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一、专题概述
1．数形结合思想是中学数学中四种重要的数学思想方法之一，所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和几何形式巧妙、和谐的结合起来，并充分利用这种“结合”，寻求解题思路，使问题得以解决.
2．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性和灵活性的有机结合.
数形结合的思想方法所涉及的主要内容有：
(1) 集合及其运算问题中，图形与符号、图形与文字的转译.
(2) 函数的表达形式之间的转译，充分利用图象研究函数特性是现行教材的基本指导思想.
(3) 向量相关问题的解决与应用.
(4) 函数图象与方程、不等式的解集间的内在联系构成的推理判断意识.
(5) 圆锥曲线及其相关元素的图形特征与方程及定义间的内在联系的应用意识.
(6) 三角函数图象特征及三角函数几何定义的应用意识.
3． 数形结合思想解决的问题常有以下几种：
(1) 构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.
(2) 构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围.
(3) 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.
(4) 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.
(5) 构建立体几何模型研究代数问题.
(6) 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.
(7) 构建方程模型求解的个数.
(8) 利用图形的形状、位置关系、性质等研究问题.
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在学习中加强这方面的训练，注意培养这方面的思想意识，要争取“胸中有图，见数想图”，以开拓自己的思维视野，提高解题的能力和速度.但是用数形结合思想处理解答题时,一定要注意说理的严密性.
二、应用举例
1．借助图象的形象直观解题
利用图象的直观性,通过对问题的定性分析,可以无需进行计算就可以求解,尤其是研究不同类型函数之间根的个数以及不等式的求解等有着极大的适用性.
【例1】 求方程lgx=|x-2|的解的个数.
【解答】 如图:在同一坐标系中作出y1=lgx与y2=|x-2|的图象，可知以上方程有两解.
【评析】 如果用代数方法几乎无从下手，利用图象则迎刃而解.y1=lgx与y2=|x-2|的图象是很容易描述的,因而数形结合的方法是判断方程根的个数和近似解的常用方法.
【解答】 ∵f(x)为偶函数,题意等价于f′(x)=x2-ax+(3-a)=0在x>0时有两个不同的解,而方程转化为x2+3=a(x+1)a=x2+3[]x+1=x+1+4[]x+1-2（x≥0）.令x+1=t,作出函数f(t)=t+4[]t-2(t≥1)的图象,而f(t)=a中的一条直线与图象有两个交点时,由图可知2 【评析】数形结合思想是数学中的一个很重要的思想,它不同于方法,它必需和其它的如函数方程思想、等价转换思想有机结合起来,才能使解题得心应手.
2．借助长度及距离公式来进行数形结合
【例3】 当x∈R时，求函数f(x)=x2+2x+2+x2-4x+8的最小值.
【解答】 从代数角度难以找到解题的途径，若把f(x)稍作变形：f(x)=(x+1)2+1+(x-2)2+22.可以观察到f(x)就是点p(x,0)到点A(-1,-1)、B（2，2）的距离之和.如图显然当P点与坐标原点重合时,f(x)min=2+8=32即|AB|.
【评析】 像根号下有完全平方的代数式，如果能构造两点间的距离公式，往往会收奇效.
3．借助直线的斜率、截距等进行数形结合
【例4】 已知实系数方程x2+(m+1)x+m+n+1=0的两个实根分别为x1,x2，且0
＜x1＜1，x2＞1，则n[]m的取值范围是（）.
A．-2，-1[]2 B．-2，-1[]2
C．-1，-1[]2D．（-2，-1）
【解答】 解答此题的关键是要由根的分布将条件转化为m,n的关系式,令f(x)=x2+(m+1)x+m+n+1,则f(x)=0的两根分别满足0＜x1＜1，x2＞1，即有f(0)=m+n+1>0f(1)=2m+n+3<0,n[]m即为以上区域的动点(m,n)和原点连线的斜率的范围.答案为A.
【评析】 通过对n[]m的几何意义的理解,转化为求可行域内的动点与原点的斜率,较好地利用数形结合的思想解决知识的交汇点的问题.
【解答】 由图可知直线y=kx(k＞0)在x<0时总与曲线有一个交点,故要求直线在x>0时只能有一个交点,等价于直线与曲线相切,且斜率为函数y=2sinx-π[]6在切点处的导数,切点的横坐标为【评析】 斜率与切线是数形中的典型代表,与导数结合起来就更增加了数学的魅力.
4．借助线性规划进行数形结合
【解答】 理解原命题与逆否命题等价不难知道p是q充分非必要条件,画出p和q的图形,理解q表示的为圆x2+y2=r2外的部分(不含边界),因而可知q的最大半径为圆与直线4x+3y-12=0相切时,故答案为0，12[]5
【评析】 解答本题的关键是要注意,图形的边界是虚线,数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，形使抽象问题具体化，同时数赋予了思维的严谨，两方面思考问题保证了解题的严密性.
5．借助向量进行数形结合
【例7】 在△ABC中,若对任意的实数m,有BA-mBC≥AC,则△ABC为
A. 钝角三角形B.锐角三角形C. 直角三角形D. 以上不确定
【解答】 本题较好的考查了向量的几何意义,当m变化时,
BA-mBC为动线段AC的长度,因而可以确定△ABC为直角三角形. 答案为C.
【评析】 向量是一个很好的数学工具,它有机地将数形结合起来,尤其是求解有关角度和长度的问题时更显现出它无与伦比的优越性.
【评析】 应用向量来求解要求对有关几何性质深刻理解,如共线定理,三角形中的垂心、重心、内心等性质,当数用形来直观反映时,就要求对形的本质深刻理解并熟练应用.
6．借助其他几何载体进行数形结合
【例9】 (2008年湖北省重点中学联考)△AOB的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F,已知B(-2,0),C(2,0),内切圆心I(1,t),t≠0.设点A的轨迹为L.
(1) 求L的方程;
(2) 过点C作直线m交曲线L于不同的两点M,N,问在轴上是否存在异于C点的点Q,使QM•QC[]QM|=QN•QC[]QN对任意的直线成立,若存在,试求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【评析】 圆锥曲线中设计离心率和准线位置关系问题,运用第二定义找它们之间关系比较简捷明了.在求圆锥曲线方程的题中,尽量运用平面几何的知识探究，运用数形结合解题,
减少许多繁杂的推理和运算,
会收到较好的效果，但要注意到范围的准确. 数形结合的作用就在于利用形能简化数的运算，反过来运用数又能使形更加精细.本题中由内切圆的性质,获取了一个很好的等量关系使问题得到轻松解决;而在第二问中由大胆猜想出结论,用双曲线的定义灵活地给予证明,充分体现了数形结合思想在解题中的作用.
【作者单位:董方博,湖北省黄石二中
陈火焱,浠水县第一中学】
责任编辑：山虎
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
1．数形结合思想是中学数学中四种重要的数学思想方法之一，所谓数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和几何形式巧妙、和谐的结合起来，并充分利用这种“结合”，寻求解题思路，使问题得以解决.
2．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性和灵活性的有机结合.
数形结合的思想方法所涉及的主要内容有：
(1) 集合及其运算问题中，图形与符号、图形与文字的转译.
(2) 函数的表达形式之间的转译，充分利用图象研究函数特性是现行教材的基本指导思想.
(3) 向量相关问题的解决与应用.
(4) 函数图象与方程、不等式的解集间的内在联系构成的推理判断意识.
(5) 圆锥曲线及其相关元素的图形特征与方程及定义间的内在联系的应用意识.
(6) 三角函数图象特征及三角函数几何定义的应用意识.
3． 数形结合思想解决的问题常有以下几种：
(1) 构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.
(2) 构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围.
(3) 构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.
(4) 构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.
(5) 构建立体几何模型研究代数问题.
(6) 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.
(7) 构建方程模型求解的个数.
(8) 利用图形的形状、位置关系、性质等研究问题.
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在学习中加强这方面的训练，注意培养这方面的思想意识，要争取“胸中有图，见数想图”，以开拓自己的思维视野，提高解题的能力和速度.但是用数形结合思想处理解答题时,一定要注意说理的严密性.
二、应用举例
1．借助图象的形象直观解题
利用图象的直观性,通过对问题的定性分析,可以无需进行计算就可以求解,尤其是研究不同类型函数之间根的个数以及不等式的求解等有着极大的适用性.
【例1】 求方程lgx=|x-2|的解的个数.
【解答】 如图:在同一坐标系中作出y1=lgx与y2=|x-2|的图象，可知以上方程有两解.
【评析】 如果用代数方法几乎无从下手，利用图象则迎刃而解.y1=lgx与y2=|x-2|的图象是很容易描述的,因而数形结合的方法是判断方程根的个数和近似解的常用方法.
【解答】 ∵f(x)为偶函数,题意等价于f′(x)=x2-ax+(3-a)=0在x>0时有两个不同的解,而方程转化为x2+3=a(x+1)a=x2+3[]x+1=x+1+4[]x+1-2（x≥0）.令x+1=t,作出函数f(t)=t+4[]t-2(t≥1)的图象,而f(t)=a中的一条直线与图象有两个交点时,由图可知2
2．借助长度及距离公式来进行数形结合
【例3】 当x∈R时，求函数f(x)=x2+2x+2+x2-4x+8的最小值.
【解答】 从代数角度难以找到解题的途径，若把f(x)稍作变形：f(x)=(x+1)2+1+(x-2)2+22.可以观察到f(x)就是点p(x,0)到点A(-1,-1)、B（2，2）的距离之和.如图显然当P点与坐标原点重合时,f(x)min=2+8=32即|AB|.
【评析】 像根号下有完全平方的代数式，如果能构造两点间的距离公式，往往会收奇效.
3．借助直线的斜率、截距等进行数形结合
【例4】 已知实系数方程x2+(m+1)x+m+n+1=0的两个实根分别为x1,x2，且0
＜x1＜1，x2＞1，则n[]m的取值范围是（）.
A．-2，-1[]2 B．-2，-1[]2
C．-1，-1[]2D．（-2，-1）
【解答】 解答此题的关键是要由根的分布将条件转化为m,n的关系式,令f(x)=x2+(m+1)x+m+n+1,则f(x)=0的两根分别满足0＜x1＜1，x2＞1，即有f(0)=m+n+1>0f(1)=2m+n+3<0,n[]m即为以上区域的动点(m,n)和原点连线的斜率的范围.答案为A.
【评析】 通过对n[]m的几何意义的理解,转化为求可行域内的动点与原点的斜率,较好地利用数形结合的思想解决知识的交汇点的问题.
【解答】 由图可知直线y=kx(k＞0)在x<0时总与曲线有一个交点,故要求直线在x>0时只能有一个交点,等价于直线与曲线相切,且斜率为函数y=2sinx-π[]6在切点处的导数,切点的横坐标为【评析】 斜率与切线是数形中的典型代表,与导数结合起来就更增加了数学的魅力.
4．借助线性规划进行数形结合
【解答】 理解原命题与逆否命题等价不难知道p是q充分非必要条件,画出p和q的图形,理解q表示的为圆x2+y2=r2外的部分(不含边界),因而可知q的最大半径为圆与直线4x+3y-12=0相切时,故答案为0，12[]5
【评析】 解答本题的关键是要注意,图形的边界是虚线,数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，形使抽象问题具体化，同时数赋予了思维的严谨，两方面思考问题保证了解题的严密性.
5．借助向量进行数形结合
【例7】 在△ABC中,若对任意的实数m,有BA-mBC≥AC,则△ABC为
A. 钝角三角形B.锐角三角形C. 直角三角形D. 以上不确定
【解答】 本题较好的考查了向量的几何意义,当m变化时,
BA-mBC为动线段AC的长度,因而可以确定△ABC为直角三角形. 答案为C.
【评析】 向量是一个很好的数学工具,它有机地将数形结合起来,尤其是求解有关角度和长度的问题时更显现出它无与伦比的优越性.
【评析】 应用向量来求解要求对有关几何性质深刻理解,如共线定理,三角形中的垂心、重心、内心等性质,当数用形来直观反映时,就要求对形的本质深刻理解并熟练应用.
6．借助其他几何载体进行数形结合
【例9】 (2008年湖北省重点中学联考)△AOB的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F,已知B(-2,0),C(2,0),内切圆心I(1,t),t≠0.设点A的轨迹为L.
(1) 求L的方程;
(2) 过点C作直线m交曲线L于不同的两点M,N,问在轴上是否存在异于C点的点Q,使QM•QC[]QM|=QN•QC[]QN对任意的直线成立,若存在,试求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【评析】 圆锥曲线中设计离心率和准线位置关系问题,运用第二定义找它们之间关系比较简捷明了.在求圆锥曲线方程的题中,尽量运用平面几何的知识探究，运用数形结合解题,
减少许多繁杂的推理和运算,
会收到较好的效果，但要注意到范围的准确. 数形结合的作用就在于利用形能简化数的运算，反过来运用数又能使形更加精细.本题中由内切圆的性质,获取了一个很好的等量关系使问题得到轻松解决;而在第二问中由大胆猜想出结论,用双曲线的定义灵活地给予证明,充分体现了数形结合思想在解题中的作用.
【作者单位:董方博,湖北省黄石二中
陈火焱,浠水县第一中学】
责任编辑：山虎
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”