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【摘要】数学思维是能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，它不仅是一种思维方式，也是一种学习数学的方式，学生只有培养好数学思维，才能更好地学好数学.如何培养学生的数学思维就成了一个焦点问题.以“鸡兔同笼”为例，课堂中利用方法多样、数形结合、讲清道理、追溯关联等渠道，以追求学生数学思维的个性化、可视化、条理化、结构化.
【关键词】数学思维;个性化;可视化;条理化;结构化
所谓数学思维，就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，它不仅是一种思维方式，也是一种学习数学的方式.而数学思维对于小学数学教学或者学生的数学学习都是极其重要的，它不仅能提高学生学习数学的效率，还能为学生奠定数学基础起到重要作用.数学教学的实质是学生通过数学思维活动认识问题，最终解决问题的过程.那么在教学中如何能有效地利用数学学习方式让学生的数学思维得到培养，能多渠道、多形式地让学生对数学思维得以培养呢？笔者以“鸡兔同笼”教学为例，谈谈小学数学思维培养的策略，追求数学思维的“四化”过程.
一、方法多样，追求数学思维个性化
个性化显然是指学生的思维独特、另类，拥有自己的特质，那么追求思维个性化就是要求学生在解决问题时，具有思维活动的主动性和独特性，能以自己的想法和思考解决问题.每个学生都是独立的个体，他们有各自的思维、有独立的思考能力，因而，教学中如果能发挥学生的个性化思维，以自己的思维去思考问题、解决问题，那么学生的印象是深刻的，体会是深层的.这就要求教师在教学过程中要创设一种能让学生独立思考、发挥个性化思维的机会，学生在这样的学习环境中可能会还你一个活跃的、生动的、富于生命力的课堂.例如，我在教学“鸡兔同笼”时，给学生开放的空间：1.先出示例题：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？2.学生理解题意：从题目中你了解到什么信息？题中还隐藏着什么信息呢？3.独立思考或同桌交流，把你的解题过程记录下来.（给学生学习单）
在这个过程中，教师不是按部就班地引导学生去理解、分析、解答，而是以开放式的思路，让学生自行理解题意，根据自己的理解独立思考或同桌交流，把自己最本真的想法表示出来，尝试解答，学生得到的答案是多样的.
第一种：列表的方法.学生根据教师提供的学习单的表格列表找答案，学生的列表结果也不是统一的，有的从鸡7只兔1只想起，有的从兔1只鸡7只想起，有的没有按一定的顺序想……最终都得到鸡有3只、兔有5只.
第二种：画图的方法.知道用圆圈表示一共的只数，再考虑脚的只数，得到鸡有3只、兔有5只.
第三种：列式的方法.假设全部是鸡，一共有16只脚，再与实际的脚的只数比较，最后列式解答也能得到鸡有3只、兔有5只.
第四种：一一列举的方法.学生用算式的形式一一列举，从鸡有1只兔有7只想起.
第五种：直接写答的方法.
在短短的时间里，教师没有教学，也没有引导解答，大胆地让学生尝试，让学生经历独立思考—同桌交流—无法完成的情况下给予提示的过程，充分挖掘学生的潜能，学生就展现出了这么多种不同的方法，而且每个学生的思维和想法都是那么自然、有个性，每个学生都能带着自己的思考、想法进行交流，表示自己的解答过程，所以孩子的思维真的是不可限量的.因此，在数学教学中，教师可以大胆地放手，给足时间、创造空间，用学生不同的思维解决问题，真正展示学生思維的个性化.
二、数形结合，追求数学思维可视化
我国著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，数形分家万事休”.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的[1].在应用题教学中什么时候利用数形结合？怎么运用数形结合？课堂教学中教师要把握机会，适时引导，当学生对同学的列式不懂不理解时，如果把列式用画图的过程呈现出来，把列式和图形结合起来分析讲解，那么学生对式子的理解将会更透彻、更到位.例如，“鸡兔同笼”的教学中，学生展示出了多种多样的解题方法，一名学生在汇报时（列式为2×8=16（只） 26-16=10（只） 10÷2=5（只） 8-5=3（只）），很多同学是沉默的，因为有同学看不懂为什么这样列式.这时教师要抓住时机追问：同学们都看不懂，怎么解释一下能让同学们懂呢？学生开始解释每一个算式的意义：如果这8只都是鸡，那么有2×8=16只脚，实际有26只脚，少了26-16=10只脚……很多学生还处在茫然当中，这时用画图方法的学生说道：他说的好像跟我画图时的想法一样.教师顺势利导，让这个学生用画图来解释每一个算式的意义（先画8个圆圈表示8只动物，每个圆圈加两条线表示鸡，一共画了16只脚，表示8只鸡有16只脚，就是2×8=16;而实际有26只脚，少了10只脚，就是26-16=10;我就在5只动物身上各添上2只脚变成兔子，所以兔子有5只，鸡有3只）.不但解释了每一道算式的意义，还弄懂算式10÷2=5（只）中“2”的含义，让全班同学经历了一次数形结合的过程.
细看前面的教学过程，学生的思维层次总是参差不齐的，这名学生想到的方法其他学生未必能懂，但要让每名学生都能读懂，该怎么办呢？还是要以学生为主导，适时引导其他想法的学生找到方法的共鸣之处，让学生经历师生互动、生生互动、生疑、解疑、释疑的过程，自主利用数形结合思想化难为易，化抽象为形象，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，真正做到数学思维的可视化.
三、讲清道理，追求数学思维条理化
让学生讲道理是数学的本质特点，这里的道理是应有的数学思想，应贯穿在数学教学的整个过程.在这个过程中，首先要求教师要对所教的知识认知完整、结构清晰，不仅要有很强的学生意识，关注学生的学习过程，还要懂得学生认知、心理、情感的发展规律，能讲出数学知识中的“道理”，还数学以生动活泼的本来面目[2].教学中，教师可以在学生解决问题的过程中引导学生用数学语言讲道理，进而表达自己的数学思维过程. 例如，“鸡兔同笼”的教学中，教师让学生独立思考或同桌交流，把自己的解题过程记录下来.学生通过思考有了五种不同的解题方法，教师在汇报的过程中，并不是简单地让学生把自己的解题方法展示在屏幕上，而是问：你是怎么想的？说说道理.于是有让学生自己说道理的，有让其他同学说屏幕上的做法的道理的.
生1：我从鸡8只兔0只想起，一共有16只脚太少了，兔子就要增多……
生2：我假设全部是鸡，一共有16只脚，再与实际的脚的只数比较，结果少了26-16=10只脚，说明有兔的脚被我们看成鸡了，再列式解答，也能得到鸡3只兔5只.
生3：2是怎么来的呢？为什么要除以2呢？
生4补充：因为一只兔比一只鸡多2只脚，这里把兔子都看成了鸡，说明一只动物就被少算了2只脚，列式是4-2=2，只是他少写了一个列式而已.
……
通过教师追问、学生质疑、生生解释的过程，学生理性表达，讲清了每一种列式的道理，逐一理解各种方法.在同学们思维碰撞、理论思辨的过程中，培养了学生对数学的“理”的好奇心，明白了数学的“理”的重要性，让他们主动汲取知识，启发学生的数学思维，并对已知与未知的知识产生独立思考，进而在思维相遇与对话的过程中还原知识本真，最终使得学生的数学思维条理化.
四、重视关联，追求数学思维结构化
认知心理学认为，学生的学习就是建立认知联结，形成认知结构的过程.数学学习中，一道题目用不同方法解答，展示出学生活跃的思维，但在这活跃思维的背后，再能找出每种方法之间的关联，找到解题过程的联系之处，这才是数学学习的目的.寻找解题关联的过程中，重在探索数学知识、认知、思维结构关联的内在规律，让学生经历数学认知和思维的完整过程，建构数学知识的完整样态，实现学生数学思维的结构化[3].例如，教学“鸡兔同笼”时：教师让学生分析了列表法、画图法、算式法等方法.探问：这些方法在解答的过程中有什么联系？都是先干什么，再怎么做？学生回顾刚才的几种方法，同桌交流、小组讨论，发现它们都是先假设，再把假设的结果跟实际比较，称之为“检验”，检验后发现不对再进行调整，最终找到符合题意的答案.从而归纳出解答此类问题时都要经历“假设—检验—调整”的步骤，建构了假设——检验——调整的数学模型.
学生不但会想办法解决问题，还通过展示交流学生的不同方法，经历自助、师助、生助，以及生疑、解疑、释疑的过程，发现几种方法隐藏的共同点，然后通过比较归纳，寻找方法之间的联系，深刻理解假设—检验—调整的思路，掌握解题方法，积累解决问题经验.整个教学过程是让学生从一个具体的数学问题出发研究解法，并上升到一种模型，举一反三、触类旁通，使学生的数学思维结构化.
总之，数学教学的本质是推动学生数学思维的发展，理应在数学课堂中“让学生学会数学地思考”，进而培养学生的数学思维.小学生数学思维的培养也不是一节课、一个阶段就能做到的，而是要教师通过每一节数学课创境、引导，长期地关注、培养，倡导愉悦的思维体验，关注关联的数学建构，改变传统课堂中以数学问题的解决、计算结果的获得作为教学目标，形成追求严谨的、逻辑的数学思维方面的本质，在数学教学过程中培养学生的数学思维能力，让孩子们的数学思维真正发生、富有成效.
【参考文献】
[1]张桂峰.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].新高考（升学考试），2012（09）：42-44.
[2]罗鸣亮.学会“讲道理”全方位提升教师的教学能力[J].小学教學设计，2015（10）：22-23.
[3]席爱勇，何杰.结构关联：小学数学结构化学习的学理探究——以《小数的意义》为例[J].淮阴师范学院学报（自然科学版），2018，17（4）：355-359.
【关键词】数学思维;个性化;可视化;条理化;结构化
所谓数学思维，就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，它不仅是一种思维方式，也是一种学习数学的方式.而数学思维对于小学数学教学或者学生的数学学习都是极其重要的，它不仅能提高学生学习数学的效率，还能为学生奠定数学基础起到重要作用.数学教学的实质是学生通过数学思维活动认识问题，最终解决问题的过程.那么在教学中如何能有效地利用数学学习方式让学生的数学思维得到培养，能多渠道、多形式地让学生对数学思维得以培养呢？笔者以“鸡兔同笼”教学为例，谈谈小学数学思维培养的策略，追求数学思维的“四化”过程.
一、方法多样，追求数学思维个性化
个性化显然是指学生的思维独特、另类，拥有自己的特质，那么追求思维个性化就是要求学生在解决问题时，具有思维活动的主动性和独特性，能以自己的想法和思考解决问题.每个学生都是独立的个体，他们有各自的思维、有独立的思考能力，因而，教学中如果能发挥学生的个性化思维，以自己的思维去思考问题、解决问题，那么学生的印象是深刻的，体会是深层的.这就要求教师在教学过程中要创设一种能让学生独立思考、发挥个性化思维的机会，学生在这样的学习环境中可能会还你一个活跃的、生动的、富于生命力的课堂.例如，我在教学“鸡兔同笼”时，给学生开放的空间：1.先出示例题：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？2.学生理解题意：从题目中你了解到什么信息？题中还隐藏着什么信息呢？3.独立思考或同桌交流，把你的解题过程记录下来.（给学生学习单）
在这个过程中，教师不是按部就班地引导学生去理解、分析、解答，而是以开放式的思路，让学生自行理解题意，根据自己的理解独立思考或同桌交流，把自己最本真的想法表示出来，尝试解答，学生得到的答案是多样的.
第一种：列表的方法.学生根据教师提供的学习单的表格列表找答案，学生的列表结果也不是统一的，有的从鸡7只兔1只想起，有的从兔1只鸡7只想起，有的没有按一定的顺序想……最终都得到鸡有3只、兔有5只.
第二种：画图的方法.知道用圆圈表示一共的只数，再考虑脚的只数，得到鸡有3只、兔有5只.
第三种：列式的方法.假设全部是鸡，一共有16只脚，再与实际的脚的只数比较，最后列式解答也能得到鸡有3只、兔有5只.
第四种：一一列举的方法.学生用算式的形式一一列举，从鸡有1只兔有7只想起.
第五种：直接写答的方法.
在短短的时间里，教师没有教学，也没有引导解答，大胆地让学生尝试，让学生经历独立思考—同桌交流—无法完成的情况下给予提示的过程，充分挖掘学生的潜能，学生就展现出了这么多种不同的方法，而且每个学生的思维和想法都是那么自然、有个性，每个学生都能带着自己的思考、想法进行交流，表示自己的解答过程，所以孩子的思维真的是不可限量的.因此，在数学教学中，教师可以大胆地放手，给足时间、创造空间，用学生不同的思维解决问题，真正展示学生思維的个性化.
二、数形结合，追求数学思维可视化
我国著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，数形分家万事休”.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的[1].在应用题教学中什么时候利用数形结合？怎么运用数形结合？课堂教学中教师要把握机会，适时引导，当学生对同学的列式不懂不理解时，如果把列式用画图的过程呈现出来，把列式和图形结合起来分析讲解，那么学生对式子的理解将会更透彻、更到位.例如，“鸡兔同笼”的教学中，学生展示出了多种多样的解题方法，一名学生在汇报时（列式为2×8=16（只） 26-16=10（只） 10÷2=5（只） 8-5=3（只）），很多同学是沉默的，因为有同学看不懂为什么这样列式.这时教师要抓住时机追问：同学们都看不懂，怎么解释一下能让同学们懂呢？学生开始解释每一个算式的意义：如果这8只都是鸡，那么有2×8=16只脚，实际有26只脚，少了26-16=10只脚……很多学生还处在茫然当中，这时用画图方法的学生说道：他说的好像跟我画图时的想法一样.教师顺势利导，让这个学生用画图来解释每一个算式的意义（先画8个圆圈表示8只动物，每个圆圈加两条线表示鸡，一共画了16只脚，表示8只鸡有16只脚，就是2×8=16;而实际有26只脚，少了10只脚，就是26-16=10;我就在5只动物身上各添上2只脚变成兔子，所以兔子有5只，鸡有3只）.不但解释了每一道算式的意义，还弄懂算式10÷2=5（只）中“2”的含义，让全班同学经历了一次数形结合的过程.
细看前面的教学过程，学生的思维层次总是参差不齐的，这名学生想到的方法其他学生未必能懂，但要让每名学生都能读懂，该怎么办呢？还是要以学生为主导，适时引导其他想法的学生找到方法的共鸣之处，让学生经历师生互动、生生互动、生疑、解疑、释疑的过程，自主利用数形结合思想化难为易，化抽象为形象，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，真正做到数学思维的可视化.
三、讲清道理，追求数学思维条理化
让学生讲道理是数学的本质特点，这里的道理是应有的数学思想，应贯穿在数学教学的整个过程.在这个过程中，首先要求教师要对所教的知识认知完整、结构清晰，不仅要有很强的学生意识，关注学生的学习过程，还要懂得学生认知、心理、情感的发展规律，能讲出数学知识中的“道理”，还数学以生动活泼的本来面目[2].教学中，教师可以在学生解决问题的过程中引导学生用数学语言讲道理，进而表达自己的数学思维过程. 例如，“鸡兔同笼”的教学中，教师让学生独立思考或同桌交流，把自己的解题过程记录下来.学生通过思考有了五种不同的解题方法，教师在汇报的过程中，并不是简单地让学生把自己的解题方法展示在屏幕上，而是问：你是怎么想的？说说道理.于是有让学生自己说道理的，有让其他同学说屏幕上的做法的道理的.
生1：我从鸡8只兔0只想起，一共有16只脚太少了，兔子就要增多……
生2：我假设全部是鸡，一共有16只脚，再与实际的脚的只数比较，结果少了26-16=10只脚，说明有兔的脚被我们看成鸡了，再列式解答，也能得到鸡3只兔5只.
生3：2是怎么来的呢？为什么要除以2呢？
生4补充：因为一只兔比一只鸡多2只脚，这里把兔子都看成了鸡，说明一只动物就被少算了2只脚，列式是4-2=2，只是他少写了一个列式而已.
……
通过教师追问、学生质疑、生生解释的过程，学生理性表达，讲清了每一种列式的道理，逐一理解各种方法.在同学们思维碰撞、理论思辨的过程中，培养了学生对数学的“理”的好奇心，明白了数学的“理”的重要性，让他们主动汲取知识，启发学生的数学思维，并对已知与未知的知识产生独立思考，进而在思维相遇与对话的过程中还原知识本真，最终使得学生的数学思维条理化.
四、重视关联，追求数学思维结构化
认知心理学认为，学生的学习就是建立认知联结，形成认知结构的过程.数学学习中，一道题目用不同方法解答，展示出学生活跃的思维，但在这活跃思维的背后，再能找出每种方法之间的关联，找到解题过程的联系之处，这才是数学学习的目的.寻找解题关联的过程中，重在探索数学知识、认知、思维结构关联的内在规律，让学生经历数学认知和思维的完整过程，建构数学知识的完整样态，实现学生数学思维的结构化[3].例如，教学“鸡兔同笼”时：教师让学生分析了列表法、画图法、算式法等方法.探问：这些方法在解答的过程中有什么联系？都是先干什么，再怎么做？学生回顾刚才的几种方法，同桌交流、小组讨论，发现它们都是先假设，再把假设的结果跟实际比较，称之为“检验”，检验后发现不对再进行调整，最终找到符合题意的答案.从而归纳出解答此类问题时都要经历“假设—检验—调整”的步骤，建构了假设——检验——调整的数学模型.
学生不但会想办法解决问题，还通过展示交流学生的不同方法，经历自助、师助、生助，以及生疑、解疑、释疑的过程，发现几种方法隐藏的共同点，然后通过比较归纳，寻找方法之间的联系，深刻理解假设—检验—调整的思路，掌握解题方法，积累解决问题经验.整个教学过程是让学生从一个具体的数学问题出发研究解法，并上升到一种模型，举一反三、触类旁通，使学生的数学思维结构化.
总之，数学教学的本质是推动学生数学思维的发展，理应在数学课堂中“让学生学会数学地思考”，进而培养学生的数学思维.小学生数学思维的培养也不是一节课、一个阶段就能做到的，而是要教师通过每一节数学课创境、引导，长期地关注、培养，倡导愉悦的思维体验，关注关联的数学建构，改变传统课堂中以数学问题的解决、计算结果的获得作为教学目标，形成追求严谨的、逻辑的数学思维方面的本质，在数学教学过程中培养学生的数学思维能力，让孩子们的数学思维真正发生、富有成效.
【参考文献】
[1]张桂峰.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].新高考（升学考试），2012（09）：42-44.
[2]罗鸣亮.学会“讲道理”全方位提升教师的教学能力[J].小学教學设计，2015（10）：22-23.
[3]席爱勇，何杰.结构关联：小学数学结构化学习的学理探究——以《小数的意义》为例[J].淮阴师范学院学报（自然科学版），2018，17（4）：355-359.