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【摘要】《新课标》指出：“学生学习应当是一个生动活泼、主动和富有个性的过程……学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，获得基本的数学活动经验.” 在培养学生核心素养的现代教育理念下，数学活动经验的积累已然是提高学生数学素养的重要标志.但在实际教学中，部分教师为追求所谓的“高效”，简化了引导学生经历知识形成过程的探索活动，还有部分教师为“省事”，用师生对话和做题替代了应用数学知识解决实际问题的综合实践活动.笔者结合两年以来围绕“度量”主题所进行的行动研究，谈谈在关注学生学习过程时，积累数学活动经验的几点做法.
【关键词】数学活动经验;几何度量;行动研究
近两年围绕“度量”专题进行研究时，笔者发现在教材中与度量相关的内容广泛，涉及计算、计算单位、几何测量等，在教学安排上比较分散.而在“几何与图形”模块中，则有着较系统的架构.因此，笔者沿“线—面—体”这一主线，从一维到二维再到三维的研究顺序，应用凯米斯的行动研究模式对一些典型课例进行了计划、行动、考察和反思，并结合具体的学习内容，设计了一系列有效的数学探究活动，关注学生经历数学知识的发生发展过程，以积累数学活动经验，感受实际测量在生活中的实际意义.研究结果表明，丰富多样的操作活动能更好地帮助学生理解数学知识的来龙去脉，培养学生的创造力.现具体谈谈几点做法：
一、巧妙借助导学与游戏，充分感受知识形成过程
瑞士儿童心理学家皮亚杰等人研究认为，空间表象是通过儿童主动地将内化行为逐步组织而构建起来的.因此，空间表象不是儿童感性地读出空间环境，而是来自操作活动的积累.
在二年级“铅笔有多长”一课中，探究几个常用的长度单位之间的关系是本课的教学重点，教师通常的做法是让学生在米尺上数一数有多少个1分米.在课堂观察中，笔者发现学生对此兴趣不大，直到用同样的方法在直尺上数一数“1分米里面有多少个1厘米”时，大多数学生已失去了兴致.课后与对此环节表现得最无趣的12名学生聊天，他们中大部分表示对这个知识点早就听过，少部分表示只要记住进率就可以换算了.再进一步问他们，你能用手较准确地比画出一米有多长吗？再比画1米里面有多少个1分米呢？孩子们露出了困惑，且在后续“应用适当的长度单位填空”时错误率达到50%以上.可想而知，学生对知识的理解止步于进率，其空间观念并未得到发展.
低年级儿童的空间观念尚处于具体形象认知阶段，对直观的依赖性强，他们往往利用日常生活经验来思考或描述.新课标的基本理念也提到“数学教学活动必须建立在学生的認知发展水平和已有的知识经验基础上”，即无论从心理学角度，还是课标要求，均要求教师要根据具体情况，重视儿童的操作经验，帮助他们进行一定的数学意义的思考和对知识的重构.也只有“以学定教”，才能使学生体验到提出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.因此，为了让低年级学生体会米与分米之间的联系，经历知识形成的过程，教学团队设计了接龙游戏：分小组进行活动，每名学生拿一支1分米长的绿色铅笔，在米尺上接龙.仔细观察：首尾相连的情况下一共可以摆多少支？比画一下，再认真思考：你发现了什么？在游戏的过程中，可视具体情况邀请其他小组一起合作完成接龙游戏.
游戏环节的设计，符合低年级孩子的心理年龄需要.学生自然而然地先观察米尺和1分米长的铅笔这两个需要进行比较的量，结合已有的知识经验进行了估计（利用身体的小尺子），再进行接龙游戏，最后归纳、交流自己的发现.而一个小组的铅笔数不够，又激发了学生合作交流的意愿，进一步促进自主探索.在这个游戏中，学生主动尝试、主动参与、主动思考的行为表现非常明显，充分经历了知识形成的过程，深刻感受到米与分米之间的联系，为下一阶段的学习积累了数学活动经验.
二、引导经历猜想与验证，深刻感悟数学思想
面积，是常见的几何度量的概念之一，但在学习和生活中往往发现大部分学生的空间观念薄弱，尤其对公式推导的思想方法认知肤浅.思其原因，笔者认为是在相关的实际教学中，学生缺乏探究推导面积公式的体验，即重结果而轻过程.《新课标》基本理念明确了“教学内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系……”.因此在五年级“平行四边形的面积”教学中，对于公式的推导，笔者团队做了以下的活动设计：
1.基于已有知识进行猜想
在学习平行四边形的面积之前，学生已经学过了长方形和正方形的面积公式，所以，在已有知识经验的基础上让学生进行数学猜想：平行四边形的面积与什么有关？学生会认为平行四边形的面积与相邻的两边长有关，也有部分学生认为平行四边形的面积与它的底和高有关，这些都是重要的数学信息，并非“瞎想”，因此，教师要鼓励学生大胆说出自己的想法，并肯定他们敢于猜测的数学习惯，告诉学生数学史上有很多著名的问题都是被大胆猜想提出的，如哥德巴赫猜想等，让学生感知到从数学角度出发的猜想都有探究的价值和验证的必要.
2.基于已有技能进行验证
猜想的意义在于激发验证，而验证的关键在于引导学生自主进行.为了不落入“牵着学生鼻子走”的俗套，教学中团队准备了方格纸、尺子、剪刀、胶水、平行四边形纸板、与平行四边形等面积的长方形纸板等工具，活动要求如下：1.选择自己想要使用的工具，可独立进行、可合作进行验证.2.讨论、归纳你的发现.这种开放性的活动设计激发了学生的探究欲望，出现了五花八门的验证方式.如有的学生把图形放在方格纸上面，用数格子的方式寻求平行四边形的面积;也有的学生把平行四边形剪成几部分，试图拼成一个学过的图形;还有的学生在“剪坏”了一个图形后，主动凑到旁边的小组把自己失败的经验告诉同伴，然后优化了方法，剪拼成一个长方形;还有个别学生把平行四边形纸板剪拼成长方形后，与学具中的长方形纸板对比，发现它们面积相等;也有的学生使用直尺进行测量，用数据对比说明平行四边形的底、高与所拼成的长方形的长、宽之间的关系……像这样，调动学生自主性，学生在经历了观察、剪拼、比较、分析、综合后，形成了对平行四边形面积的共性认识，最后验证猜想，不仅积累了丰富的数学活动经验，更深刻地理解了平行四边形面积公式的来龙去脉. 而后，“三角形的面积”的教学中，基于已有活动经验的积累，学生在探究“三角形面积计算公式”时，能自发地通过剪拼活动，将图形转化为一个已知求面积方法的图形，从而归纳出公式.在汇报时可见，学生将三角形转化成了平行四边形、长方形、正方形等图形，其创造性思考层出不穷，令人赞叹不已.学生数学学习过程的充实和活动经验的积累，使面积公式的推导乃至体积公式的推导也愈来愈顺理成章，水到渠成.
3.基于活动经验感悟思想
《新课标（2011）》指出，教学内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法，也就是说，数学思想方法不是教师“教”给学生的，而是学生在操作中体验、在体验中感悟、在感悟中发展起来的.结合以上两个课例，学生在充分经历了推导平行四边形、三角形面积公式的活动后，体验到所用的验证方法，其本质都是将探究的图形转化成学过的图形，再进行观察、试验和总结的过程.从而使蕴含的“化归”思想、“合情推理”思想得以在具体的活动过程中体现，也使学生的“空间观念”和“几何直观”等核心素养得到了进一步发展.在“平行四边形的面积”一课后，笔者还播放了一段“曹冲称象”的小视频，加深了学生对等积转化的理解，进一步感悟数学思想在生活中应用的价值，揭示数学本质.
三、合理设计综合与实践，积累数学活动经验
教材虽然将内容分成了几个独立的模块，但数学知识之间却是一个有着密切联系的庞大的结构体.笔者认为，要把这些盘根错节，螺旋上升的知识点和学生多元化的思考融合在一起，“综合与实践”活动是一个良好的平台.“综合与实践”活动是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授，其教学目标是帮助学生积累数学活动经验，培养学生的应用意识与创新意识.只有当学生把数学知识和已有的生活经验、周围的世界联系起来时，才能真正体会到数学的价值.
基于以上认识，笔者团队在“铅笔有多长”一课的教学中设计了综合与实践环节：小组合作，测量自己感兴趣的物体长度.在综合与实践活动中，激发学生关注数学内部知识的联系，如测量黑板的长度，先抽象出所要测量的直直的邊，从头开始，进行实物测量;注重数学与生活实际的联系，如在测量空调的高、黑板的长时，学生主动选择了卷尺;测量讲台的高时则选择了米尺，这是生活经验积累和运用的体现;还注重了数学与其他学科的综合应用，如在记录好任务卡进行汇报时，小组长组织了较丰富的语言和运用多样的记录方式来进行表述综合与实践的过程与结果.这一综合与实践环节，在促进学生对基本知识和技能掌握的同时，更在选择长度单位、测量工具中进一步深化空间观念的培养.
随着学生活动经验的不断累积，秉持“以生为本”的理念，笔者在五年级“长方体的表面积”一课的教学中也设计了五分钟的综合与实践活动：测量教室.设计问题如下：学校打算重新粉刷教室的四周和天花板，请同学帮忙进行实地测量，完成任务单，以便知道要购进多少油漆.学生在掌握和理解了本课知识后，通过简单的交流便明确了只需要三个数据（即教室的长、宽、高）就可以求出要粉刷的面积.在操作过程中，高年级学生的合作能力、动手操作能力得到了充分彰显.学生熟练地使用适当的工具进行测量，对度量方法、度量单位、度量数据及结果等进行了回顾与应用.由于教室的高很难测量，所以只能进行估测.而估测的过程是学生借助以往活动经验的积累所建立起来的长度表象进行的.在汇报时，学生还在交流中不断调整之前估测的结果，使估计的数据愈发接近精准值，呈现了真实的思考应用过程.在整个综合与实践活动过程中，工具的使用、思考的方式都具有一定的数学专业性，进一步让学生体会到了估测习惯的养成、数学经验的积累在生活应用中有着极其重要的作用，体会到度量的意义，感受到学习数学的价值.
智力是一种思维结构的连续形成和改组的过程.像这样的综合与实践活动环节，被笔者内化成上课时的常态行动，让学生有着充分的时间和空间进行思考、操作、积累和创造，即是一种思维结构重组和创新的过程，促进智力的发展.
培养学生核心素养是21世纪学生发展的重要议题.通过对不同国际组织、国家和地区核心素养指标的对比发现，虽然基于各自的社会现实采用了不同的研究思路，但国际视野下的核心素养无一不包括了“问题解决”这一核心能力的培养.我国的核心素养体系“学习与发展”领域中也明确了“问题解决与实践”的内涵：培养学生探究精神和实践能力.笔者在“几何度量”专题研究中对此略有所思、略有所得，更深感数学学习必须将已掌握的知识与技能用于实践，而非纸上谈兵.因此，关注学生学习过程，积累数学活动经验作为培养问题解决与实践能力这一核心素养的重要途径，笔者将继续在引导学生进行探究与实践方面做进一步的行动研究.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012，1.
[2]林崇德.21世纪学生发展核心素养研究[M].北京：北京师范大学出版社，2016，3.
[3]崔海江.小学数学教学关键问题指导[C].北京：高等教育出版社，2016，7.
【关键词】数学活动经验;几何度量;行动研究
近两年围绕“度量”专题进行研究时，笔者发现在教材中与度量相关的内容广泛，涉及计算、计算单位、几何测量等，在教学安排上比较分散.而在“几何与图形”模块中，则有着较系统的架构.因此，笔者沿“线—面—体”这一主线，从一维到二维再到三维的研究顺序，应用凯米斯的行动研究模式对一些典型课例进行了计划、行动、考察和反思，并结合具体的学习内容，设计了一系列有效的数学探究活动，关注学生经历数学知识的发生发展过程，以积累数学活动经验，感受实际测量在生活中的实际意义.研究结果表明，丰富多样的操作活动能更好地帮助学生理解数学知识的来龙去脉，培养学生的创造力.现具体谈谈几点做法：
一、巧妙借助导学与游戏，充分感受知识形成过程
瑞士儿童心理学家皮亚杰等人研究认为，空间表象是通过儿童主动地将内化行为逐步组织而构建起来的.因此，空间表象不是儿童感性地读出空间环境，而是来自操作活动的积累.
在二年级“铅笔有多长”一课中，探究几个常用的长度单位之间的关系是本课的教学重点，教师通常的做法是让学生在米尺上数一数有多少个1分米.在课堂观察中，笔者发现学生对此兴趣不大，直到用同样的方法在直尺上数一数“1分米里面有多少个1厘米”时，大多数学生已失去了兴致.课后与对此环节表现得最无趣的12名学生聊天，他们中大部分表示对这个知识点早就听过，少部分表示只要记住进率就可以换算了.再进一步问他们，你能用手较准确地比画出一米有多长吗？再比画1米里面有多少个1分米呢？孩子们露出了困惑，且在后续“应用适当的长度单位填空”时错误率达到50%以上.可想而知，学生对知识的理解止步于进率，其空间观念并未得到发展.
低年级儿童的空间观念尚处于具体形象认知阶段，对直观的依赖性强，他们往往利用日常生活经验来思考或描述.新课标的基本理念也提到“数学教学活动必须建立在学生的認知发展水平和已有的知识经验基础上”，即无论从心理学角度，还是课标要求，均要求教师要根据具体情况，重视儿童的操作经验，帮助他们进行一定的数学意义的思考和对知识的重构.也只有“以学定教”，才能使学生体验到提出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.因此，为了让低年级学生体会米与分米之间的联系，经历知识形成的过程，教学团队设计了接龙游戏：分小组进行活动，每名学生拿一支1分米长的绿色铅笔，在米尺上接龙.仔细观察：首尾相连的情况下一共可以摆多少支？比画一下，再认真思考：你发现了什么？在游戏的过程中，可视具体情况邀请其他小组一起合作完成接龙游戏.
游戏环节的设计，符合低年级孩子的心理年龄需要.学生自然而然地先观察米尺和1分米长的铅笔这两个需要进行比较的量，结合已有的知识经验进行了估计（利用身体的小尺子），再进行接龙游戏，最后归纳、交流自己的发现.而一个小组的铅笔数不够，又激发了学生合作交流的意愿，进一步促进自主探索.在这个游戏中，学生主动尝试、主动参与、主动思考的行为表现非常明显，充分经历了知识形成的过程，深刻感受到米与分米之间的联系，为下一阶段的学习积累了数学活动经验.
二、引导经历猜想与验证，深刻感悟数学思想
面积，是常见的几何度量的概念之一，但在学习和生活中往往发现大部分学生的空间观念薄弱，尤其对公式推导的思想方法认知肤浅.思其原因，笔者认为是在相关的实际教学中，学生缺乏探究推导面积公式的体验，即重结果而轻过程.《新课标》基本理念明确了“教学内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系……”.因此在五年级“平行四边形的面积”教学中，对于公式的推导，笔者团队做了以下的活动设计：
1.基于已有知识进行猜想
在学习平行四边形的面积之前，学生已经学过了长方形和正方形的面积公式，所以，在已有知识经验的基础上让学生进行数学猜想：平行四边形的面积与什么有关？学生会认为平行四边形的面积与相邻的两边长有关，也有部分学生认为平行四边形的面积与它的底和高有关，这些都是重要的数学信息，并非“瞎想”，因此，教师要鼓励学生大胆说出自己的想法，并肯定他们敢于猜测的数学习惯，告诉学生数学史上有很多著名的问题都是被大胆猜想提出的，如哥德巴赫猜想等，让学生感知到从数学角度出发的猜想都有探究的价值和验证的必要.
2.基于已有技能进行验证
猜想的意义在于激发验证，而验证的关键在于引导学生自主进行.为了不落入“牵着学生鼻子走”的俗套，教学中团队准备了方格纸、尺子、剪刀、胶水、平行四边形纸板、与平行四边形等面积的长方形纸板等工具，活动要求如下：1.选择自己想要使用的工具，可独立进行、可合作进行验证.2.讨论、归纳你的发现.这种开放性的活动设计激发了学生的探究欲望，出现了五花八门的验证方式.如有的学生把图形放在方格纸上面，用数格子的方式寻求平行四边形的面积;也有的学生把平行四边形剪成几部分，试图拼成一个学过的图形;还有的学生在“剪坏”了一个图形后，主动凑到旁边的小组把自己失败的经验告诉同伴，然后优化了方法，剪拼成一个长方形;还有个别学生把平行四边形纸板剪拼成长方形后，与学具中的长方形纸板对比，发现它们面积相等;也有的学生使用直尺进行测量，用数据对比说明平行四边形的底、高与所拼成的长方形的长、宽之间的关系……像这样，调动学生自主性，学生在经历了观察、剪拼、比较、分析、综合后，形成了对平行四边形面积的共性认识，最后验证猜想，不仅积累了丰富的数学活动经验，更深刻地理解了平行四边形面积公式的来龙去脉. 而后，“三角形的面积”的教学中，基于已有活动经验的积累，学生在探究“三角形面积计算公式”时，能自发地通过剪拼活动，将图形转化为一个已知求面积方法的图形，从而归纳出公式.在汇报时可见，学生将三角形转化成了平行四边形、长方形、正方形等图形，其创造性思考层出不穷，令人赞叹不已.学生数学学习过程的充实和活动经验的积累，使面积公式的推导乃至体积公式的推导也愈来愈顺理成章，水到渠成.
3.基于活动经验感悟思想
《新课标（2011）》指出，教学内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法，也就是说，数学思想方法不是教师“教”给学生的，而是学生在操作中体验、在体验中感悟、在感悟中发展起来的.结合以上两个课例，学生在充分经历了推导平行四边形、三角形面积公式的活动后，体验到所用的验证方法，其本质都是将探究的图形转化成学过的图形，再进行观察、试验和总结的过程.从而使蕴含的“化归”思想、“合情推理”思想得以在具体的活动过程中体现，也使学生的“空间观念”和“几何直观”等核心素养得到了进一步发展.在“平行四边形的面积”一课后，笔者还播放了一段“曹冲称象”的小视频，加深了学生对等积转化的理解，进一步感悟数学思想在生活中应用的价值，揭示数学本质.
三、合理设计综合与实践，积累数学活动经验
教材虽然将内容分成了几个独立的模块，但数学知识之间却是一个有着密切联系的庞大的结构体.笔者认为，要把这些盘根错节，螺旋上升的知识点和学生多元化的思考融合在一起，“综合与实践”活动是一个良好的平台.“综合与实践”活动是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授，其教学目标是帮助学生积累数学活动经验，培养学生的应用意识与创新意识.只有当学生把数学知识和已有的生活经验、周围的世界联系起来时，才能真正体会到数学的价值.
基于以上认识，笔者团队在“铅笔有多长”一课的教学中设计了综合与实践环节：小组合作，测量自己感兴趣的物体长度.在综合与实践活动中，激发学生关注数学内部知识的联系，如测量黑板的长度，先抽象出所要测量的直直的邊，从头开始，进行实物测量;注重数学与生活实际的联系，如在测量空调的高、黑板的长时，学生主动选择了卷尺;测量讲台的高时则选择了米尺，这是生活经验积累和运用的体现;还注重了数学与其他学科的综合应用，如在记录好任务卡进行汇报时，小组长组织了较丰富的语言和运用多样的记录方式来进行表述综合与实践的过程与结果.这一综合与实践环节，在促进学生对基本知识和技能掌握的同时，更在选择长度单位、测量工具中进一步深化空间观念的培养.
随着学生活动经验的不断累积，秉持“以生为本”的理念，笔者在五年级“长方体的表面积”一课的教学中也设计了五分钟的综合与实践活动：测量教室.设计问题如下：学校打算重新粉刷教室的四周和天花板，请同学帮忙进行实地测量，完成任务单，以便知道要购进多少油漆.学生在掌握和理解了本课知识后，通过简单的交流便明确了只需要三个数据（即教室的长、宽、高）就可以求出要粉刷的面积.在操作过程中，高年级学生的合作能力、动手操作能力得到了充分彰显.学生熟练地使用适当的工具进行测量，对度量方法、度量单位、度量数据及结果等进行了回顾与应用.由于教室的高很难测量，所以只能进行估测.而估测的过程是学生借助以往活动经验的积累所建立起来的长度表象进行的.在汇报时，学生还在交流中不断调整之前估测的结果，使估计的数据愈发接近精准值，呈现了真实的思考应用过程.在整个综合与实践活动过程中，工具的使用、思考的方式都具有一定的数学专业性，进一步让学生体会到了估测习惯的养成、数学经验的积累在生活应用中有着极其重要的作用，体会到度量的意义，感受到学习数学的价值.
智力是一种思维结构的连续形成和改组的过程.像这样的综合与实践活动环节，被笔者内化成上课时的常态行动，让学生有着充分的时间和空间进行思考、操作、积累和创造，即是一种思维结构重组和创新的过程，促进智力的发展.
培养学生核心素养是21世纪学生发展的重要议题.通过对不同国际组织、国家和地区核心素养指标的对比发现，虽然基于各自的社会现实采用了不同的研究思路，但国际视野下的核心素养无一不包括了“问题解决”这一核心能力的培养.我国的核心素养体系“学习与发展”领域中也明确了“问题解决与实践”的内涵：培养学生探究精神和实践能力.笔者在“几何度量”专题研究中对此略有所思、略有所得，更深感数学学习必须将已掌握的知识与技能用于实践，而非纸上谈兵.因此，关注学生学习过程，积累数学活动经验作为培养问题解决与实践能力这一核心素养的重要途径，笔者将继续在引导学生进行探究与实践方面做进一步的行动研究.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012，1.
[2]林崇德.21世纪学生发展核心素养研究[M].北京：北京师范大学出版社，2016，3.
[3]崔海江.小学数学教学关键问题指导[C].北京：高等教育出版社，2016，7.