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[摘 要]通过利用几何画板对三角形“五心”衔接课的实验教学，得出复习课的实验教学能极大地激发学生强烈的学习兴趣、突破教学重点、分解教学难点、全面提高学生的素质几个结论，并提出了复习课实验教学的几点建议。
[关键词]几何画板；三角形“五心”；复习
[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A
[文章编号]2095-3712（2015）17-0056-03
[作者简介]黄英电（1986—），男，广西河池市人，本科，广西师范大学数学与统计学院2013级在读教育硕士，广西南宁隆安县隆安中学数学教师，中学二级。
一、引言
高一秋期新入学的学生需要用一周的时间来复习初中的一些与高中紧密联系的知识点，在复习到三角形“五心”这部分知识的时候，大部分学生弄不清楚。几何画板作为一个有力的数学教学工具，作图方便准确，色彩鲜艳，富有动感，可使课堂高潮迭起，妙趣横生。
二、实验对象
对隆安中学两个高一平行班进行实验（两个班人数都是68人，数学基础相差很小），时间为2014年秋期第一周周五上午第一、二节（第一节为一班上课时间，第二节为二班上课时间），其中一班为对照组，利用传统教学复习，即让学生课前完成导学案，自己整理有关三角形“五心”的概念和性质，课中展示，再做练习、作业巩固知识点。二班为实验组，利用学校的计算机室，用几何画板进行一人一机的实验教学，即完成课前预习后，引导学生按照实验操作动手分别把内心、外心、重心、垂心、旁心找出来，通过观察数据研究探索“五心”的性质，课后再进行练习，以巩固知识点。
三、实验操作
1.三角形内心的概念是三条角平分线的交点，就是三角形内切圆的圆心。利用几何画板进行实验操作：先利用几何画板中的自定义工具任意画一个[WTBX]△ABC，然后利用构造中的构造角平分线把三个角的角平分线画出来得到一个交点D，点D就是△ABC的内心，进一步可以引导学生对内心的性质进行探究。如图1，先通过点D分别作AB、AC、BC三边的垂线段DC、DF、DE（利用构造中的构造垂线的方法），再分别把DE、DF、DG的长度和∠ABC、∠CAB、∠ACB进行度量，通过数据直观地得出三角形内心的性质：内心到三角形三边距离相等。学生还可以通过变换三角形，清楚地看到不管这个三角形是什么三角形（钝角、直角、锐角），三角形的内心都在三角形内。
2.三角形的外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。利用几何画板进行实验操作：在几何画板的文件工具的文档选项中，点击新增页。利用自定义工具任意画一个△ABC，如图2，然后点击线段AB，构造AB的中点E，再点击点E和线段AB构造AB的垂线i，类似的得到线段BC和AC的垂线j、k，i、j、k三条垂线的交点D就是我们要找的△ABC的外心，进一步研究三角形外心的性质，连接DA、DB、DC三条线段，通过度量工具把它们的长度度量出来（如图2）可得到外心到三个顶点距离相等，还可以度量△ABC三个角的角度，通过变换△ABC进一步观察外心D的位置，可发现当△ABC是锐角三角形时，外心在三角形内；当△ABC是钝角三角形时，外心在三角形外；当△ABC是直角三角形时，外心在在斜边上，与斜边中点重合。还可以进一步引导学生研究∠ABC与∠ADC的关系。
3.三角形重心：三角形三边中线的交点。在几何画板的文件工具的文档选项中，点击新增页。利用自定义工具画一个任意的△ABC，如图3，类似外心做法，分别取线段AB、BC、AC的中点D、E、F，连接AE、BF、DC构造线段，AE、BF、DC三条线段的交点G就是△ABC的重心，然后构造线段AG、GE、BG、GF、CG、GD，用度量工具把这些线段的长度度量出来，可清楚地发现AG=2GE、BG=2GF、CG=2GD。还可把∠ABC、∠CAB、∠ACB的角度度量出来，变换三角形，观察重心G的位置，可发现不管△ABC是什么样的三角形，重心G都在三角形内。
4.三角形的垂心：三条高所在直线的交点。与前面的操作类似，在几何画板的文件工具的文档选项中，点击新增页。利用自定义工具任意画一个△ABC，点击点A和线段BC然后构造过点A和线段BC的垂线AD，同样方法，分别构造过点B和线段AC上的垂线BE与过点C和线段AB上的垂线CF，AD、BE、CF三条垂线的交点G就是△ABC的垂心，如图4。把∠ABC、∠CAB、∠ACB的角度度量出来，可发现：当△ABC是锐角三角形时，垂心G在三角形内部；当△ABC是直角三角形时，垂心G在三角形直角的顶点上；当△ABC是钝角三角形时，垂心G在三角形外。
5.三角形旁切圆的圆心，简称为三角形旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点。与前面的操作类似，利用自定义工具任意画一个△ABC，如图5，点击点A和点B利用构造工具构造射线，在线段AB的延长线上取点P，点击B、P构造线段BP，点击线段BC和线段BP利用构造工具构造∠PBC的角平分线k，同理构造∠BAC和∠BCH的角平分线m、l，k、m、l的交点D就是△ABC的旁心。进一步研究旁心的性质，在图5的基础上，过点D分别作BC、CH、BP的垂线，与BC、CH 、BP的垂足分别为E、F、G，分别连接构造线段，用度量工具分别度量DE、DF、DG的长度，可发现DE=DF=DG，点击点D和点E利用构造工具作圆，明显圆D是△ABC的旁切圆。利用度量工具把∠ABC、∠CAB、∠ACB的角度度量出来，变换三角形，观察旁心D的位置，可发现不管△ABC是什么样的三角形，旁心D都在三角形外。
四、实验结论
1.激发学生强烈的学习兴趣
在实验教学中，二班的学生一听要到机房上课马上大声欢呼，到机房后都能认认真真按照实验步骤操作，整节课40分钟，学生积极地讨论，课堂气氛活跃。而一班的课堂气氛显得比较沉闷，学生容易走神，注意力集中不持久。课后的调查发现：二班100%的学生愿意到机房上数学实验课，83%的学生因为太过专注而没注意到下课铃声。这说明利用几何画板的数学实验教学能极大地激发学生学习兴趣。 2.全面提高学生的素质
开展三角形“五心”衔接复习课的实验教学，能够给学生提供一个“做数学”的情境，在这样的情境下，学生实现了三角形“五心” 概念的再现与再创造，能更好地建构自己的数学知识体系。利用几何画板的数学实验是一种能够使学生亲身经历数学“再创造”过程的数学形式，能够使学生切身体验知识的发生发展过程，牢固掌握所学的数学知识，培养学生的设计能力、动手实践能力、观察应用能力、归纳概括能力、创新意识和小组合作精神，全面提高学生的素质。在实验教学中，二班有87%的学生在课堂中得到其他同学的帮助，64%的学生能主动地帮助操作有困难的同学，有32%的学生能在做好课堂要求的操作外，对等腰和等边三角形的“五心”进行探究。
3.突破教学重点，分解教学难点
在实验教学后的调查中发现92%的学生认为通过实验教学逐个操作比较容易理解和区分三角形“五心”的概念，而且，因为都是动手操作，对各心的性质理解掌握较深刻。这就轻易地突破了本节复习课的重点：理解三角形“五心”的概念并掌握它们的性质，因为几何画板中五心是逐个操作画出的，所以难点“性质的掌握”得到了分解。比如三角形外心的位置变化，在黑板上很难讲清楚，但让学生“做”，在几何画板中画出三角形外心[WTBX]D后，通过拉动三角形的顶点变换三角形，观察三角形角的变化就可以清楚地看到外心D[WTBZ]的位置变化情况。
上完衔接复习课后，隔天对两个班进行简单的三角形“五心”的测试，结果发现，整体测试一班同学的优秀率只有54%，而二班达到83%。概念掌握率一班能掌握和区分五个概念的只有46%，而二班达到93%。性质的应用一班正确率有56%，而二班达到88%。虽然可能有一些干扰因素，但考虑到两个班基础相差不大，两个班的人数相同，从测试的结果看，利用几何画板进行三角形“五心”衔接复习课的实验教学还是有明显的效果。
五、教学建议
1.利用几何画板进行的数学复习课的实验教学，教师应进行精心准备和指导，站在新的高度来灵活处理复习内容，要努力营造轻松的研究氛围，开展以学生为主体的探索、研究活动。
2.由于几何画板软件比较灵活、开放，学生上课时往往会沉迷于对几何画板的研究，从而忽略对复习内容的研究与探索。课前教师应强调几何画板只是一种工具，对复习内容的研究与探索才是学习的主要任务，不能本末倒置。
3.利用几何画板进行的数学复习课的实验教学实际上就是充分利用数形结合。而几何画板又具有强大的功能，具有很大的创造空间。因此，教师本人要不断研究学习，具备必要的应变和驾驭能力以应对学生不断提出的新问题。
4.有些学生学习数学比较困难，但是上机的动手操作能力比较强，比较具有创新思维，对于这部分学生教师要予以充分的肯定；有些学生反之，记忆力好，能死记硬背，但动手能力较差，思维不够开拓，对于这些学生教师也不能差评。应尽量把两种学生放在同一组，让他们取长补短，共同进步，培养他们的合作研究精神。
参考文献：
[1] 王丽群.几何画板在初中数学中的运用[J].数学学习与研究，2012（6）.
[2] 课程教材研究所.义务教育课程标准实验教科书数学（九年级上）[M].北京：人民教育出版社，2004.
[关键词]几何画板；三角形“五心”；复习
[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A
[文章编号]2095-3712（2015）17-0056-03
[作者简介]黄英电（1986—），男，广西河池市人，本科，广西师范大学数学与统计学院2013级在读教育硕士，广西南宁隆安县隆安中学数学教师，中学二级。
一、引言
高一秋期新入学的学生需要用一周的时间来复习初中的一些与高中紧密联系的知识点，在复习到三角形“五心”这部分知识的时候，大部分学生弄不清楚。几何画板作为一个有力的数学教学工具，作图方便准确，色彩鲜艳，富有动感，可使课堂高潮迭起，妙趣横生。
二、实验对象
对隆安中学两个高一平行班进行实验（两个班人数都是68人，数学基础相差很小），时间为2014年秋期第一周周五上午第一、二节（第一节为一班上课时间，第二节为二班上课时间），其中一班为对照组，利用传统教学复习，即让学生课前完成导学案，自己整理有关三角形“五心”的概念和性质，课中展示，再做练习、作业巩固知识点。二班为实验组，利用学校的计算机室，用几何画板进行一人一机的实验教学，即完成课前预习后，引导学生按照实验操作动手分别把内心、外心、重心、垂心、旁心找出来，通过观察数据研究探索“五心”的性质，课后再进行练习，以巩固知识点。
三、实验操作
1.三角形内心的概念是三条角平分线的交点，就是三角形内切圆的圆心。利用几何画板进行实验操作：先利用几何画板中的自定义工具任意画一个[WTBX]△ABC，然后利用构造中的构造角平分线把三个角的角平分线画出来得到一个交点D，点D就是△ABC的内心，进一步可以引导学生对内心的性质进行探究。如图1，先通过点D分别作AB、AC、BC三边的垂线段DC、DF、DE（利用构造中的构造垂线的方法），再分别把DE、DF、DG的长度和∠ABC、∠CAB、∠ACB进行度量，通过数据直观地得出三角形内心的性质：内心到三角形三边距离相等。学生还可以通过变换三角形，清楚地看到不管这个三角形是什么三角形（钝角、直角、锐角），三角形的内心都在三角形内。
2.三角形的外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。利用几何画板进行实验操作：在几何画板的文件工具的文档选项中，点击新增页。利用自定义工具任意画一个△ABC，如图2，然后点击线段AB，构造AB的中点E，再点击点E和线段AB构造AB的垂线i，类似的得到线段BC和AC的垂线j、k，i、j、k三条垂线的交点D就是我们要找的△ABC的外心，进一步研究三角形外心的性质，连接DA、DB、DC三条线段，通过度量工具把它们的长度度量出来（如图2）可得到外心到三个顶点距离相等，还可以度量△ABC三个角的角度，通过变换△ABC进一步观察外心D的位置，可发现当△ABC是锐角三角形时，外心在三角形内；当△ABC是钝角三角形时，外心在三角形外；当△ABC是直角三角形时，外心在在斜边上，与斜边中点重合。还可以进一步引导学生研究∠ABC与∠ADC的关系。
3.三角形重心：三角形三边中线的交点。在几何画板的文件工具的文档选项中，点击新增页。利用自定义工具画一个任意的△ABC，如图3，类似外心做法，分别取线段AB、BC、AC的中点D、E、F，连接AE、BF、DC构造线段，AE、BF、DC三条线段的交点G就是△ABC的重心，然后构造线段AG、GE、BG、GF、CG、GD，用度量工具把这些线段的长度度量出来，可清楚地发现AG=2GE、BG=2GF、CG=2GD。还可把∠ABC、∠CAB、∠ACB的角度度量出来，变换三角形，观察重心G的位置，可发现不管△ABC是什么样的三角形，重心G都在三角形内。
4.三角形的垂心：三条高所在直线的交点。与前面的操作类似，在几何画板的文件工具的文档选项中，点击新增页。利用自定义工具任意画一个△ABC，点击点A和线段BC然后构造过点A和线段BC的垂线AD，同样方法，分别构造过点B和线段AC上的垂线BE与过点C和线段AB上的垂线CF，AD、BE、CF三条垂线的交点G就是△ABC的垂心，如图4。把∠ABC、∠CAB、∠ACB的角度度量出来，可发现：当△ABC是锐角三角形时，垂心G在三角形内部；当△ABC是直角三角形时，垂心G在三角形直角的顶点上；当△ABC是钝角三角形时，垂心G在三角形外。
5.三角形旁切圆的圆心，简称为三角形旁心，它是三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点。与前面的操作类似，利用自定义工具任意画一个△ABC，如图5，点击点A和点B利用构造工具构造射线，在线段AB的延长线上取点P，点击B、P构造线段BP，点击线段BC和线段BP利用构造工具构造∠PBC的角平分线k，同理构造∠BAC和∠BCH的角平分线m、l，k、m、l的交点D就是△ABC的旁心。进一步研究旁心的性质，在图5的基础上，过点D分别作BC、CH、BP的垂线，与BC、CH 、BP的垂足分别为E、F、G，分别连接构造线段，用度量工具分别度量DE、DF、DG的长度，可发现DE=DF=DG，点击点D和点E利用构造工具作圆，明显圆D是△ABC的旁切圆。利用度量工具把∠ABC、∠CAB、∠ACB的角度度量出来，变换三角形，观察旁心D的位置，可发现不管△ABC是什么样的三角形，旁心D都在三角形外。
四、实验结论
1.激发学生强烈的学习兴趣
在实验教学中，二班的学生一听要到机房上课马上大声欢呼，到机房后都能认认真真按照实验步骤操作，整节课40分钟，学生积极地讨论，课堂气氛活跃。而一班的课堂气氛显得比较沉闷，学生容易走神，注意力集中不持久。课后的调查发现：二班100%的学生愿意到机房上数学实验课，83%的学生因为太过专注而没注意到下课铃声。这说明利用几何画板的数学实验教学能极大地激发学生学习兴趣。 2.全面提高学生的素质
开展三角形“五心”衔接复习课的实验教学，能够给学生提供一个“做数学”的情境，在这样的情境下，学生实现了三角形“五心” 概念的再现与再创造，能更好地建构自己的数学知识体系。利用几何画板的数学实验是一种能够使学生亲身经历数学“再创造”过程的数学形式，能够使学生切身体验知识的发生发展过程，牢固掌握所学的数学知识，培养学生的设计能力、动手实践能力、观察应用能力、归纳概括能力、创新意识和小组合作精神，全面提高学生的素质。在实验教学中，二班有87%的学生在课堂中得到其他同学的帮助，64%的学生能主动地帮助操作有困难的同学，有32%的学生能在做好课堂要求的操作外，对等腰和等边三角形的“五心”进行探究。
3.突破教学重点，分解教学难点
在实验教学后的调查中发现92%的学生认为通过实验教学逐个操作比较容易理解和区分三角形“五心”的概念，而且，因为都是动手操作，对各心的性质理解掌握较深刻。这就轻易地突破了本节复习课的重点：理解三角形“五心”的概念并掌握它们的性质，因为几何画板中五心是逐个操作画出的，所以难点“性质的掌握”得到了分解。比如三角形外心的位置变化，在黑板上很难讲清楚，但让学生“做”，在几何画板中画出三角形外心[WTBX]D后，通过拉动三角形的顶点变换三角形，观察三角形角的变化就可以清楚地看到外心D[WTBZ]的位置变化情况。
上完衔接复习课后，隔天对两个班进行简单的三角形“五心”的测试，结果发现，整体测试一班同学的优秀率只有54%，而二班达到83%。概念掌握率一班能掌握和区分五个概念的只有46%，而二班达到93%。性质的应用一班正确率有56%，而二班达到88%。虽然可能有一些干扰因素，但考虑到两个班基础相差不大，两个班的人数相同，从测试的结果看，利用几何画板进行三角形“五心”衔接复习课的实验教学还是有明显的效果。
五、教学建议
1.利用几何画板进行的数学复习课的实验教学，教师应进行精心准备和指导，站在新的高度来灵活处理复习内容，要努力营造轻松的研究氛围，开展以学生为主体的探索、研究活动。
2.由于几何画板软件比较灵活、开放，学生上课时往往会沉迷于对几何画板的研究，从而忽略对复习内容的研究与探索。课前教师应强调几何画板只是一种工具，对复习内容的研究与探索才是学习的主要任务，不能本末倒置。
3.利用几何画板进行的数学复习课的实验教学实际上就是充分利用数形结合。而几何画板又具有强大的功能，具有很大的创造空间。因此，教师本人要不断研究学习，具备必要的应变和驾驭能力以应对学生不断提出的新问题。
4.有些学生学习数学比较困难，但是上机的动手操作能力比较强，比较具有创新思维，对于这部分学生教师要予以充分的肯定；有些学生反之，记忆力好，能死记硬背，但动手能力较差，思维不够开拓，对于这些学生教师也不能差评。应尽量把两种学生放在同一组，让他们取长补短，共同进步，培养他们的合作研究精神。
参考文献：
[1] 王丽群.几何画板在初中数学中的运用[J].数学学习与研究，2012（6）.
[2] 课程教材研究所.义务教育课程标准实验教科书数学（九年级上）[M].北京：人民教育出版社，2004.