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摘 要：罗尔中值定理必须满足三个条件，并且缺一不可。如果对定理条件进行改变，又会得出那些定理呢？本文对罗尔定理的条件改变，进行了系统的分类总结，进而把罗尔定理推广到一般化。
关键词：罗尔定理；推广
一、罗尔定理：
若函数f（x）满足下列条件：（1）在闭区间［a，b］连续；（2）在开区间（a，b）可导；（3）f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
二、对定理进行推广
罗尔定理必须具备三个条件，根据对定理的条件的改变，我们把对定理的推广分为三个方向。
第一方向：对条件（2）f（x）在在开区间（a，b）可导减弱，从而对定理进行推广。
定理一：若函数f（x）满足下列条件：（1）在闭区间［a，b］连续；（2）存在一点ξ∈（a，b）并且f'（ξ）=∞，其余各点在（a，b）可导；（3）f（a）=f（b）。
则在（a，b）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
证明：把闭区间［a，b］分为［a，ξ）∪（ξ，b］∪{ξ}
设函数f（x）在区间［a，b］上存在最大值M最小值m。因为存在ξ∈（a，b）使f'（ξ）=∞，所以f（x）在开区间（a，b）不可能是常数，mπM.f（x）在区间［a，b］端点上的函数值f（a）、f（b）不可能同时等于最小值m或最大值M，因此函数f（x）在区间（a，b）内至少存在一个极值点c，根据费马定理，有f'（c）=0。
定理二：若函数f（x）满足下列条件：（1）在闭区间［a，b］连续；（2）存在有限点集E［a，b］，ξ∈E有f'（ξ）=∞。在区间［a，b］-E内可导（3）f（a）=f（b）。
则在（a，b）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
定理二延用定理一的证明方法即可证明。
第二方向：对条件（1）在闭区间［a，b］连续和条件（3）f（a）=f（b），进行变更，进而对定理进行推广。
定理三：若函数f（x）满足下列条件：（1）在区间（a，b）连续且limx→a+f（x）=limx→b-f（x）（2）在开区间（a，b）可导；则在（a，b）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
证明：对函数f（x）进行连续开拓，设
F（x）=limx→a+f（x） x=a
f（x） x∈（a，b）
limx→b-f（x） x=b
对函数F（x）应用罗尔中值定理，即可证明上述定理。
定理四：若函数f（x）满足下列条件：（1）在区间（a，b）连续且limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=+∞（2）在开区间（a，b）可导；
则在（a，b）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
证明：由limx→a+f（x）=+∞可得，M0，δ0当x-aπδ即x∈（a，a+δ）∈（a，b）时，有f（x）M。设mM时，c∈（a，a+δ）有f（c）=m。同样由limx→b-f（x）=+∞也可得d∈（a，b）有f（d）=m。对函数f（x），在区间［c，d］上应用罗尔定理，即可证明上述定理。
对定理四中，当limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=+∞变为limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=-∞或limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=∞时，结论依然成立。
第三方向：对罗尔定理的区间［a，b］进行开拓
定理五：若函数f（x）满足下列条件：在闭区间（a，+∞）可导，limx→a+f（x）=limx→+∞f（x）=A；则在（a，+∞）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
证明：由limx→a+f（x）=A可知，ε0，δ0当x∈（a，a+δ）时，A-επf（x）πA+ε。同样由limx→∞+f（x）=A可得，当x时有A-επf（x）πA+ε。设m∈（A-ε，A+ε），在（a，+∞）一定存在c、d使f（c）=f（d）=m。对函数f（x）在区间［c，d］上应用罗尔定理即可证明定理五。
对定理五，区间（a，+∞）可变为（-∞，b）或（-∞+∞）；limx→a+f（x）=limx→+∞f（x）=A可变为limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=-∞或limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=∞。
证明思路等同于定理五的证明。由于篇幅的问题，这些定理的证明就不在重复。
纵观上述几个定理的证明，不是把区间缩小，就是构造新函数。这两种证明方法也是我们微积分中重要的证明方法。
参考文献：
［1］刘玉琏，傅沛仁，数学分析讲义（上）［M］北京：高等教育出版社，2001。
［2］胡广平，Rolle中值定理的推广［J］河南学院学报，2005（5）。
［3］吴惠伶，罗尔中值定理的推广［J］新乡师范高等专科学校学报，2006（5）。
［4］王胜利，罗尔中值定理的推广定理［J］科技信息（高校理科研究）。
［5］王名学，罗尔定理的推广［J］湖南科技学院学报，2006（11）。
关键词：罗尔定理；推广
一、罗尔定理：
若函数f（x）满足下列条件：（1）在闭区间［a，b］连续；（2）在开区间（a，b）可导；（3）f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
二、对定理进行推广
罗尔定理必须具备三个条件，根据对定理的条件的改变，我们把对定理的推广分为三个方向。
第一方向：对条件（2）f（x）在在开区间（a，b）可导减弱，从而对定理进行推广。
定理一：若函数f（x）满足下列条件：（1）在闭区间［a，b］连续；（2）存在一点ξ∈（a，b）并且f'（ξ）=∞，其余各点在（a，b）可导；（3）f（a）=f（b）。
则在（a，b）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
证明：把闭区间［a，b］分为［a，ξ）∪（ξ，b］∪{ξ}
设函数f（x）在区间［a，b］上存在最大值M最小值m。因为存在ξ∈（a，b）使f'（ξ）=∞，所以f（x）在开区间（a，b）不可能是常数，mπM.f（x）在区间［a，b］端点上的函数值f（a）、f（b）不可能同时等于最小值m或最大值M，因此函数f（x）在区间（a，b）内至少存在一个极值点c，根据费马定理，有f'（c）=0。
定理二：若函数f（x）满足下列条件：（1）在闭区间［a，b］连续；（2）存在有限点集E［a，b］，ξ∈E有f'（ξ）=∞。在区间［a，b］-E内可导（3）f（a）=f（b）。
则在（a，b）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
定理二延用定理一的证明方法即可证明。
第二方向：对条件（1）在闭区间［a，b］连续和条件（3）f（a）=f（b），进行变更，进而对定理进行推广。
定理三：若函数f（x）满足下列条件：（1）在区间（a，b）连续且limx→a+f（x）=limx→b-f（x）（2）在开区间（a，b）可导；则在（a，b）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
证明：对函数f（x）进行连续开拓，设
F（x）=limx→a+f（x） x=a
f（x） x∈（a，b）
limx→b-f（x） x=b
对函数F（x）应用罗尔中值定理，即可证明上述定理。
定理四：若函数f（x）满足下列条件：（1）在区间（a，b）连续且limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=+∞（2）在开区间（a，b）可导；
则在（a，b）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
证明：由limx→a+f（x）=+∞可得，M0，δ0当x-aπδ即x∈（a，a+δ）∈（a，b）时，有f（x）M。设mM时，c∈（a，a+δ）有f（c）=m。同样由limx→b-f（x）=+∞也可得d∈（a，b）有f（d）=m。对函数f（x），在区间［c，d］上应用罗尔定理，即可证明上述定理。
对定理四中，当limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=+∞变为limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=-∞或limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=∞时，结论依然成立。
第三方向：对罗尔定理的区间［a，b］进行开拓
定理五：若函数f（x）满足下列条件：在闭区间（a，+∞）可导，limx→a+f（x）=limx→+∞f（x）=A；则在（a，+∞）内至少存在一点c，使f'（c）=0。
证明：由limx→a+f（x）=A可知，ε0，δ0当x∈（a，a+δ）时，A-επf（x）πA+ε。同样由limx→∞+f（x）=A可得，当x时有A-επf（x）πA+ε。设m∈（A-ε，A+ε），在（a，+∞）一定存在c、d使f（c）=f（d）=m。对函数f（x）在区间［c，d］上应用罗尔定理即可证明定理五。
对定理五，区间（a，+∞）可变为（-∞，b）或（-∞+∞）；limx→a+f（x）=limx→+∞f（x）=A可变为limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=-∞或limx→a+f（x）=limx→b-f（x）=∞。
证明思路等同于定理五的证明。由于篇幅的问题，这些定理的证明就不在重复。
纵观上述几个定理的证明，不是把区间缩小，就是构造新函数。这两种证明方法也是我们微积分中重要的证明方法。
参考文献：
［1］刘玉琏，傅沛仁，数学分析讲义（上）［M］北京：高等教育出版社，2001。
［2］胡广平，Rolle中值定理的推广［J］河南学院学报，2005（5）。
［3］吴惠伶，罗尔中值定理的推广［J］新乡师范高等专科学校学报，2006（5）。
［4］王胜利，罗尔中值定理的推广定理［J］科技信息（高校理科研究）。
［5］王名学，罗尔定理的推广［J］湖南科技学院学报，2006（11）。