校外教育，2018（23）.
◎编辑 张 慧
[关 键 词] 义务教育;新课程标准;概率统计;学科知识
[中图分类号] G623.5 [文獻标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）10-0046-02
统计与概率是小学教材中的四大学习领域之一，但小学教师对统计与概率的理解程度如何呢？本人多次深入小学听课或担任比赛课评委，并与小学数学教师座谈，发现问题多多，一些教师面对概率问题的理解时，仅看到随机事件的表面，没看到实质，没看到隐藏在内面的规律性。新课程标准的十个核心概念中提出要培养学生的创新意识和应用能力，但如果老师对随机性的内涵都理解不深，如何开展数学探究活动呢？如何培养创新意识和应用能力等核心素养呢？本文将结合概率统计学科理论知识，谈谈小学阶段统计与概率的教学问题，以飨读者。
一、正确认识统计与概率的关系
统计与概率两者关系如何呢？统计是以概率为基础，还是概率以统计为基础呢？新课标修订后，学生在第一阶段不再学习概率，仅学习统计内容，主要理由是在基础教育阶段统计的重要性是大于概率的，正是基于此，大多数小学教师认为概率是以统计为基础的。实际上，当前正迈向人工智能时代，人工智能就是要对历史随机大数据进行统计分析，找出大量随机数据隐藏的内在规律，以概率说明随机数据发生的可能性大小，从而作出决策。因此，对大数据进行分析时，需要利用概率理论知识进行推断分析，没有概率理论知识为基础，是无法对大量随机数据做出科学判断的，因此统计是以概率为基础的。在小学阶段，因为我们涉及的数据是少量的，因此还没体现出概率在统计分析中的作用。综上可见，正确认识统计与概率的关系，对课堂教学具有非常积极的意义和作用。
二、整体认识事件
常言道，要给人一点水，自己必须有一桶水。小学教师对概率统计的教学，不能仅仅凭经验、凭感觉，对教学教材上的内容要有一定的学科知识支撑。从事小学概率的教学，必须对事件概念有全面的认识。简单来说，随机事件就是试验时可能产生的结果。不可再分的结果称为基本事件，基本事件对应试验的具体结果，基本事件不可能同时发生，基本事件发生的可能性是相等的，也称为等可能性;由二个（含二个）以上的基本事件复合而成的结果称为复合事件，复合事件可以分解为多个基本事件，复合事件是可以同时发生的。注意到，事件概念中加了“可能”二字。因为，概率统计的任务就是在试验之前对某个结果在试验中以多大可能性出现做预测，根据出现的可能性大小来指导决策的，也就是它是站在试验之前来考量的。如果站在试验之后去考量，那么只有两种结果：要么发生（称为必然事件，概率为1），要么不发生（称为不可能事件，概率为0），这两种情况都属于确定性现象，没有研究的必要。譬如以彩票开奖为例，假设昨天（假设是11日）已开出的四字彩大奖号码为1234。今天（12日）来说，昨天11日开的七星彩大奖号码为1234的概率为1（已开出，成为必然事件），但如果是站在10日前天来预测，昨天11日开的四字彩大奖号码为1234的概率为1/10000（随机事件）。显然，11日开什么码，只有在11日开奖之前去预测才有价值，12日去研究就没有意义了。特别的由所有基本事件复合而成的复合事件是必然发生的，是必然事件。
三、正确认识概率概念与意义
概率是用来刻画随机事件发生的可能性大小的数量指标。随机事件具有两面性：表面上的偶然性与内部蕴涵着的必然性。在表面上是偶然性起作用的地方，这种偶然性始终受到内部隐藏着的规律支配，而问题只在于发现这种规律。实际上，在相同条件下，大量重复进行同一个随机试验时，其随机事件的内部规律性是可以呈现出来的，概率统计的主要任务就是用数学的理论和方法揭示并研究随机现象的这种统计规律性。注意到：随机事件的统计规律性是在相同条件下进行大量试验时才逐渐体现出来的，这从概率的统计定义及伯努利定理更能深刻认识。
定义1：设随机事件A在那次重复试验中发生了k次，则比值k/n称为事件A在n次试验中发生的频率。
定义2：在一组不变的条件下，重复作n次试验，设事件A在n次试验中发生了k次。当试验次数n增大时，如果频率k/n稳定地在某一常数p的附近摆动，则称此常数p为事件A发生的概率，记为P（A）=p.称此概率为随机事件A的统计概率。
由此可见，伯努利定理从理论上阐明了频率的稳定性：只要随机试验的次数n充分大，事件A出现的频率k/n与事件发生的概率P无限的接近，这就是统计概率的理论基础。定义和定理为小学的验证性试验提供了方法论：试验时得到的实际是事件A发生的频率，只有进行很多很多次实验时，频率才接近概率。关于扔一个硬币，观察正反面出现的频率情况，历史上曾经有几位著名的数学家做了试验，结果如下：
由此可见，扔一个硬币，观察正反面出现的频率情况，要进行成千上万次的试验其规律才呈现出来，才发现正面向上的频率在1/2周围波动不大，因此1/2代表正面向上的概率。关于小学生课堂上每个学生少量的试验，是不足以发现这个规律的。课堂上，可以通过逐步把部分学生的试验统计数目累加起来，当学生的人数逐步增多，试验的总次数逐渐增大时，可以发现正面向上的频率在1/2周围摆动的幅度越来越小，这时才水到渠成地让学生知道扔一个硬币，正、反面向上的机会是一样大的。
作为一名小学老师，对可能性大小的判断，不能只通过做试验来去认识，实际上，小学研究的概率是理论概率，试验属于验证性的试验，但课堂上的少量试验是验证不出来的。因此，小学教师应对理论概率有深入的理解，才能驾驭课堂试验的开展，才能因势利导，培养学生的探究能力和创新意识。小学研究的是简单事件的概率问题，它实际上就是古典概型的概率。
定义3.设随机试验具有下面两个特性：
（1）有限性：只有有限个不同的基本事件;
（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性均等。
则称这种随机试验模型为古典概型。在古典概型的随机试验中，随机事件A发生的概率为
例2.随机扔一个硬币，求正面向上的概率。
解：随机扔一个硬币，基本事件为{正面向上}，{反面向上}，共有2个，其中{正面向上}是其中的一个，因此P=1/2.
例3.随机扔2个硬币，求两个正面都向上的概率。
解：随机扔2个硬币，基本事件由（正、正）、（正、反）（反、正）（反、反）共四个，其中（正、正）占其中一个，因此两个正面都向上的概率为1/4.
如果求出现一正一反的概率，则P=2/4=1/2.
四、结束语
根据我们多次深入小学对统计与概率内容的教学调研，发现许多老师对统计与概率内容的理解错误百出，深表痛心。本着对基础教育的一片责任心，本文从统计与概率的学科知识方面给老师“补补短”，期望老师能科学对待统计与概率的教学，正确理解事件与概率，培养学生打破确定性思维，能用随机思想正确分析简单的不确定现象，达到新课标要求。
参考文献：
[1]王元.高等数学基础[M].人民教育出版社，2010.
[2]赵冬雪.探讨新课标理念下小学数学的教与学[J].中国校外教育，2018（23）.
◎编辑 张 慧