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函数思想，就是学会用变量和函数来思考，就是从函数各部分内容的内在联系和整体角度考虑问题、研究问题和解决问题，就是使用函数的方法研究和解决函数的问题以及构建函数关系式来研究和解决非函数问题.方程思想是从问题的数量关系入手，就是学会转化已知与未知的关系,解方程的过程就是求函数的零点的过程,通过对解方程的研究和对方程的根的研究考虑问题和解决问题.在解题中，充分、合理地运用函数与方程思想，常会产生意想不到的效果．
一、显化函数关系
在方程、不等式、最值、数列、圆锥曲线等数学问题中，将圆有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利解决．
例1 （2011年上海市春季招生考试10）若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为
解析：设P(x,y)，由a2=2,b2=1，则c2=2－1=1，则F(－1,0)．
|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2①，又因为点P在椭圆上，则y2=1－x22，于是①式化为|OP|2+|PF|2=2x2+2x+1+2(1－x22)=(x+1)2+2．
因为－2≤x≤2，所以当x=－1时，|OP|2+|PF|2有最小值为2．
评注：本题以椭圆为载体，巧妙而隐蔽地融入函数，平而不俗．主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及二次函数等基础知识，考查学生综合运用数学知识的能力．
二、转换函数关系
在函数形态、曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主元，揭示与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．
例2 设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立，求实数x的取值范围．
解析：将m视为主元，即移项m(x2－1)－(2x－1)<0，左边转化为关于m的函数f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，m∈［－2,2］，则原不等式等价于f(m)<0对m∈［－2,2］，此时问题就变简单了．因为f(m)是关于m的一次函数或常数函数，故有f(－2)<0f(2)<0，解得7－12 评注：很多同学思维定势，即易会想到关于x一元二次不等式，但是二次项系数含参，需分类讨论，思路易想，但较为繁琐，容易陷入困境．而通过变更主元，问题处理得简捷流畅．
三、构造函数关系
在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．
例3 已知a,b,c为正实数，求证：(ab)2≥14(a+b+x)(a+b－x)(b+x－a)(x+a－b).
证明：设函数f(x)=14(a+b+x)(a+b－x)(b+x－a)(x+a－b)=14［(a+b)2－x2)］［x2－(a－b)2］，x>0.
令t=x2，t>0，则有y=14［(a+b)2－t)］［t－(a－b)2］=14［－t2+2(a2+b2)t－(a2－b2)2］,
=14{－［t-(a2+b2)］2－(a2－b2)2+(a2+b2)2}，
则当t=a2+b2时，y取得最大值14［(a2+b2)2－(a2－b2)2］=(ab)2，
故(ab)2≥14(a+b+x)(a+b－x)(b+x－a)(x+a－b)
评注：观察不等式两边结构特征，不难发现左边无c，可视c为主元，即设为x，将不等式右边看作关于x的函数f(x)，问题可顺利转化f(x)在x∈(0,+∞)的最大值．注意的是，构造函数时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．
四、构造方程形式
分析题目中的未知量，根据条件分布列出关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面．
例4 已知sin(α+β)=23,sin(α－β)=15，求tanαtanβ的值．
解法一：由已知条件得sinαcosβ+cosαsinβ=23sinαcosβ－cosαsinβ=15，解得sinαcosβ=1330cosαsinβ=730
从而tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=137．
解法二：令x=tanαtanβ，由条件得sin(α+β)sin(α－β)=103，
且sin(α+β)sin(α－β)=sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ=tanα+tanβtanα－tanβ=tanαtanβ+1tanαtanβ－1=x+1x－1，
于是得方程x+1x－1=103，解得tanαtanβ=x=137
评注：法一由条件整理自然联立关于sinαcosβ,cosαsinβ方程组，结合所求结论问题便可获解；法二运用方程的思想，从结论出发，把已知条件通过变形看作是关于tanαtanβ的方程来求解，从而达到求解目的．
例5 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=ex+1，则f(x)＝ .
解析：因为f(x)是偶函数，则有f(－x)=f(x)，又g(x)是奇函数，故g(－x)=－g(x).此时，我们若将题设中的x换为－x，就可以得到一个等式f(－x)+g(－x)=e-x+1，即f(x)－g(x)=e-x+1.将此式与题设中的等式联立，即可解得f(x)=ex+e－x+22.
评注：初看此题，貌似无从入手，其实是奇偶函数的性质不熟悉，不知道如何使用.实际上，此题只要根据奇偶函数的定义来构造另一个等式，即将f(x),g(x)当作未知数，运用方程组的思想，问题不难获解.
五、联用函数与方程思想
在解综合题中，解决一个问题常常不止需要一种数学思想，而是多种数学思想方法的联用．如函数与方程思想的联用，它们间的相互转换使问题一步步获得解决，转换的途径为“函数+方程+函数”或“方程+函数+方程”.
例6 （2010年湖北文9）若直线y=x+b与曲线y=3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是 .
解析：问题等价于“若关于x的方程x+b=3－4x－x2有实数解，求实数b的取值范围”
b=3－x－4－(x－2)2，视为b关于x的函数，求其值域即可．
令x－2=2cosθ,θ∈［0,π］，则b=3－(2+2cosθ)－2sinθ=1－22sin(θ+π4)
因θ+π4∈［π4,5π4］，则sin(θ+π4)∈［－22,1］，故b∈［1－22,3］．
评注：本题虽可用数形结合来求解，但先将问题转化为方程问题，进而又构造函数，角度新颖，问题最终转化为熟悉的函数值域问题来求解．
例7 （2009年山东卷理）若函数f(x)=ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
解析：因函数f(x)=ax－x－a有两个零点，则方程ax－x－a=0有两个不相等的实数根,即两个函数y=ax与y=x+a的图象有两个不同的交点.当0<a<1时，两个函数的图象有且仅有一个交点，不合题意；当a>1时,两个函数的图象有两个交点,满足题意.故a>1．
评注：本题体现了函数与方程的相互转化的数学思想.函数与方程密切相关，对于函数f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)=0，即求函数y=f(x)的零点．
练习
1．已知函数f(x)满足条件f(x)+2f(1x)=x，则f(x)= .
2．设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈［a,2a］，都有y∈［a,a2］满足方程logax+logay=c，这时，a的取值的集合为 .
3．若点O和点F分别是椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP•FP的最大值为 .
4．设集合A={(x,y)|x=(y+3)|y－1|+(y+3),－52≤y≤3}，若(a,b)∈A，且对A中的其他元素(c,d)，总有c≥a，求a的值．
参考答案
1．2－x23x
提示：用1x代换条件中的x得f(1x)+2f(x)=1x，与条件联立方程组f(x)+2f(1x)=xf(1x)+2f(x)=1x，解得f(x)=2－x23x．
2．{2} 提示：方程logax+logay=c是一个不定方程，可视为函数加以分析解决．
由已知得y=acx，单调递减，所以当x∈［a,2a］时，y∈［ac－12,ac－1］，所以ac－12≥a，ac－1≤a2，
解得c≥2+loga2c≤3，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+loga2=3，解得a=2，
所以a的取值的集合为{2}．
3．6
提示：由题意得F(－1,0)，设P(x,y)，而FP=(x+1,y),OP=(x,y)，则OP•FP=x(x+1)+y2，又点P在椭圆上，则有y2=3(1－x24)，故OP•FP=x(x+1)+3(1－x24)=14x2+x+3，此二次函数的对称轴x=－2，又－2≤x≤2，故当x=2时，OP•FP取得最大值224+2+3=6．
4．a=94
提示：本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)|y－1|+(y+3)在－52≤y≤3时的最小值.当－52≤y≤1时，x=(y+3)(1－y)+(y+3)=－y+122+254，所以y=－52时，xmin=94；当1≤y≤3时，x=(y+3)(y－1)+(y+3)=y+322－94，所以当y=1时，xmin=4．而4>94，因此当y=－52时，x有最小值94，即a=94.
（作者：印琴红，江苏省连云港市板浦高级中学）
一、显化函数关系
在方程、不等式、最值、数列、圆锥曲线等数学问题中，将圆有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利解决．
例1 （2011年上海市春季招生考试10）若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为
解析：设P(x,y)，由a2=2,b2=1，则c2=2－1=1，则F(－1,0)．
|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2①，又因为点P在椭圆上，则y2=1－x22，于是①式化为|OP|2+|PF|2=2x2+2x+1+2(1－x22)=(x+1)2+2．
因为－2≤x≤2，所以当x=－1时，|OP|2+|PF|2有最小值为2．
评注：本题以椭圆为载体，巧妙而隐蔽地融入函数，平而不俗．主要考查椭圆的标准方程、几何性质以及二次函数等基础知识，考查学生综合运用数学知识的能力．
二、转换函数关系
在函数形态、曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主元，揭示与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．
例2 设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立，求实数x的取值范围．
解析：将m视为主元，即移项m(x2－1)－(2x－1)<0，左边转化为关于m的函数f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，m∈［－2,2］，则原不等式等价于f(m)<0对m∈［－2,2］，此时问题就变简单了．因为f(m)是关于m的一次函数或常数函数，故有f(－2)<0f(2)<0，解得7－12
三、构造函数关系
在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．
例3 已知a,b,c为正实数，求证：(ab)2≥14(a+b+x)(a+b－x)(b+x－a)(x+a－b).
证明：设函数f(x)=14(a+b+x)(a+b－x)(b+x－a)(x+a－b)=14［(a+b)2－x2)］［x2－(a－b)2］，x>0.
令t=x2，t>0，则有y=14［(a+b)2－t)］［t－(a－b)2］=14［－t2+2(a2+b2)t－(a2－b2)2］,
=14{－［t-(a2+b2)］2－(a2－b2)2+(a2+b2)2}，
则当t=a2+b2时，y取得最大值14［(a2+b2)2－(a2－b2)2］=(ab)2，
故(ab)2≥14(a+b+x)(a+b－x)(b+x－a)(x+a－b)
评注：观察不等式两边结构特征，不难发现左边无c，可视c为主元，即设为x，将不等式右边看作关于x的函数f(x)，问题可顺利转化f(x)在x∈(0,+∞)的最大值．注意的是，构造函数时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．
四、构造方程形式
分析题目中的未知量，根据条件分布列出关于未知数的方程（组），使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面．
例4 已知sin(α+β)=23,sin(α－β)=15，求tanαtanβ的值．
解法一：由已知条件得sinαcosβ+cosαsinβ=23sinαcosβ－cosαsinβ=15，解得sinαcosβ=1330cosαsinβ=730
从而tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=137．
解法二：令x=tanαtanβ，由条件得sin(α+β)sin(α－β)=103，
且sin(α+β)sin(α－β)=sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ=tanα+tanβtanα－tanβ=tanαtanβ+1tanαtanβ－1=x+1x－1，
于是得方程x+1x－1=103，解得tanαtanβ=x=137
评注：法一由条件整理自然联立关于sinαcosβ,cosαsinβ方程组，结合所求结论问题便可获解；法二运用方程的思想，从结论出发，把已知条件通过变形看作是关于tanαtanβ的方程来求解，从而达到求解目的．
例5 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=ex+1，则f(x)＝ .
解析：因为f(x)是偶函数，则有f(－x)=f(x)，又g(x)是奇函数，故g(－x)=－g(x).此时，我们若将题设中的x换为－x，就可以得到一个等式f(－x)+g(－x)=e-x+1，即f(x)－g(x)=e-x+1.将此式与题设中的等式联立，即可解得f(x)=ex+e－x+22.
评注：初看此题，貌似无从入手，其实是奇偶函数的性质不熟悉，不知道如何使用.实际上，此题只要根据奇偶函数的定义来构造另一个等式，即将f(x),g(x)当作未知数，运用方程组的思想，问题不难获解.
五、联用函数与方程思想
在解综合题中，解决一个问题常常不止需要一种数学思想，而是多种数学思想方法的联用．如函数与方程思想的联用，它们间的相互转换使问题一步步获得解决，转换的途径为“函数+方程+函数”或“方程+函数+方程”.
例6 （2010年湖北文9）若直线y=x+b与曲线y=3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是 .
解析：问题等价于“若关于x的方程x+b=3－4x－x2有实数解，求实数b的取值范围”
b=3－x－4－(x－2)2，视为b关于x的函数，求其值域即可．
令x－2=2cosθ,θ∈［0,π］，则b=3－(2+2cosθ)－2sinθ=1－22sin(θ+π4)
因θ+π4∈［π4,5π4］，则sin(θ+π4)∈［－22,1］，故b∈［1－22,3］．
评注：本题虽可用数形结合来求解，但先将问题转化为方程问题，进而又构造函数，角度新颖，问题最终转化为熟悉的函数值域问题来求解．
例7 （2009年山东卷理）若函数f(x)=ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
解析：因函数f(x)=ax－x－a有两个零点，则方程ax－x－a=0有两个不相等的实数根,即两个函数y=ax与y=x+a的图象有两个不同的交点.当0<a<1时，两个函数的图象有且仅有一个交点，不合题意；当a>1时,两个函数的图象有两个交点,满足题意.故a>1．
评注：本题体现了函数与方程的相互转化的数学思想.函数与方程密切相关，对于函数f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)=0，即求函数y=f(x)的零点．
练习
1．已知函数f(x)满足条件f(x)+2f(1x)=x，则f(x)= .
2．设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈［a,2a］，都有y∈［a,a2］满足方程logax+logay=c，这时，a的取值的集合为 .
3．若点O和点F分别是椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP•FP的最大值为 .
4．设集合A={(x,y)|x=(y+3)|y－1|+(y+3),－52≤y≤3}，若(a,b)∈A，且对A中的其他元素(c,d)，总有c≥a，求a的值．
参考答案
1．2－x23x
提示：用1x代换条件中的x得f(1x)+2f(x)=1x，与条件联立方程组f(x)+2f(1x)=xf(1x)+2f(x)=1x，解得f(x)=2－x23x．
2．{2} 提示：方程logax+logay=c是一个不定方程，可视为函数加以分析解决．
由已知得y=acx，单调递减，所以当x∈［a,2a］时，y∈［ac－12,ac－1］，所以ac－12≥a，ac－1≤a2，
解得c≥2+loga2c≤3，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+loga2=3，解得a=2，
所以a的取值的集合为{2}．
3．6
提示：由题意得F(－1,0)，设P(x,y)，而FP=(x+1,y),OP=(x,y)，则OP•FP=x(x+1)+y2，又点P在椭圆上，则有y2=3(1－x24)，故OP•FP=x(x+1)+3(1－x24)=14x2+x+3，此二次函数的对称轴x=－2，又－2≤x≤2，故当x=2时，OP•FP取得最大值224+2+3=6．
4．a=94
提示：本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)|y－1|+(y+3)在－52≤y≤3时的最小值.当－52≤y≤1时，x=(y+3)(1－y)+(y+3)=－y+122+254，所以y=－52时，xmin=94；当1≤y≤3时，x=(y+3)(y－1)+(y+3)=y+322－94，所以当y=1时，xmin=4．而4>94，因此当y=－52时，x有最小值94，即a=94.
（作者：印琴红，江苏省连云港市板浦高级中学）