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数学概念是构成数学知识的“细胞”，是进行数学思维的基本要素。学生掌握正确、清晰、完整的数学概念，有助于他们合理解决实际问题，并进一步学习与之相关的数学内容。反之，若学生对数学概念把握不准确，则会带来认知上的误区，更会对后续学习产生负迁移。在教学中，低年级学生知识经验较少，概念形成自然成为他们学习概念的主要途径，这是一个形成、内化、建构的完整过程。在此过程中，学生到底经历了什么，学生的头脑中发生了什么，是我们必须认真面对并思考的问题。概念教学不是“我说你听”式的告知，而是要学生一起实践、一起思考、一起分享，把“不可见”的思维用“可见”的方式呈现出来，共同经历思维不断深化、达成一致的过程。下面以“角的初步认识”一课为例，谈谈笔者的思考。
【教学内容】
苏教版数学二年级下册“角的初步认识”。
【教学目标】
1.经历从现实生活中发现角、认识角的过程，在观察操作中学会画角、做角，了解角各部分的名称，并能初步比较角的大小。
2.培养观察能力、初步的动手操作能力及合作意识。
3.体会数学就在身边，从解决问题中获得成功的快乐。
【教学重点】
让学生形成角的正确表象，掌握角的各部分名称。
【教学难点】
让学生掌握画角的方法，了解角的大小与两条边张开的大小有关，与两条边的长短没有关系。
【教学过程】
一、基于生活，抽象角
师：同学们，红领巾是什么形状的？
生：三角形。
师：知道它为什么叫三角形吗？
生：因为红领巾有3个角。
师：角是个什么样的图形呢？谁能指一指红领巾的角在哪里？
（学生尝试指角，指出3个角上尖尖的地方）
师：他指的是角吗？
生：是。
师（隐去红领巾，留下3个点）：这是角吗？
生：这分明是3个点，到底应该怎样指角呢？
（教师教学生指角的方法，学生再指一指红领巾的另外两个角）
师：红领巾上有3个角，我们身边还有哪些物体的面上有角呢？
生：数学书、三角尺、桌面、黑板。
师：大家像刚才指的那样指一个角给同桌看一看。
【思考】教师从学生的生活经验出发，通过指角活动，引发学生的认知冲突，从而使学生产生自发的诉求：到底应该怎样指角呢？此时，学生的眼睛里是充满期待的，教师再将数学语言转化为学生的语言娓娓道来，既简明易懂、生动形象，又将角的三要素（顶点、边、小弧线表示的区域）做了准确细致的描述，角的“样子”就在学生脑子里初步形成了，为接下来学生进一步认识角做好铺垫。
二、且行且思，认识角
师：刚才我们指的都是生活中的角，那么数学上的角究竟是什么样的呢？大家把三角板上的一个角描下来看一看。
（教师把三角板教具固定在黑板上，开始画角，先画一条边，画一小段停下来）
师：能一直画下去吗？
生：不能，再画就过了。
师：如果这个三角板和黑板都足够大，能一直画下去吗？
生（迟疑）：好像能。
师：的确是可以的，但在数学上我们通常只画一部分来表示。
（教师画好角后，三角板留在黑板上）
师：如果老师把三角板拿下來，黑板上留下的这个角的图形会是什么样的呢？想一想，把你想象的图形画下来。
（学生画好角，教师取下三角板）
师：能拿下来了吗？老师画的角和你们画的角，哪儿像？
生：我们画的和老师画的都有一个尖尖的点。
师：这个点在角的图形里有它自己的名字，叫“顶点”。
（教师板书：顶点）
师：还有哪儿像？
生：都有两条直直的线。
师：它们也有名字，叫“边”。
（教师板书：边，然后指着黑板上的角告诉学生：两条边夹住的这一部分就是角。通常在这里画一个小弧线做个标记，以后指角的时候就是指这条小弧线）
【思考】从生活中的角到数学上的角，通过“说”“描”“想”“画”“比”，让学生感受到“数学上的角”不是凭空冒出来的，而是在自己眼前一步步显现、明朗起来的，这既是一个学习的过程，更是一种学习的方法。在此过程中，两个精准的问题引发了学生对“边”“角”“弧线”的思考，也让学生的思维由“隐”到“显”，聚焦角的本质。“能一直画下去吗？”这个问题给学生种下了“无限长”概念的种子，为后面学生理解角的大小和边的长短无关做了铺垫;“老师画的角和你们画的角，哪儿像？”这个问题让学生的目光从1个角看到2个角、多个角，在自发地、不断地比较中认识角的组成部分和每部分的特点。
三、动手操作，再现角
师：现在你知道角是什么样子了吗？想不想自己动手做一个角？
教师出示材料：小棒、吸管、绳子、钉子板和橡皮筋、圆纸片。出示操作要求：
1.做一做：选择自己喜欢的材料，单独完成或与同学合作做一个角。
2.指一指：和同桌指一指所做角的顶点和两条边。
3.比一比：哪组的方法最多？
（学生做角，教师巡视，拍视频，同步展示）
生：我用吸管一折，就得到了一个角。
生：我用两根小棒做一个角。
生：我在钉子板上围了一个三角形，它有3个角。
师：有没有围出更多角的？
生：我围的四边形，它有4个角。
生：我俩用棉线拉出了一个角。
师：如果老师让你们松手，你俩会松吗？ 生：不会，一松手线就弯了，就不是角了。
【思考】经过前面的学习，角的“样子”在学生头脑中已经有了比较清晰的影像，此时做角既是提取角的表象过程，也是内化的知识外显的过程。在亲自动手“重现”角的过程中，学生再次加深了对角的组成及各部分元素特点的理解。同时，在小组合作中材料各异，制作方法各不相同，但大家都做成了角，学生感受到做角的多样性和统一性，从而抓住知识的本质。采取比赛的方式，也更符合低年级学生的性格特点，激发了学生的学习兴趣。
四、步步深入，内化角
1.辨角
师：小兔子听说同学们今天认识了角，它想请大家帮个忙，愿意吗？
（PPT出示）你们好！我想请角到家里做客，你能帮我判断一下哪些是角，哪些不是角吗？
教师逐一呈现：
师：为什么它们都是角呢？
生：因为它们都有1个顶点和2条边。
师：这几个角听说可以去小兔家玩，可开心了，连蹦带跳的，还翻起了跟头（PPT演示这3个角转一转、跳一跳）。现在，它们还是角吗？
生：是，因为还是有1个顶点和2条边。
师：方向和位置都变了，没关系吗？
生：没有。
教师继续呈现下列图形：
学生逐一辨析：弯的，没有顶点;有一条边是弯的;没有顶点。
师：同学们真厉害，不仅帮小兔找到了角，还让这几个图形知道了它们为什么不是角。
2.感受角有大有小
师：3个角终于来到小兔家做客了。我们再来仔细观察下图这3个角，它们有什么不同的地方吗？
生：有的张开得大，有的张开得小。
师：像不像3张小嘴巴？谁最大？谁最小？你们比的是哪里？
生：比的是它们张口的地方。
师：也就是这3条小弧线画的地方，对吗？原来这3条小弧线不仅是角的标记，还在提醒我们要关注角张口的大小呢！张口大的，角就大;张口小的，角就小。
（教师板书：大、小）
【思考】在练习环节中，教师巧妙地设计了“帮小兔找角”的问题情境。同样是练习，此时不是为了解决教师提出的问题，而是有了明确的内需。然而，教师又不局限于解决问题。找角环节的“辨角”，让学生意识到“角”之所以为角，和其位置、方向没有关系，而只看其是否有1个顶点、2条边。如果说前面找角、数角都是依据其共同点，那么找完“同”再找“异”，就不露痕迹地让学生的视角发生了变化。这一变化，将学生视角转移到“比大小”上，而“比的是哪里”“原来小弧线在提醒我们要关注角张口的大小”更进一步将角的本质巧妙地揭示出来。看似漫不经心，实则饱含深意，也为下面进一步“比角”埋下伏笔。
五、深入本质，理解角
师：这是刚才这个同学用小棒做的角，它可以活动，也叫活动角。老师给每个同学都准备了2根小棒，拿出来，请你用它做一个活动角。你能做一个比老师这个角小的角吗？你是怎么做的？
生：让它的张口小小的。
师：你能做一个比老师这个角大的角吗？看哪里？
生：角的张口。
师：你能做一个和老师这个角一样大的角吗？
师：能直接用眼睛判断吗？把你想到的方法在小组里讨论一下。
（学生提出可以用重叠的方法比较角的大小，将顶点和一条边重合，看另一条边，用这样的方法和同桌比一比谁做的角大）
师：老师这里也有2个角，红角和蓝角，能看出谁大吗？
（教师用重叠的方法比较屏幕上的2个角，发现一样大）
师：可是蓝角不服气，它说，我要长大，我要长得比你大！（课件演示角的边变长）它这样一长，就能比红角大吗？
生1：的确大了，边变长了。
生2：没有，它只是边变长了，张口还是原来那么大。
師（问生2）：你打算怎样说服生1？
生2：我们可以用重叠的方法比一比。
（教师演示，发现角没有变大）
师：红角也很调皮，它喜欢唱反调，它说，你要长大，我要变小！（课件演示角的边缩短）红角真的变小了吗？
生：没有，它的张口没有变。
师：如果蓝角的边再拉长一点，红角的边再缩短一点，蓝角会不会就比红角大了？
生：还是不会。
师：你有什么想说的？
生：角的大小和边的长短没有关系，和张口的大小有关系。
师：小兔还编了一首儿歌，你能帮它补全了吗？
小小角，不简单，
一个（ ）两条（ ）。
想知我的大与小，
只看（ ）不看（ ）。
【思考】在比角这个教学环节中，教师通过活动角这个媒介，让学生的感知由表象逐步深化，由操作中的所见所得，逐步过渡到屏幕上的所见所想，再进一步深化到头脑中的所思所悟，且行且思，学思结合，学生在层层递进中感受到角的大小与张口的大小有关，与边的长短无关。最后，教师巧妙地用儿歌收尾，既符合儿童的心理特点，又通过补儿歌练习对角的知识进行了精准提炼。
六、拓展延伸，发现角
师：数字0到9你们一定不陌生吧？大家知道这些数字是谁发明的吗？
生：印度人，印度人发明了阿拉伯数字。
师：可是你们一定猜不到，阿拉伯数字一开始创造的时候并不是这个样子的，想看看它们最初的模样吗？
（教师出示下图）
师：有没有找到我们今天认识的角？分别有几个角？
师：猜猜看，数字4会有几个角？
生：4个。
师：数字是几竟然就有几个角，好玩吗？
师：5、6、7、8、9是不是也有这样的规律呢？老师留给你们课后自己去数一数，好不好？
师：同学们，数字的演变经历了漫长的过程，数学世界里还有许多有趣的故事，要想知道更多，老师送你们一个法宝——阅读！
【思考】这节课学习的是角，和数字本来是沾不上半点关系的。然而令学生没有想到的是，数字中竟然也是藏着角的。教师挖掘出的数学文化带给学生的触动也是最大的，从而给学生打开了数学学习的另一扇窗——阅读。虽然只是点到为止，但已经在学生心里播下了数学阅读的种子。
（作者单位：江苏省盐城市第一小学）
投稿邮箱：[email protected]
【教学内容】
苏教版数学二年级下册“角的初步认识”。
【教学目标】
1.经历从现实生活中发现角、认识角的过程，在观察操作中学会画角、做角，了解角各部分的名称，并能初步比较角的大小。
2.培养观察能力、初步的动手操作能力及合作意识。
3.体会数学就在身边，从解决问题中获得成功的快乐。
【教学重点】
让学生形成角的正确表象，掌握角的各部分名称。
【教学难点】
让学生掌握画角的方法，了解角的大小与两条边张开的大小有关，与两条边的长短没有关系。
【教学过程】
一、基于生活，抽象角
师：同学们，红领巾是什么形状的？
生：三角形。
师：知道它为什么叫三角形吗？
生：因为红领巾有3个角。
师：角是个什么样的图形呢？谁能指一指红领巾的角在哪里？
（学生尝试指角，指出3个角上尖尖的地方）
师：他指的是角吗？
生：是。
师（隐去红领巾，留下3个点）：这是角吗？
生：这分明是3个点，到底应该怎样指角呢？
（教师教学生指角的方法，学生再指一指红领巾的另外两个角）
师：红领巾上有3个角，我们身边还有哪些物体的面上有角呢？
生：数学书、三角尺、桌面、黑板。
师：大家像刚才指的那样指一个角给同桌看一看。
【思考】教师从学生的生活经验出发，通过指角活动，引发学生的认知冲突，从而使学生产生自发的诉求：到底应该怎样指角呢？此时，学生的眼睛里是充满期待的，教师再将数学语言转化为学生的语言娓娓道来，既简明易懂、生动形象，又将角的三要素（顶点、边、小弧线表示的区域）做了准确细致的描述，角的“样子”就在学生脑子里初步形成了，为接下来学生进一步认识角做好铺垫。
二、且行且思，认识角
师：刚才我们指的都是生活中的角，那么数学上的角究竟是什么样的呢？大家把三角板上的一个角描下来看一看。
（教师把三角板教具固定在黑板上，开始画角，先画一条边，画一小段停下来）
师：能一直画下去吗？
生：不能，再画就过了。
师：如果这个三角板和黑板都足够大，能一直画下去吗？
生（迟疑）：好像能。
师：的确是可以的，但在数学上我们通常只画一部分来表示。
（教师画好角后，三角板留在黑板上）
师：如果老师把三角板拿下來，黑板上留下的这个角的图形会是什么样的呢？想一想，把你想象的图形画下来。
（学生画好角，教师取下三角板）
师：能拿下来了吗？老师画的角和你们画的角，哪儿像？
生：我们画的和老师画的都有一个尖尖的点。
师：这个点在角的图形里有它自己的名字，叫“顶点”。
（教师板书：顶点）
师：还有哪儿像？
生：都有两条直直的线。
师：它们也有名字，叫“边”。
（教师板书：边，然后指着黑板上的角告诉学生：两条边夹住的这一部分就是角。通常在这里画一个小弧线做个标记，以后指角的时候就是指这条小弧线）
【思考】从生活中的角到数学上的角，通过“说”“描”“想”“画”“比”，让学生感受到“数学上的角”不是凭空冒出来的，而是在自己眼前一步步显现、明朗起来的，这既是一个学习的过程，更是一种学习的方法。在此过程中，两个精准的问题引发了学生对“边”“角”“弧线”的思考，也让学生的思维由“隐”到“显”，聚焦角的本质。“能一直画下去吗？”这个问题给学生种下了“无限长”概念的种子，为后面学生理解角的大小和边的长短无关做了铺垫;“老师画的角和你们画的角，哪儿像？”这个问题让学生的目光从1个角看到2个角、多个角，在自发地、不断地比较中认识角的组成部分和每部分的特点。
三、动手操作，再现角
师：现在你知道角是什么样子了吗？想不想自己动手做一个角？
教师出示材料：小棒、吸管、绳子、钉子板和橡皮筋、圆纸片。出示操作要求：
1.做一做：选择自己喜欢的材料，单独完成或与同学合作做一个角。
2.指一指：和同桌指一指所做角的顶点和两条边。
3.比一比：哪组的方法最多？
（学生做角，教师巡视，拍视频，同步展示）
生：我用吸管一折，就得到了一个角。
生：我用两根小棒做一个角。
生：我在钉子板上围了一个三角形，它有3个角。
师：有没有围出更多角的？
生：我围的四边形，它有4个角。
生：我俩用棉线拉出了一个角。
师：如果老师让你们松手，你俩会松吗？ 生：不会，一松手线就弯了，就不是角了。
【思考】经过前面的学习，角的“样子”在学生头脑中已经有了比较清晰的影像，此时做角既是提取角的表象过程，也是内化的知识外显的过程。在亲自动手“重现”角的过程中，学生再次加深了对角的组成及各部分元素特点的理解。同时，在小组合作中材料各异，制作方法各不相同，但大家都做成了角，学生感受到做角的多样性和统一性，从而抓住知识的本质。采取比赛的方式，也更符合低年级学生的性格特点，激发了学生的学习兴趣。
四、步步深入，内化角
1.辨角
师：小兔子听说同学们今天认识了角，它想请大家帮个忙，愿意吗？
（PPT出示）你们好！我想请角到家里做客，你能帮我判断一下哪些是角，哪些不是角吗？
教师逐一呈现：
师：为什么它们都是角呢？
生：因为它们都有1个顶点和2条边。
师：这几个角听说可以去小兔家玩，可开心了，连蹦带跳的，还翻起了跟头（PPT演示这3个角转一转、跳一跳）。现在，它们还是角吗？
生：是，因为还是有1个顶点和2条边。
师：方向和位置都变了，没关系吗？
生：没有。
教师继续呈现下列图形：
学生逐一辨析：弯的，没有顶点;有一条边是弯的;没有顶点。
师：同学们真厉害，不仅帮小兔找到了角，还让这几个图形知道了它们为什么不是角。
2.感受角有大有小
师：3个角终于来到小兔家做客了。我们再来仔细观察下图这3个角，它们有什么不同的地方吗？
生：有的张开得大，有的张开得小。
师：像不像3张小嘴巴？谁最大？谁最小？你们比的是哪里？
生：比的是它们张口的地方。
师：也就是这3条小弧线画的地方，对吗？原来这3条小弧线不仅是角的标记，还在提醒我们要关注角张口的大小呢！张口大的，角就大;张口小的，角就小。
（教师板书：大、小）
【思考】在练习环节中，教师巧妙地设计了“帮小兔找角”的问题情境。同样是练习，此时不是为了解决教师提出的问题，而是有了明确的内需。然而，教师又不局限于解决问题。找角环节的“辨角”，让学生意识到“角”之所以为角，和其位置、方向没有关系，而只看其是否有1个顶点、2条边。如果说前面找角、数角都是依据其共同点，那么找完“同”再找“异”，就不露痕迹地让学生的视角发生了变化。这一变化，将学生视角转移到“比大小”上，而“比的是哪里”“原来小弧线在提醒我们要关注角张口的大小”更进一步将角的本质巧妙地揭示出来。看似漫不经心，实则饱含深意，也为下面进一步“比角”埋下伏笔。
五、深入本质，理解角
师：这是刚才这个同学用小棒做的角，它可以活动，也叫活动角。老师给每个同学都准备了2根小棒，拿出来，请你用它做一个活动角。你能做一个比老师这个角小的角吗？你是怎么做的？
生：让它的张口小小的。
师：你能做一个比老师这个角大的角吗？看哪里？
生：角的张口。
师：你能做一个和老师这个角一样大的角吗？
师：能直接用眼睛判断吗？把你想到的方法在小组里讨论一下。
（学生提出可以用重叠的方法比较角的大小，将顶点和一条边重合，看另一条边，用这样的方法和同桌比一比谁做的角大）
师：老师这里也有2个角，红角和蓝角，能看出谁大吗？
（教师用重叠的方法比较屏幕上的2个角，发现一样大）
师：可是蓝角不服气，它说，我要长大，我要长得比你大！（课件演示角的边变长）它这样一长，就能比红角大吗？
生1：的确大了，边变长了。
生2：没有，它只是边变长了，张口还是原来那么大。
師（问生2）：你打算怎样说服生1？
生2：我们可以用重叠的方法比一比。
（教师演示，发现角没有变大）
师：红角也很调皮，它喜欢唱反调，它说，你要长大，我要变小！（课件演示角的边缩短）红角真的变小了吗？
生：没有，它的张口没有变。
师：如果蓝角的边再拉长一点，红角的边再缩短一点，蓝角会不会就比红角大了？
生：还是不会。
师：你有什么想说的？
生：角的大小和边的长短没有关系，和张口的大小有关系。
师：小兔还编了一首儿歌，你能帮它补全了吗？
小小角，不简单，
一个（ ）两条（ ）。
想知我的大与小，
只看（ ）不看（ ）。
【思考】在比角这个教学环节中，教师通过活动角这个媒介，让学生的感知由表象逐步深化，由操作中的所见所得，逐步过渡到屏幕上的所见所想，再进一步深化到头脑中的所思所悟，且行且思，学思结合，学生在层层递进中感受到角的大小与张口的大小有关，与边的长短无关。最后，教师巧妙地用儿歌收尾，既符合儿童的心理特点，又通过补儿歌练习对角的知识进行了精准提炼。
六、拓展延伸，发现角
师：数字0到9你们一定不陌生吧？大家知道这些数字是谁发明的吗？
生：印度人，印度人发明了阿拉伯数字。
师：可是你们一定猜不到，阿拉伯数字一开始创造的时候并不是这个样子的，想看看它们最初的模样吗？
（教师出示下图）
师：有没有找到我们今天认识的角？分别有几个角？
师：猜猜看，数字4会有几个角？
生：4个。
师：数字是几竟然就有几个角，好玩吗？
师：5、6、7、8、9是不是也有这样的规律呢？老师留给你们课后自己去数一数，好不好？
师：同学们，数字的演变经历了漫长的过程，数学世界里还有许多有趣的故事，要想知道更多，老师送你们一个法宝——阅读！
【思考】这节课学习的是角，和数字本来是沾不上半点关系的。然而令学生没有想到的是，数字中竟然也是藏着角的。教师挖掘出的数学文化带给学生的触动也是最大的，从而给学生打开了数学学习的另一扇窗——阅读。虽然只是点到为止，但已经在学生心里播下了数学阅读的种子。
（作者单位：江苏省盐城市第一小学）
投稿邮箱：[email protected]