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数学概念是反映一类事物在空间形式和数量关系方面的本质属性的思维形式。它是排除了一类对象的具体物质内容以后的抽象,它所反映的是对象内在的、本质的属性,而不是表面的属性。为此,首先要了解数学概念的特征。
1新课改下的数学概念的特征
1.1数学概念的本质属性。数学概念反映了客观事物在空间形式与数量关系方面的本质特征,它所反映的是对象内在的、本质的属性,因此,教学中注意引导学生学习和掌握数学概念,实质上就是理解和掌握一类数学对象的本质属性。
1.2数学概念的普遍性。数学概念代表一类客观事物,而不是个别事物,所以数学概念在一定范围内具有普遍意义。
1.3数学概念的形式化。数学概念往往用反映其本质属性的特定数学符号来表示,从而达到了形式化,进而使得数学的表现形式更为简明、准确,也更为清晰和通用。
1.4数学概念的简明化。数学概念是人类对客观事物的空间形式和数量关系的简明、概括的反映,从而使得学生在较短的时间内掌握数学概念成为可能。
1.5数学概念的辩证性。数学概念是个别与一般、具体与抽象的辩证统一。数学概念是一类事物在空间形式和数量关系方面本质性属性的抽象,而且往往用形式化的语言来表达;同时,数学概念又有具体性的一面,因为,从数学教学和学习来说,概念一旦为学生所掌握,就变成一种实实在在的东西。
1.6数学概念的系统性。数学概念具有很强的系统性,同一数学分支的诸多概念可以用公理化方法组织成一个逻辑系统,因而公理化体系是这种系统性的集中反映。
2新课改下的数学概念教学模式的层次分析
新课改理念下的数学概念教学要经过活动阶段、探究阶段、对象阶段和图式阶段等四个阶段,这四个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。其中的“活动”阶段是学生理解概念的一个必要条件,通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系;“探究”阶段是学生对“活动”进行思考,经历思维的内化、概括过程,学生在头脑对活动进行描述和反思,抽象出概念所特有的性质;“对象”阶段是通过前面的抽象认识到了概念本质,对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号,使其达到精致化,成为一个思维中的具体的对象,在以后的学习中以此为对象进行新的活动;“图式”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善,起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号,经过学习,建立起与其它概念、规则、图形等的联系,在头脑中形成综合的心理图式。
3新课改理念下的概念与法则的教学案例
3.1代数式概念。代数式的本质在于将求知数和数字可以像数一样进行运算。认识这一点,需要有以下四个层次。①通过操作活动,理解具体的代数式。②探究阶段,体验代数式过程。③对象阶段,对代数式的形式化表述。这一阶段包括建立代数式形式定义、对代数式的化简、合并同类项、因式分解及解方程等运算。学生在进行运算中就意识到运算的对象是形式化的代数式而不是数,代数式本身体现了一种运算结构关系,而不只是运算过程。这一阶段,学生必须理解字母的意义,识别代数式。④图式阶段,建立综合的心理图式。通过以上三个阶段的教学,学生在头脑中应该建立起如下的代数式的心理表征:具体的实例、运算过程、字母表示一类数的数学思想、代数式的定义,并能加以运用。
3.2有理数加法法则。
3.2.1运算操作:计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结果的各种不同情形:
(+3)+(+2)——+5(-2)+(-1)——-3(+3)+(-2)——+1
(-3)+(+2)——-1(+3)+0——+3 …………
3.2.2探究规律:把以上算式作为整体综合进行特征分析:同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律,理解运算意义。
3.2.3形成对象:把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则,并产生有理数和的模式:有理数+有理数=①符号②数值。这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等。
3.2.4形成图式:有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中,其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式。而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系。
4新课改理念下数学概念教学的策略
4.1教师要把“教”建立在学生“学”的活动中。为了使学生建构完整的数学知识,首先要设计学生的学习活动。这需要教师创设问题情境,设计时要注意以下几个方面:①能揭示数学知识的现实背景和形成过程;②适合学生的学习水平,使学习活动能顺利展开;③适当数量的问题,使学生有充足活动体验;④注意趣味性,活动形式可以多种多样,引起全体学生的学习兴趣。
4.2体现数学知识形成中的数学思维方法。数学思维方法是知识产生的灵魂,把握数学知识形成中的数学思维方法,是学生展开思维、建构概念的主线。学生学习中要给予提示、建议并在总结中归纳。
4.3数学对象的建立需经多次反复。一个数学概念由“探究”到“对象”的建立,有时既困难又漫长(如函数概念)。“探究”到“对象”的压缩、抽象需要经过多次反复,循序渐进,螺旋上升,直至学生真正理解。“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。加强知识间的联系和应用,帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式。
综上所述,数学概念教学应努力通过揭示概念的形成、发展和应用的过程,培养学生的辩证唯物主义观念,完善学生的认知结构,发展学生的思维能力。
1新课改下的数学概念的特征
1.1数学概念的本质属性。数学概念反映了客观事物在空间形式与数量关系方面的本质特征,它所反映的是对象内在的、本质的属性,因此,教学中注意引导学生学习和掌握数学概念,实质上就是理解和掌握一类数学对象的本质属性。
1.2数学概念的普遍性。数学概念代表一类客观事物,而不是个别事物,所以数学概念在一定范围内具有普遍意义。
1.3数学概念的形式化。数学概念往往用反映其本质属性的特定数学符号来表示,从而达到了形式化,进而使得数学的表现形式更为简明、准确,也更为清晰和通用。
1.4数学概念的简明化。数学概念是人类对客观事物的空间形式和数量关系的简明、概括的反映,从而使得学生在较短的时间内掌握数学概念成为可能。
1.5数学概念的辩证性。数学概念是个别与一般、具体与抽象的辩证统一。数学概念是一类事物在空间形式和数量关系方面本质性属性的抽象,而且往往用形式化的语言来表达;同时,数学概念又有具体性的一面,因为,从数学教学和学习来说,概念一旦为学生所掌握,就变成一种实实在在的东西。
1.6数学概念的系统性。数学概念具有很强的系统性,同一数学分支的诸多概念可以用公理化方法组织成一个逻辑系统,因而公理化体系是这种系统性的集中反映。
2新课改下的数学概念教学模式的层次分析
新课改理念下的数学概念教学要经过活动阶段、探究阶段、对象阶段和图式阶段等四个阶段,这四个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。其中的“活动”阶段是学生理解概念的一个必要条件,通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系;“探究”阶段是学生对“活动”进行思考,经历思维的内化、概括过程,学生在头脑对活动进行描述和反思,抽象出概念所特有的性质;“对象”阶段是通过前面的抽象认识到了概念本质,对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号,使其达到精致化,成为一个思维中的具体的对象,在以后的学习中以此为对象进行新的活动;“图式”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善,起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号,经过学习,建立起与其它概念、规则、图形等的联系,在头脑中形成综合的心理图式。
3新课改理念下的概念与法则的教学案例
3.1代数式概念。代数式的本质在于将求知数和数字可以像数一样进行运算。认识这一点,需要有以下四个层次。①通过操作活动,理解具体的代数式。②探究阶段,体验代数式过程。③对象阶段,对代数式的形式化表述。这一阶段包括建立代数式形式定义、对代数式的化简、合并同类项、因式分解及解方程等运算。学生在进行运算中就意识到运算的对象是形式化的代数式而不是数,代数式本身体现了一种运算结构关系,而不只是运算过程。这一阶段,学生必须理解字母的意义,识别代数式。④图式阶段,建立综合的心理图式。通过以上三个阶段的教学,学生在头脑中应该建立起如下的代数式的心理表征:具体的实例、运算过程、字母表示一类数的数学思想、代数式的定义,并能加以运用。
3.2有理数加法法则。
3.2.1运算操作:计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结果的各种不同情形:
(+3)+(+2)——+5(-2)+(-1)——-3(+3)+(-2)——+1
(-3)+(+2)——-1(+3)+0——+3 …………
3.2.2探究规律:把以上算式作为整体综合进行特征分析:同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律,理解运算意义。
3.2.3形成对象:把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则,并产生有理数和的模式:有理数+有理数=①符号②数值。这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等。
3.2.4形成图式:有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中,其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式。而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系。
4新课改理念下数学概念教学的策略
4.1教师要把“教”建立在学生“学”的活动中。为了使学生建构完整的数学知识,首先要设计学生的学习活动。这需要教师创设问题情境,设计时要注意以下几个方面:①能揭示数学知识的现实背景和形成过程;②适合学生的学习水平,使学习活动能顺利展开;③适当数量的问题,使学生有充足活动体验;④注意趣味性,活动形式可以多种多样,引起全体学生的学习兴趣。
4.2体现数学知识形成中的数学思维方法。数学思维方法是知识产生的灵魂,把握数学知识形成中的数学思维方法,是学生展开思维、建构概念的主线。学生学习中要给予提示、建议并在总结中归纳。
4.3数学对象的建立需经多次反复。一个数学概念由“探究”到“对象”的建立,有时既困难又漫长(如函数概念)。“探究”到“对象”的压缩、抽象需要经过多次反复,循序渐进,螺旋上升,直至学生真正理解。“对象”的建立要注意简练的文字形式和符号表示,使学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象。加强知识间的联系和应用,帮助学生在头脑中建立起完整的数学知识的心理图式。
综上所述,数学概念教学应努力通过揭示概念的形成、发展和应用的过程,培养学生的辩证唯物主义观念,完善学生的认知结构,发展学生的思维能力。