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摘 要：首先针对短生命周期产品的无形变质因素与需求存在着负相关的特点，建立了确定需求环境下无形变质产品的库存控制模型，然后通过对该模型有关库存参数的模糊化处理，并基于模糊数学原理建立了模糊需求环境下无形变质产品的模糊控制模型，得到了最低库存成本、最佳订货周期及最佳订货批量。所建立的模型对库存控制的研究具有一定的理论价值。
关键词：库存控制；无形变质；模糊需求；最小库存成本
中图分类号：F253 文献标识码：A
Abstract： The paper firstly for short life cycle products intangible factors and demand metamorphic has a negative related， established inventory control model under the determining demand environment， then through fuzzed the concerned parameters of the model， and based on the fuzzy mathematics theory， established a fuzzy control model of the short life cycle products under the fuzzy demands environment， get the minimum inventory cost， best ordering cycle and the optimal order quantity. The model of this paper has some theoretical studies of inventory control value.
Key words： inventory control； invisible deterioration； fuzzy demand； minimum inventory cost
针对变质库存问题，许多学者从不同角度研究了变质现象对库存以及订购策略的影响。例如周永务，周优军，谢小良等人分别从不同角度建立了无形性变质库存决策模型[1-3]。由于无形变质产品历史数据缺乏导致库存变量具有不确定性。近年来许多学者开始研究模糊库存理论，如：李群霞，李争香将库存参数设定为梯形模糊集，对模糊环境下的库存问题进行了研究[4]；A. Nagoor Gani1提出次品率，订购费等均为三角模糊数的库存控制模型[5]。
基于以上文献，针对无形变质产品的库存控制问题，结合模糊集理论，建立了模糊时变需求的无形变质产品库存模型，得到了模糊环境下费用最小的最优订货周期和订购批量。
1 模糊线性时变需求的无形变质产品库存控制模型
1.1 模型的假设条件
库存控制模型的建立遵循下列条件：
（1）一个零售商的单一产品，且不允许缺货。
（2）一个周期的库存最优问题，忽略成本费。当单位成本费与时间和数量无关即为常数时，有时我们在为寻求最优库存控制策略而计算系统总费用或平均费用时可忽略成本费。
（3）产品的需求为线性分布，假设需求率Dt=a-bt，其中a为需求固定时需求率的值，b为时间影响销售率的系数b>0；一个周期的订购量为整个周期内的需求总量，可表示成：Q=a-btdt。
（4）瞬时进货，提前期为零，Dtt可以近似表示为时间为t时的库存量。
（5）物品在存储期内发生无形变质，产品的无形变质率与需求率成负相关即θt=πDt，其中π为常数，当π=0时，不发生变质现象。
1.2 模型的建立
在上述的符号说明和假设条件下，一个周期内无形变质产品库存产生的库存成本有：
订购成本：K，一个周期内只产生一次订购费，因此K为常数。
库存持有成本：H=hDttdt，每存储单位物资一个周期内所需花费的费用。
无形变质成本：随着时间的推移，由于新产品的推出或者顾客的偏好的变化导致库存物品的价值发生贬值而造成的损失即为无形变质成本[6]。变质量可以表示为变质率与库存量的乘积，整个周期的变质费用则为η=βθtDttdt，其中β为单位时间变质成本。
则一个订货周期内的平均成本可用Z表示：
Z== （1）
其中h表示单位时间库存成本；T表示一个订货周期。
将θt=πDt，Dt=a-bt，代人公式（1）中得库存费用公式如下：
Z==+haT-bT+βπT （2）
Z是T的一元函数，令=0可得到库存费用Z最小时的最优订购周期T：
T= （3）
利用一维搜索，对公式（3）求解，即可得到最优订购周期T。
如果=-bh>0，则T为费用最小时的最优解。把公式（3）代入（2）中可知=0，那么==T
>0，==-T<0，即Z为a的增函数，b的减函数，从而可知周期内的最小费用与需求函数中的两变量a和b的相关关系。
无论是企业内部环境，还是外部环境，均存在许多事先难以预测的不确定性因素。对少品种的大批量生产，一般说是一种平稳的随机过程，而对多品种、小批量需求，则是非平稳过程和单件类型等的突发事件。无形变质产品缺乏历史数据，要准确确定a和b的值是较困难的，而只能确定它们可能在一定范围内波动，而且不同的取值的可能性也不同，即它们在一个模糊集内取值。所以设a和b为模糊数，根据上述确定模型库存模型模糊化，得到模糊环境下的无形变质产品库存模型。这里假设a和b分别为三角模糊数，即=a-Δ，a，a+Δ，=b-Δ，b，b+Δ，a，b，Δi=1，2，3，4都是常数，此时目标函数是T，a和b的三元函数，库存费用最小为目标函数，无形变质库存的需求率为模糊数的约束条件，把所求问题变成模糊非线性规划： Min ZT，a，b
s.t. aa， aa， bb， bb， T，a，b>0
因为最小库存平均成本Z为a的增函数，b的减函数，所以a=a-Δ， b=b+Δ时Z取最小值Z，a=a+Δ， b=b-Δ时，Z取最大值Z，即Z在Z，Z内取值。当α在截集下，即最小成本取值在α的概率下，上述模糊约束可写成：
a-1-αΔ≤a≤a+1+αΔ （4）
b-1-αΔ≤b≤b+1+αΔ （5）
将公式（2）模糊化成右半梯形模糊集的约束条件：
+h-bT+aT+βπT≤Z-αZ-Z （6）
根据最大—最小算子，将模糊非线性规划转化为确定型非线性规划：
Max α
s.t.
这就将模糊问题转化成了模糊约束进而化成确定型的非线性的库存控制问题，即逆模糊化，以求得此时的最优解。
2 模型的求解
求解上述确定型非线性规划，决策变量为T，a，b，α，引入Lagrange函数
Lα，a，b，T，λ，…，λ=α+λa-a+1-αΔ+λa+1-αΔ-a+λb-b+1-αΔ
+λb+1-αΔ-b+λZ-αZ-Z--h-bT+aT-βπT
分别对L求T，a，b，α的偏导数，根据Kuhn-Tucker条件可知：a=a-1-αΔ，b=b-1-αΔ，然后将其代入到最佳周期公式和平均成本公式，即得下式：
T= （7）
Z-αZ-Z=+h-bT+aT+βπT （8）
根据公式（7）～（8），得到关于T，a的二元方程，联立可求得库存最优解：a，b，T，α，Q=a-btdt=aT-， Z
=Z-αZ-Z。
3 算例分析
某无形变质产品库存系统参数如下：a=100， b=15，即需求率可表示为Dt=100-15t，π=2，一次订货成本K为200元，每月的每件产品的库存费为2元，单位时间的单位产品变质费β为5元，Δ=Δ=10， Δ=Δ=5。
根据公式（7）～（8），利用Maple软件可求得最优解T=2.11月，α=0.54，a=95.4，b=12.9，Dt=95.4-12.9t，Q=173件，θT=0.03，Z=316.3元。对Δ，Δ，Δ，Δ进行灵敏度分析，见表1-4：
4 结 论
通过对Δ，Δ，Δ，Δ的灵敏度分析可知，随着Δ，Δ幅度的增大，需求下降，无形变质率增大，从而订购批量减少，成本降低；Δ，Δ幅度的增大，需求上升，无形变质率减小，从而订购批量增加，成本增加。而Δ，Δ，Δ，Δ的给定是零售商根据主观经验而估计的，为了保证成本最低，应保证Δ，Δ的幅度大些，Δ，Δ的幅度小些。
需求及无形变质率同时看成三角模糊数来进行研究有很大的实际应用价值。对于无形变质产品的企业来说，需求及变质率的估计对最终利润会有非常大的影响。无形变质产品由于存在于竞争激烈、市场比较成熟的行业，由于由市场变化，竞争对手的策略等引起的需求不确定要比其他产品更明显。因此模糊环境下得到的库存参数值比确定环境下的库存参数值更符合无形变质产品库存的特征。决策者可以通过建立模糊库存模型，对相关参数进行灵敏度分析，这对衡量无形变质产品库存的不确定性所带来的实际影响有一定的指导意义。
参考文献：
[1] 周优军，曹亮，潘义前. 一类基于价格折扣的短生命周期易变质物品库存模型[J]. 物流工程与管理，2009，31（7）：35-38.
[2] 谢小良，符卓，喻文. 无形性变质的短生命周期产品库存决策模型研究[J]. 理论新探，2009（3）：23-25.
[3] 姚卫坤，周永务. 易变质物品的促销问题研究[D]. 合肥：合肥工业大学（硕士论文），2010.
[4] 李群霞，李争香. 基于模糊集的经济订货批量模型的优化研究[J]. 中国管理信息化，2012，15（6）：59-60.
[5] A. Nagoor Gani1， S. Maheswari. Economic Order Quantity for Items with Imperfect Quality where Shortages are Backordered in Fuzzy Environment[J]. Advances in Fuzzy Mathematics， 2010，5（2）：91-100.
[6] 吴波，贾涛，耿凯平. 两阶段可变腐败率商品的库存决策问题[J]. 西安工程大学，2009，23（1）：116-119.
关键词：库存控制；无形变质；模糊需求；最小库存成本
中图分类号：F253 文献标识码：A
Abstract： The paper firstly for short life cycle products intangible factors and demand metamorphic has a negative related， established inventory control model under the determining demand environment， then through fuzzed the concerned parameters of the model， and based on the fuzzy mathematics theory， established a fuzzy control model of the short life cycle products under the fuzzy demands environment， get the minimum inventory cost， best ordering cycle and the optimal order quantity. The model of this paper has some theoretical studies of inventory control value.
Key words： inventory control； invisible deterioration； fuzzy demand； minimum inventory cost
针对变质库存问题，许多学者从不同角度研究了变质现象对库存以及订购策略的影响。例如周永务，周优军，谢小良等人分别从不同角度建立了无形性变质库存决策模型[1-3]。由于无形变质产品历史数据缺乏导致库存变量具有不确定性。近年来许多学者开始研究模糊库存理论，如：李群霞，李争香将库存参数设定为梯形模糊集，对模糊环境下的库存问题进行了研究[4]；A. Nagoor Gani1提出次品率，订购费等均为三角模糊数的库存控制模型[5]。
基于以上文献，针对无形变质产品的库存控制问题，结合模糊集理论，建立了模糊时变需求的无形变质产品库存模型，得到了模糊环境下费用最小的最优订货周期和订购批量。
1 模糊线性时变需求的无形变质产品库存控制模型
1.1 模型的假设条件
库存控制模型的建立遵循下列条件：
（1）一个零售商的单一产品，且不允许缺货。
（2）一个周期的库存最优问题，忽略成本费。当单位成本费与时间和数量无关即为常数时，有时我们在为寻求最优库存控制策略而计算系统总费用或平均费用时可忽略成本费。
（3）产品的需求为线性分布，假设需求率Dt=a-bt，其中a为需求固定时需求率的值，b为时间影响销售率的系数b>0；一个周期的订购量为整个周期内的需求总量，可表示成：Q=a-btdt。
（4）瞬时进货，提前期为零，Dtt可以近似表示为时间为t时的库存量。
（5）物品在存储期内发生无形变质，产品的无形变质率与需求率成负相关即θt=πDt，其中π为常数，当π=0时，不发生变质现象。
1.2 模型的建立
在上述的符号说明和假设条件下，一个周期内无形变质产品库存产生的库存成本有：
订购成本：K，一个周期内只产生一次订购费，因此K为常数。
库存持有成本：H=hDttdt，每存储单位物资一个周期内所需花费的费用。
无形变质成本：随着时间的推移，由于新产品的推出或者顾客的偏好的变化导致库存物品的价值发生贬值而造成的损失即为无形变质成本[6]。变质量可以表示为变质率与库存量的乘积，整个周期的变质费用则为η=βθtDttdt，其中β为单位时间变质成本。
则一个订货周期内的平均成本可用Z表示：
Z== （1）
其中h表示单位时间库存成本；T表示一个订货周期。
将θt=πDt，Dt=a-bt，代人公式（1）中得库存费用公式如下：
Z==+haT-bT+βπT （2）
Z是T的一元函数，令=0可得到库存费用Z最小时的最优订购周期T：
T= （3）
利用一维搜索，对公式（3）求解，即可得到最优订购周期T。
如果=-bh>0，则T为费用最小时的最优解。把公式（3）代入（2）中可知=0，那么==T
>0，==-T<0，即Z为a的增函数，b的减函数，从而可知周期内的最小费用与需求函数中的两变量a和b的相关关系。
无论是企业内部环境，还是外部环境，均存在许多事先难以预测的不确定性因素。对少品种的大批量生产，一般说是一种平稳的随机过程，而对多品种、小批量需求，则是非平稳过程和单件类型等的突发事件。无形变质产品缺乏历史数据，要准确确定a和b的值是较困难的，而只能确定它们可能在一定范围内波动，而且不同的取值的可能性也不同，即它们在一个模糊集内取值。所以设a和b为模糊数，根据上述确定模型库存模型模糊化，得到模糊环境下的无形变质产品库存模型。这里假设a和b分别为三角模糊数，即=a-Δ，a，a+Δ，=b-Δ，b，b+Δ，a，b，Δi=1，2，3，4都是常数，此时目标函数是T，a和b的三元函数，库存费用最小为目标函数，无形变质库存的需求率为模糊数的约束条件，把所求问题变成模糊非线性规划： Min ZT，a，b
s.t. aa， aa， bb， bb， T，a，b>0
因为最小库存平均成本Z为a的增函数，b的减函数，所以a=a-Δ， b=b+Δ时Z取最小值Z，a=a+Δ， b=b-Δ时，Z取最大值Z，即Z在Z，Z内取值。当α在截集下，即最小成本取值在α的概率下，上述模糊约束可写成：
a-1-αΔ≤a≤a+1+αΔ （4）
b-1-αΔ≤b≤b+1+αΔ （5）
将公式（2）模糊化成右半梯形模糊集的约束条件：
+h-bT+aT+βπT≤Z-αZ-Z （6）
根据最大—最小算子，将模糊非线性规划转化为确定型非线性规划：
Max α
s.t.
这就将模糊问题转化成了模糊约束进而化成确定型的非线性的库存控制问题，即逆模糊化，以求得此时的最优解。
2 模型的求解
求解上述确定型非线性规划，决策变量为T，a，b，α，引入Lagrange函数
Lα，a，b，T，λ，…，λ=α+λa-a+1-αΔ+λa+1-αΔ-a+λb-b+1-αΔ
+λb+1-αΔ-b+λZ-αZ-Z--h-bT+aT-βπT
分别对L求T，a，b，α的偏导数，根据Kuhn-Tucker条件可知：a=a-1-αΔ，b=b-1-αΔ，然后将其代入到最佳周期公式和平均成本公式，即得下式：
T= （7）
Z-αZ-Z=+h-bT+aT+βπT （8）
根据公式（7）～（8），得到关于T，a的二元方程，联立可求得库存最优解：a，b，T，α，Q=a-btdt=aT-， Z
=Z-αZ-Z。
3 算例分析
某无形变质产品库存系统参数如下：a=100， b=15，即需求率可表示为Dt=100-15t，π=2，一次订货成本K为200元，每月的每件产品的库存费为2元，单位时间的单位产品变质费β为5元，Δ=Δ=10， Δ=Δ=5。
根据公式（7）～（8），利用Maple软件可求得最优解T=2.11月，α=0.54，a=95.4，b=12.9，Dt=95.4-12.9t，Q=173件，θT=0.03，Z=316.3元。对Δ，Δ，Δ，Δ进行灵敏度分析，见表1-4：
4 结 论
通过对Δ，Δ，Δ，Δ的灵敏度分析可知，随着Δ，Δ幅度的增大，需求下降，无形变质率增大，从而订购批量减少，成本降低；Δ，Δ幅度的增大，需求上升，无形变质率减小，从而订购批量增加，成本增加。而Δ，Δ，Δ，Δ的给定是零售商根据主观经验而估计的，为了保证成本最低，应保证Δ，Δ的幅度大些，Δ，Δ的幅度小些。
需求及无形变质率同时看成三角模糊数来进行研究有很大的实际应用价值。对于无形变质产品的企业来说，需求及变质率的估计对最终利润会有非常大的影响。无形变质产品由于存在于竞争激烈、市场比较成熟的行业，由于由市场变化，竞争对手的策略等引起的需求不确定要比其他产品更明显。因此模糊环境下得到的库存参数值比确定环境下的库存参数值更符合无形变质产品库存的特征。决策者可以通过建立模糊库存模型，对相关参数进行灵敏度分析，这对衡量无形变质产品库存的不确定性所带来的实际影响有一定的指导意义。
参考文献：
[1] 周优军，曹亮，潘义前. 一类基于价格折扣的短生命周期易变质物品库存模型[J]. 物流工程与管理，2009，31（7）：35-38.
[2] 谢小良，符卓，喻文. 无形性变质的短生命周期产品库存决策模型研究[J]. 理论新探，2009（3）：23-25.
[3] 姚卫坤，周永务. 易变质物品的促销问题研究[D]. 合肥：合肥工业大学（硕士论文），2010.
[4] 李群霞，李争香. 基于模糊集的经济订货批量模型的优化研究[J]. 中国管理信息化，2012，15（6）：59-60.
[5] A. Nagoor Gani1， S. Maheswari. Economic Order Quantity for Items with Imperfect Quality where Shortages are Backordered in Fuzzy Environment[J]. Advances in Fuzzy Mathematics， 2010，5（2）：91-100.
[6] 吴波，贾涛，耿凯平. 两阶段可变腐败率商品的库存决策问题[J]. 西安工程大学，2009，23（1）：116-119.