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摘要：圆周运动知识是高中物理学习的重点，也是高考命题的热点。生活中的圆周运动问题是其中的难点，且常和其他知识点相结合进行考查，从而形成综合性较强的问题。这类问题来源于实际，解决问题的关键要重在理解其运动规律。本文就几类生活中的圆周运动模型作了较为详尽的归纳和解析，对这些问题进行归类研究能更容易理解其运动规律，找到解决问题的基本方法。
关键词：圆周运动；问题归类；学生
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）11-0074
圆周运动知识是高中物理学习的重点，也是高考命题的热点。生活中的圆周运动问题是其中的难点，且常和其他知识点相结合进行考查，从而形成综合性较强的问题。这类问题来源于实际，解决问题的关键要重在理解其运动规律。本文就几类生活中的圆周运动模型作了较为详尽的归纳和解析，对这些问题进行归类研究能更容易理解其运动规律，找到解决问题的基本方法。
一、火车转弯问题
解决此类问题，首先应分析向心力的来源。火车在平直轨道上转弯时挤压外轨，仅由外轨对火车的弹力提供转弯所需向心力。实际中转弯处外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时铁轨对火车的支持力不再沿竖直方向，而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力提供火车转弯所需向心力。其次要明确圆周平面，虽然外轨高于内轨，但整个外轨和整个内轨分别是等高的，因而火车行驶过程中重心的高度不变，火车重心的轨迹在同一水平面内，火车的圆周平面是水平面，而不是斜面。
例1. 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。若一段铁路转弯处内外轨高度差为h=75mm，弯道半径r=440m，内外轨的间距L=1.435m。
①求这段弯道的设计速度v0是多大？
②讨论当火车（质量为m）的速度大于或小于v0时内外轨对火车的侧压力。
解答：
①转弯过程中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图1所示。其中G与FN合力F=mgtanα提供火车转弯的向心力，故由牛顿定律得：mgtanα=
因为α很小，故：tanα≈sinα=
由（1）、（2）可得： v0=
代入数据解得： v0=15m/s
②讨论：当v>v0时，外轨对外轮边缘产生沿路面向内的弹力，此时火车受力如图2所示，则根据牛顿第二定律：
FN·sinα F外·cosα=
FN·cosα=F外·sinα mg
联立两式解得：F外=m cosα-mgsinα
速度v越大，F外越大。
同理，当v F内=mgsinα -m cosα
速度v越小，F内越大。
[拓展]铁路弯道的曲率半径r是根据地形条件决定的，弯道处内外轨道的高度h选取不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率有关，利用数学近似处理得出上述三个量的关系为h=L·
二、汽车过拱桥问题
分析此类问题，要会确定汽车在何位置时对桥面的压力最大。汽车经过凹形桥面时，有向上的加速度或分量，汽车处于超重状态，经过凸形桥面时，有向下的加速度或分量，汽车处于失重状态，当汽车经过凹形桥面的最低点时，汽车对桥面的压力最大。
例2. 一质量m=2.0t的小车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/s2。求：
①若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？
②若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？
③汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？
解答：
①汽车通过凹形桥面最低点时，受力情况如图3所示。水平方向受牵引力F和阻力f，竖直方向受桥面向上的支持力N1和向下重力G=mg，支持力与重力的合力为N1-mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力。
由向心力公式有：N1-mg=m
则支持力N1=mg m （1）
将已知条件代入，并根据牛顿第三定律，得F压=N1=2.88×104N，即汽车对桥面最低点的压力大小是2.88×104N。
②汽车通过凸形桥面最高点时，受力情况如图3所示。水平方向受牵引力F和阻力f，竖直方向受重力G=和桥面向上的支持力N2，重力与支持力的合力为mg-N2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，由向心力公式有
mg-N2=m
则支持力F压=N2=mg-m =1.78×104N （2）
根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104N。
③设汽车速度为vm时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零。根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力就是汽车驶过桥顶点时的向心力。
由向心力公式有：mg=m
解得：vm=30m/s即汽车以30m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力。
[拓展]由（1）式可知，v增大，F1减小；当v增大到 时，F1=0。由（2）式可知，v增大，F1增大。公式是牛顿第二定律在圆周运动中的应用，向心力就是做圆周运动的物体所受的指向圆心方向的合外力。因此，牛顿定律及由牛顿定律导出的一些规律（如超重、失重等）在该问题中仍适用。
三、翻转过山车问题
此類问题侧重考查圆周运动中临界条件的应用，分析时应先考虑达到临界条件时物体所处的状态，再分析该状态下物体受力的特点，结合圆周运动知识解决问题。 例3. 如图5所示，游乐场翻转过山车上的乘客常常会在高速旋转或高空倒悬时感到惊险刺激。这种车的设计有足够的安全系数，过山车在做圆周运动时，可以使乘客稳定在座椅上，还有安全棒紧紧压在乘客胸前，在过山车未到达终点以前，不能将其打开。若一过山车的圆环直径是15m，试利用牛顿第二定律和圆周运动的知识，探究过山车通过圆轨道最高点的速度至少为多少时才能够保证乘客的安全？过山车在圆轨道最低点和最高点时分别处于什么状态？（g取10m/s2）
解答：
过山车运动到环底和环顶时，车中人受力情况是：重力mg、过山车在底部对人的支持力FN下（方向向上）和过山车在顶部对人的支持力FN上（方向向下）。过山车沿圆环滑动，人也做圆周运动，人所需的向心力由mg和FN提供。用v下表示人在圆环底部的速度，v上表示人在圆环顶部的速度，R表示圆环的半径，则：
在底部：FN下-mg=m ，此时，FN下=mg m
可见在底部时，过山车对人的支持力比人的体重大了m ，由牛顿第三定律可知，这时人对滑车座位的压力也比其体重大m 。过山车经过底部时速度会相对较大，所以人的体重增加好多倍，使人紧压在座位上。
在顶部：FN上 mg=m
在最高点时不掉下来且能安全通过的条件是只有重力提供向心力，故有mg=m
得v上= =8.7mv2上
通过上述分析知，过山车在圆轨道最低点和最高点时分别处于超重和失重状态。
[拓展]过山车经过圆轨道最高点的速度与整个轨道最高处A离地面的高度H有关，为了保证游客安全，速度必须达到8.7m/s，那么H必须大于某一个定值。
由机械能守恒定律有：mgH=mgZR mv2上
解得，H=18.75m.。即整个轨道的最高处必须大于18.75m才能保证安全。
四、离心运动问题
物体做离心运动（图6）的条件：合外力突然消失或不足以提供物体做圆周运动所需的向心力。处理此类问题之前，我们要注意分析理解下面几点：
1. 离心运动的运动学特征是逐渐远离圆心运动，动力学特征是合外力突然消失或不足以提供所需的向心力。
2. 做离心运动的质点是做半径越来越大的运动或沿切线方向的运动，不是沿半径方向运动；当合外力突然消失时，物体就以此时的线速度沿切线方向运动，轨迹为一条直线。
3. 做离心运动的质点不存在所谓的“离心力”作用，因为没有任何物体提供这种力。
例4. 如图7所示，细绳一端系着质量M=0.6kg的物体，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g取10m/s2）
解答：
要使m静止，M应与平面相对静止，考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态：当ω为所求范围内的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心；当ω为所求范围的最大值时，M有远离圆心运动的趋势，水平面对M的摩擦力方向指向圆心。
①当ω为所求范围的最小值时，水平面对M的静摩擦力大小等于最大静摩擦力2N，方向背离圆心，此时对M有：
T-fm=Mrω21且T=mg
解得： ω1=2.9rad/s
②当ω为所求范围的最大值时，水平面对M的摩擦力大小也为2N，方向指向圆心，此时：T fm=Mrω22且T=mg
解得：ω2=6.5rad/s
故所求ω的范围为2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s
[拓展]分析两个极端（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围类”问题的一种常用方法。
跟踪训练
1. 绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长l=60cm。求：
（1）最高点水不流出的最小速率
（2）水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力
2. 如图8所示，一质量为m的小球p与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用手拉着绳子的另一端使小球在水平板上绕O作半径为a，角速度为ω1的匀速圆周运动。
（1）若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉紧，使小球绕O作半径为b的匀速圆周运动，则从绳子被放松到拉紧经过多少时间？
（2）當小球沿半径为b的圆周匀速运动时角速度ω2多大？
参考答案：1. 2.42 m/s 2.6N 2. ω1
关键词：圆周运动；问题归类；学生
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）11-0074
圆周运动知识是高中物理学习的重点，也是高考命题的热点。生活中的圆周运动问题是其中的难点，且常和其他知识点相结合进行考查，从而形成综合性较强的问题。这类问题来源于实际，解决问题的关键要重在理解其运动规律。本文就几类生活中的圆周运动模型作了较为详尽的归纳和解析，对这些问题进行归类研究能更容易理解其运动规律，找到解决问题的基本方法。
一、火车转弯问题
解决此类问题，首先应分析向心力的来源。火车在平直轨道上转弯时挤压外轨，仅由外轨对火车的弹力提供转弯所需向心力。实际中转弯处外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时铁轨对火车的支持力不再沿竖直方向，而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力提供火车转弯所需向心力。其次要明确圆周平面，虽然外轨高于内轨，但整个外轨和整个内轨分别是等高的，因而火车行驶过程中重心的高度不变，火车重心的轨迹在同一水平面内，火车的圆周平面是水平面，而不是斜面。
例1. 铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。若一段铁路转弯处内外轨高度差为h=75mm，弯道半径r=440m，内外轨的间距L=1.435m。
①求这段弯道的设计速度v0是多大？
②讨论当火车（质量为m）的速度大于或小于v0时内外轨对火车的侧压力。
解答：
①转弯过程中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火车的受力如图1所示。其中G与FN合力F=mgtanα提供火车转弯的向心力，故由牛顿定律得：mgtanα=
因为α很小，故：tanα≈sinα=
由（1）、（2）可得： v0=
代入数据解得： v0=15m/s
②讨论：当v>v0时，外轨对外轮边缘产生沿路面向内的弹力，此时火车受力如图2所示，则根据牛顿第二定律：
FN·sinα F外·cosα=
FN·cosα=F外·sinα mg
联立两式解得：F外=m cosα-mgsinα
速度v越大，F外越大。
同理，当v
速度v越小，F内越大。
[拓展]铁路弯道的曲率半径r是根据地形条件决定的，弯道处内外轨道的高度h选取不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率有关，利用数学近似处理得出上述三个量的关系为h=L·
二、汽车过拱桥问题
分析此类问题，要会确定汽车在何位置时对桥面的压力最大。汽车经过凹形桥面时，有向上的加速度或分量，汽车处于超重状态，经过凸形桥面时，有向下的加速度或分量，汽车处于失重状态，当汽车经过凹形桥面的最低点时，汽车对桥面的压力最大。
例2. 一质量m=2.0t的小车，驶过半径R=90m的一段圆弧形桥面，重力加速度g=10m/s2。求：
①若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？
②若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？
③汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？
解答：
①汽车通过凹形桥面最低点时，受力情况如图3所示。水平方向受牵引力F和阻力f，竖直方向受桥面向上的支持力N1和向下重力G=mg，支持力与重力的合力为N1-mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力。
由向心力公式有：N1-mg=m
则支持力N1=mg m （1）
将已知条件代入，并根据牛顿第三定律，得F压=N1=2.88×104N，即汽车对桥面最低点的压力大小是2.88×104N。
②汽车通过凸形桥面最高点时，受力情况如图3所示。水平方向受牵引力F和阻力f，竖直方向受重力G=和桥面向上的支持力N2，重力与支持力的合力为mg-N2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，由向心力公式有
mg-N2=m
则支持力F压=N2=mg-m =1.78×104N （2）
根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104N。
③设汽车速度为vm时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零。根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力就是汽车驶过桥顶点时的向心力。
由向心力公式有：mg=m
解得：vm=30m/s即汽车以30m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力。
[拓展]由（1）式可知，v增大，F1减小；当v增大到 时，F1=0。由（2）式可知，v增大，F1增大。公式是牛顿第二定律在圆周运动中的应用，向心力就是做圆周运动的物体所受的指向圆心方向的合外力。因此，牛顿定律及由牛顿定律导出的一些规律（如超重、失重等）在该问题中仍适用。
三、翻转过山车问题
此類问题侧重考查圆周运动中临界条件的应用，分析时应先考虑达到临界条件时物体所处的状态，再分析该状态下物体受力的特点，结合圆周运动知识解决问题。 例3. 如图5所示，游乐场翻转过山车上的乘客常常会在高速旋转或高空倒悬时感到惊险刺激。这种车的设计有足够的安全系数，过山车在做圆周运动时，可以使乘客稳定在座椅上，还有安全棒紧紧压在乘客胸前，在过山车未到达终点以前，不能将其打开。若一过山车的圆环直径是15m，试利用牛顿第二定律和圆周运动的知识，探究过山车通过圆轨道最高点的速度至少为多少时才能够保证乘客的安全？过山车在圆轨道最低点和最高点时分别处于什么状态？（g取10m/s2）
解答：
过山车运动到环底和环顶时，车中人受力情况是：重力mg、过山车在底部对人的支持力FN下（方向向上）和过山车在顶部对人的支持力FN上（方向向下）。过山车沿圆环滑动，人也做圆周运动，人所需的向心力由mg和FN提供。用v下表示人在圆环底部的速度，v上表示人在圆环顶部的速度，R表示圆环的半径，则：
在底部：FN下-mg=m ，此时，FN下=mg m
可见在底部时，过山车对人的支持力比人的体重大了m ，由牛顿第三定律可知，这时人对滑车座位的压力也比其体重大m 。过山车经过底部时速度会相对较大，所以人的体重增加好多倍，使人紧压在座位上。
在顶部：FN上 mg=m
在最高点时不掉下来且能安全通过的条件是只有重力提供向心力，故有mg=m
得v上= =8.7mv2上
通过上述分析知，过山车在圆轨道最低点和最高点时分别处于超重和失重状态。
[拓展]过山车经过圆轨道最高点的速度与整个轨道最高处A离地面的高度H有关，为了保证游客安全，速度必须达到8.7m/s，那么H必须大于某一个定值。
由机械能守恒定律有：mgH=mgZR mv2上
解得，H=18.75m.。即整个轨道的最高处必须大于18.75m才能保证安全。
四、离心运动问题
物体做离心运动（图6）的条件：合外力突然消失或不足以提供物体做圆周运动所需的向心力。处理此类问题之前，我们要注意分析理解下面几点：
1. 离心运动的运动学特征是逐渐远离圆心运动，动力学特征是合外力突然消失或不足以提供所需的向心力。
2. 做离心运动的质点是做半径越来越大的运动或沿切线方向的运动，不是沿半径方向运动；当合外力突然消失时，物体就以此时的线速度沿切线方向运动，轨迹为一条直线。
3. 做离心运动的质点不存在所谓的“离心力”作用，因为没有任何物体提供这种力。
例4. 如图7所示，细绳一端系着质量M=0.6kg的物体，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2m，M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g取10m/s2）
解答：
要使m静止，M应与平面相对静止，考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态：当ω为所求范围内的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心；当ω为所求范围的最大值时，M有远离圆心运动的趋势，水平面对M的摩擦力方向指向圆心。
①当ω为所求范围的最小值时，水平面对M的静摩擦力大小等于最大静摩擦力2N，方向背离圆心，此时对M有：
T-fm=Mrω21且T=mg
解得： ω1=2.9rad/s
②当ω为所求范围的最大值时，水平面对M的摩擦力大小也为2N，方向指向圆心，此时：T fm=Mrω22且T=mg
解得：ω2=6.5rad/s
故所求ω的范围为2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s
[拓展]分析两个极端（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围类”问题的一种常用方法。
跟踪训练
1. 绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长l=60cm。求：
（1）最高点水不流出的最小速率
（2）水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力
2. 如图8所示，一质量为m的小球p与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用手拉着绳子的另一端使小球在水平板上绕O作半径为a，角速度为ω1的匀速圆周运动。
（1）若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉紧，使小球绕O作半径为b的匀速圆周运动，则从绳子被放松到拉紧经过多少时间？
（2）當小球沿半径为b的圆周匀速运动时角速度ω2多大？
参考答案：1. 2.42 m/s 2.6N 2. ω1