论文部分内容阅读
【摘要】 课标明确指出：“数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用. ”因此在数学课程教学中，构建思维型课堂是课程教育的基本要求. 数学思维型课堂的构建，首先在于教师对“思维点”的选择，其次在于教师对“问题点”的设计. 数学思维型课堂构建的具体途径为：利用课题导入，引发探究思维；通过问题引导，促进认知思维；依托变式训练，发展类化思维；借助延伸拓展，启迪创造性思维.
【关键词】 探究思维；认知思维；类化思维；创造性思维
思维型课堂，指培养学生思维品质的课堂学习活动. 关于数学课程的性质，课标表述为：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程. ”这段文字包含两重含义：① 数学是贯穿思维活动的课程；② 数学是一种工具，广泛应用于日常生活与社会实践. 在课程教育价值或功效方面，课标明确指出：“数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用. ”因此在数学课程教学中，致力于构建思维型课堂是课程教育的基本要求. 小学数学教学中，如何构建思维型课堂，本文以《圆的面积》为课例，谈谈个人的认识.
一、利用课题导入，引发探究思维
探究思维，指与探究活动有关的思维活动. 科学探究活动的程序主要包含发现问题并提出问题、猜想与假设、制定计划与设计探究方案、实验并获取数据或收集资料、分析与论证等五个环节，这里所指的探究思维，一般指前面三个环节的思维活动.
课题导入是一节课的开始，它是围绕课题核心内容而设置的问题情境，由于是学生未知且又想弄清楚的问题，因此在诱发学生的学习兴趣与探究思维方面有着重要的作用. 如《小数乘法》课题，学生已经掌握了整数多位数乘多位数的运算方法，因此本课题的核心内容就是对乘积小数位数的确定方法. 据此，课题导入就可以以5.8 × 3.7为例来提出“如何确定乘积的小数位数”问题. 对此问题，学生具有“似相识又非相识”的感觉，“似相识”是知道5.8 × 3.7的乘积数字组合与两位数乘两位数相同，“非相识”是指不知道小数位数的确定方法，然而这样问题最容易引发学生猜想为“乘积中含有一位小数”或“两位小数”，同时又会探寻支持猜想的理由或构思验证猜想的方案，其中的“猜想”、“探寻理由”、“构思方案”就属于探究思维活动.
利用课题导入来引发学生的探究思维，首先在于教师对课题核心内容的把握，其次在于问题情境的启发性. 如《圆的面积》课题，圆的面积公式S = πr2是本课题的知识重点，而公式的推演过程又是本课题的学习难点，因此探索圆的面积与什么因素有怎样的关系就是本课题的核心内容. 关于问题情境的启发性，课题导入就可以这样设计：教师先在黑板上画出半径为r、2r、3r的同心圆让学生观察，然后提出“圆的面积与什么因素有关”与“具有怎样的数量关系”这两个问题，其中图形大小的对比显示就具有直观启发作用. 学生通过对图形大小的比较观察，通常能引发学生的下列两种猜想：① 与半径有关，半径越大，面积越大，半径增大1倍，面积增大2倍或3倍；② 与周长有关，周长越大，面积越大，周长增大1倍，面积增大2倍或3倍. 另外，学生还会联想某些验证猜想的计划或方案. 尽管上述两种猜想不完全正确或联想的验证猜想方案有欠缺，但对培养学生的探究思维还是有着重要的意义.
二、通过问题引导，促进认知思维
认知思维，指认知过程的思维方式. 依据皮亚杰的认知发展理论，学生在认知过程中的思维方式主要为同化和顺应两种. 同化是指将面前的新问题转化为与已有知识相同或相似的问题来认识或理解. 如将5.8 × 3.7的小数乘法演变为5.8 × 10 × 3.7 × 10 ÷ 100 = 58 × 37 ÷ 100的思维方式就是同化，其中58 × 37的运算就是已有的方法知识. 顺应，指当前的新问题无法纳入已有知识结构体系时而构建新的知识与方法来认识或理解的认知方式. 如对于“扇形统计图”，学生没有与之相关的知识，因此不能理解这种统计图的内涵. 当学生形成“整个圆表示事物的整体，其中某一扇形表示某一事物的数量大小”这种概念后，学生就能依据概念的内涵来认识或理解“扇形统计图”的表示方法与意义，这种认知过程就是顺应. 课程学习中促进学生的认知思维，主要就是指促进学生的同化或顺应思维.
问题引导，这里指为促进学生的同化或顺应思维构筑一定台阶或桥梁. 如圆的面积公式推导，教材是先把圆分割为诸多面积相等的三角形，接着将这些三角形拼接为近似长方形，然后引导学生想象并推理，分割的三角形越细小，拼接的近似长方形就越接近长方形，最后依据长方形的面积公式来计算圆的面积. 对教材这种圆面积的转化方法与极限分析思想，学生难于理解，因此教学中必须设计下列问题加以引导：
（1）你学过哪些图形面积的计算？
（2）采用什么方法可以把圆转化为学过的图形并依据其面积公式进行计算？
（3）以圆心为顶点，半径为两边的扇形与等腰三角形相比，有什么区别？
（4）两个扇形互为倒置相拼接后是什么图形？
（5）把圆分割成偶数个扇形，互为倒置相拼接后是什么图形？
（6）分割的扇形越细小，拼接后的图形越接近什么图形？
（7）拼接后的图形，长边与短边分别等于多少？
（8）计算圆的面积公式是什么？
在上面问题中，（1）（2）（7）（8）是促进同化思维，而（3）（4）（5）（6）则是促进顺应思维.
三、依托变式训练，发展类化思维
类化思维，指概括当前问题与原有知识的共同本质特征，将所要解决的问题纳入到原有的同类知识结构中去，对问题加以解决的思维活动. 数学解题的过程，实质是数学形式的类化演绎过程. 如 ÷ 与 ÷ 3，在形式上似乎有所不同，然而将后式写成 ÷ 则形式就相同，这就是把整数类化演绎为分数. 又如整数、小数、分数的混合运算，通常是将小数类化演绎为分数. 再如在解答应用题中，构建数学形式的过程就是将实际生活问题类化演绎为数学问题. 因此，数学课程教学中，发展学生的类化思维是课程教育的重要目标. 提供变式训练是发展学生类化思维的良好途径. 变式训练，就是指依据数学知识概念而设计不同形式的数学问题来引导学生开展解题训练，其思维过程特征就是要求学生将所要解决的问题纳入到原有的同类知识结构中去并加以解决. 简单地说，变式训练的目的就是发展学生的类化思维.
设计变式问题的思路主要是依据知识概念进行形式与内涵方面的变化. 如圆的面积计算训练，就可以设置下列问题.
问题1：在直径为20 cm的大圆中，挖去直径为10 cm的小圆，求大圆剩下的面积.
问题2：把半径15 cm的圆分成6个相等的扇形，每个扇形的面积是多少？
问题3：花瓣状门洞的边是由4个直径相等的半圆组成，这个门洞的周长和面积分别是多少？
问题4：在某400 m跑道运动场中，中间是一个长方形，两端是直径为40 m的半圆形，求跑道的直道长度与运动场的占地面积.
上面四个问题，在形式方面，问题1残缺圆，问题2中的扇形是圆形的分割体，问题3是半圆形与正方形的组合，问题4是半圆形与长方形的组合. 在内涵方面，问题1是求两圆面积之差，问题2是引导学生将扇形面积转化为圆面积来求算，问题3是已知分量求总量问题，而问题4则是已知某总量和某分量来分析另一分量或求算另一总量问题. 但不论何种形式与内涵，它都要求学生类化为圆问题来解决，而其中蕴含着不同的类化思维方式正是变式训练以发展学生类化思维能力的目标所在.
四、借助延伸拓展，启迪创造性思维
创造性思维，指以新颖、独特或突破常规的方法来解决问题的思维活动. 在数学课程学习中，一题多解或发现新知识并运用新知识解决问题的思维活动都属于创造性思维. 如通过对■ ■ = ■和■ ■ ■ = ■的观察与分析则可以得到■ ■ ■ … ■ = ■的结论，并且知道，相加的项数越多，结果越接近1. 这种由发现新知识并解决问题的思维就属于创造性思维. 当然，就数学知识而言，上面问题属于无穷递缩等比数列求和问题，早已被人们发现，但对学生本人来说，仍是一种新知识，因此它属于一种创造.
数学课程知识与原理的形成过程就是数学家的发现与创造过程，其中的问题背景素材以及蕴含的思维过程与方法都是启迪学生创造性思维的源泉. 然而能否将这种源泉有效地利用，关键在于教师在教材内容与方法的基础上能进行适当的延伸或拓展.
如“圆周长公式”的探索，教材是引导学生采用实验测量的方法来论证周长与直径的比值关系. 对于“圆面积公式”的探索，教师也可以提出能否采用实验测量的方法来论证面积与直径的关系. 实验测量圆面积，它可以借助圆柱体与长方体容器来对比盛装某种液体；来间接地测定圆面积数据（圆面积=长方形容器测定液体体积 ÷ 液体在圆柱体中深度）. 对于圆面积与直径之间的数据关系分析，又要求从方面进行分析. 毫无疑问，这种实验探究活动，有益于启迪学生的创造性思维.
另外，对于圆面积与半径的S∝r2关系，教师也可以结合下面图形知识来进行分析与论证.
下图中的三角形均为等腰三角形，图2三角形XYZ的腰长是图1三角形ABC腰长的2倍，而两者面积则是4倍关系. 对于图3的扇形，边长AD是AB的2倍，那么扇形ADE的面积则是扇形ABC的4倍. 对上述知识，在引导学生开展创造活动前，教师要做必要的认知引导教学. 在此基础上，倘若学生能把圆分割为扇形，然后依据上面的知识来推理演绎并得到“半径变为2倍，圆面积就变为原来的4倍”，从而得到“圆面积与半径平方成正比”的结论，何以不是一种创造.
数学思维型课堂的构建，首先在于教师对“思维点”的选择，即哪些知识与内容可以促进学生的思维，其次在于教师对“问题点”的设计，即设计怎样的问题方能点燃思维的火花. 它不仅要求教师对教材内容与学情有着一定深度的把握，而且要求教师具备一定的教学方法与艺术.
【参考文献】
[1]王小燕.科学思维与科学方法论[M].广州：华南理工大学出版社，2006，8，（90）.
[2][美]B·J·沃兹沃思·皮亚杰的认知发展理论[M].上海：华中师范大学出版社，1987，1.
【关键词】 探究思维；认知思维；类化思维；创造性思维
思维型课堂，指培养学生思维品质的课堂学习活动. 关于数学课程的性质，课标表述为：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程. ”这段文字包含两重含义：① 数学是贯穿思维活动的课程；② 数学是一种工具，广泛应用于日常生活与社会实践. 在课程教育价值或功效方面，课标明确指出：“数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用. ”因此在数学课程教学中，致力于构建思维型课堂是课程教育的基本要求. 小学数学教学中，如何构建思维型课堂，本文以《圆的面积》为课例，谈谈个人的认识.
一、利用课题导入，引发探究思维
探究思维，指与探究活动有关的思维活动. 科学探究活动的程序主要包含发现问题并提出问题、猜想与假设、制定计划与设计探究方案、实验并获取数据或收集资料、分析与论证等五个环节，这里所指的探究思维，一般指前面三个环节的思维活动.
课题导入是一节课的开始，它是围绕课题核心内容而设置的问题情境，由于是学生未知且又想弄清楚的问题，因此在诱发学生的学习兴趣与探究思维方面有着重要的作用. 如《小数乘法》课题，学生已经掌握了整数多位数乘多位数的运算方法，因此本课题的核心内容就是对乘积小数位数的确定方法. 据此，课题导入就可以以5.8 × 3.7为例来提出“如何确定乘积的小数位数”问题. 对此问题，学生具有“似相识又非相识”的感觉，“似相识”是知道5.8 × 3.7的乘积数字组合与两位数乘两位数相同，“非相识”是指不知道小数位数的确定方法，然而这样问题最容易引发学生猜想为“乘积中含有一位小数”或“两位小数”，同时又会探寻支持猜想的理由或构思验证猜想的方案，其中的“猜想”、“探寻理由”、“构思方案”就属于探究思维活动.
利用课题导入来引发学生的探究思维，首先在于教师对课题核心内容的把握，其次在于问题情境的启发性. 如《圆的面积》课题，圆的面积公式S = πr2是本课题的知识重点，而公式的推演过程又是本课题的学习难点，因此探索圆的面积与什么因素有怎样的关系就是本课题的核心内容. 关于问题情境的启发性，课题导入就可以这样设计：教师先在黑板上画出半径为r、2r、3r的同心圆让学生观察，然后提出“圆的面积与什么因素有关”与“具有怎样的数量关系”这两个问题，其中图形大小的对比显示就具有直观启发作用. 学生通过对图形大小的比较观察，通常能引发学生的下列两种猜想：① 与半径有关，半径越大，面积越大，半径增大1倍，面积增大2倍或3倍；② 与周长有关，周长越大，面积越大，周长增大1倍，面积增大2倍或3倍. 另外，学生还会联想某些验证猜想的计划或方案. 尽管上述两种猜想不完全正确或联想的验证猜想方案有欠缺，但对培养学生的探究思维还是有着重要的意义.
二、通过问题引导，促进认知思维
认知思维，指认知过程的思维方式. 依据皮亚杰的认知发展理论，学生在认知过程中的思维方式主要为同化和顺应两种. 同化是指将面前的新问题转化为与已有知识相同或相似的问题来认识或理解. 如将5.8 × 3.7的小数乘法演变为5.8 × 10 × 3.7 × 10 ÷ 100 = 58 × 37 ÷ 100的思维方式就是同化，其中58 × 37的运算就是已有的方法知识. 顺应，指当前的新问题无法纳入已有知识结构体系时而构建新的知识与方法来认识或理解的认知方式. 如对于“扇形统计图”，学生没有与之相关的知识，因此不能理解这种统计图的内涵. 当学生形成“整个圆表示事物的整体，其中某一扇形表示某一事物的数量大小”这种概念后，学生就能依据概念的内涵来认识或理解“扇形统计图”的表示方法与意义，这种认知过程就是顺应. 课程学习中促进学生的认知思维，主要就是指促进学生的同化或顺应思维.
问题引导，这里指为促进学生的同化或顺应思维构筑一定台阶或桥梁. 如圆的面积公式推导，教材是先把圆分割为诸多面积相等的三角形，接着将这些三角形拼接为近似长方形，然后引导学生想象并推理，分割的三角形越细小，拼接的近似长方形就越接近长方形，最后依据长方形的面积公式来计算圆的面积. 对教材这种圆面积的转化方法与极限分析思想，学生难于理解，因此教学中必须设计下列问题加以引导：
（1）你学过哪些图形面积的计算？
（2）采用什么方法可以把圆转化为学过的图形并依据其面积公式进行计算？
（3）以圆心为顶点，半径为两边的扇形与等腰三角形相比，有什么区别？
（4）两个扇形互为倒置相拼接后是什么图形？
（5）把圆分割成偶数个扇形，互为倒置相拼接后是什么图形？
（6）分割的扇形越细小，拼接后的图形越接近什么图形？
（7）拼接后的图形，长边与短边分别等于多少？
（8）计算圆的面积公式是什么？
在上面问题中，（1）（2）（7）（8）是促进同化思维，而（3）（4）（5）（6）则是促进顺应思维.
三、依托变式训练，发展类化思维
类化思维，指概括当前问题与原有知识的共同本质特征，将所要解决的问题纳入到原有的同类知识结构中去，对问题加以解决的思维活动. 数学解题的过程，实质是数学形式的类化演绎过程. 如 ÷ 与 ÷ 3，在形式上似乎有所不同，然而将后式写成 ÷ 则形式就相同，这就是把整数类化演绎为分数. 又如整数、小数、分数的混合运算，通常是将小数类化演绎为分数. 再如在解答应用题中，构建数学形式的过程就是将实际生活问题类化演绎为数学问题. 因此，数学课程教学中，发展学生的类化思维是课程教育的重要目标. 提供变式训练是发展学生类化思维的良好途径. 变式训练，就是指依据数学知识概念而设计不同形式的数学问题来引导学生开展解题训练，其思维过程特征就是要求学生将所要解决的问题纳入到原有的同类知识结构中去并加以解决. 简单地说，变式训练的目的就是发展学生的类化思维.
设计变式问题的思路主要是依据知识概念进行形式与内涵方面的变化. 如圆的面积计算训练，就可以设置下列问题.
问题1：在直径为20 cm的大圆中，挖去直径为10 cm的小圆，求大圆剩下的面积.
问题2：把半径15 cm的圆分成6个相等的扇形，每个扇形的面积是多少？
问题3：花瓣状门洞的边是由4个直径相等的半圆组成，这个门洞的周长和面积分别是多少？
问题4：在某400 m跑道运动场中，中间是一个长方形，两端是直径为40 m的半圆形，求跑道的直道长度与运动场的占地面积.
上面四个问题，在形式方面，问题1残缺圆，问题2中的扇形是圆形的分割体，问题3是半圆形与正方形的组合，问题4是半圆形与长方形的组合. 在内涵方面，问题1是求两圆面积之差，问题2是引导学生将扇形面积转化为圆面积来求算，问题3是已知分量求总量问题，而问题4则是已知某总量和某分量来分析另一分量或求算另一总量问题. 但不论何种形式与内涵，它都要求学生类化为圆问题来解决，而其中蕴含着不同的类化思维方式正是变式训练以发展学生类化思维能力的目标所在.
四、借助延伸拓展，启迪创造性思维
创造性思维，指以新颖、独特或突破常规的方法来解决问题的思维活动. 在数学课程学习中，一题多解或发现新知识并运用新知识解决问题的思维活动都属于创造性思维. 如通过对■ ■ = ■和■ ■ ■ = ■的观察与分析则可以得到■ ■ ■ … ■ = ■的结论，并且知道，相加的项数越多，结果越接近1. 这种由发现新知识并解决问题的思维就属于创造性思维. 当然，就数学知识而言，上面问题属于无穷递缩等比数列求和问题，早已被人们发现，但对学生本人来说，仍是一种新知识，因此它属于一种创造.
数学课程知识与原理的形成过程就是数学家的发现与创造过程，其中的问题背景素材以及蕴含的思维过程与方法都是启迪学生创造性思维的源泉. 然而能否将这种源泉有效地利用，关键在于教师在教材内容与方法的基础上能进行适当的延伸或拓展.
如“圆周长公式”的探索，教材是引导学生采用实验测量的方法来论证周长与直径的比值关系. 对于“圆面积公式”的探索，教师也可以提出能否采用实验测量的方法来论证面积与直径的关系. 实验测量圆面积，它可以借助圆柱体与长方体容器来对比盛装某种液体；来间接地测定圆面积数据（圆面积=长方形容器测定液体体积 ÷ 液体在圆柱体中深度）. 对于圆面积与直径之间的数据关系分析，又要求从方面进行分析. 毫无疑问，这种实验探究活动，有益于启迪学生的创造性思维.
另外，对于圆面积与半径的S∝r2关系，教师也可以结合下面图形知识来进行分析与论证.
下图中的三角形均为等腰三角形，图2三角形XYZ的腰长是图1三角形ABC腰长的2倍，而两者面积则是4倍关系. 对于图3的扇形，边长AD是AB的2倍，那么扇形ADE的面积则是扇形ABC的4倍. 对上述知识，在引导学生开展创造活动前，教师要做必要的认知引导教学. 在此基础上，倘若学生能把圆分割为扇形，然后依据上面的知识来推理演绎并得到“半径变为2倍，圆面积就变为原来的4倍”，从而得到“圆面积与半径平方成正比”的结论，何以不是一种创造.
数学思维型课堂的构建，首先在于教师对“思维点”的选择，即哪些知识与内容可以促进学生的思维，其次在于教师对“问题点”的设计，即设计怎样的问题方能点燃思维的火花. 它不仅要求教师对教材内容与学情有着一定深度的把握，而且要求教师具备一定的教学方法与艺术.
【参考文献】
[1]王小燕.科学思维与科学方法论[M].广州：华南理工大学出版社，2006，8，（90）.
[2][美]B·J·沃兹沃思·皮亚杰的认知发展理论[M].上海：华中师范大学出版社，1987，1.