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摘 要 分形理论与混沌论、孤子理论(Fractal、Chaos、Soliton)作为现今非线性三大前沿理论，已经成为系统科学研究中一个非常活跃的领域。它所揭示的复杂系统的标度不变性、自相似性，分维数等全新的系统特性和概念，对现代科学和哲学都产生了深刻的影响。由于它能从更高的层次和新的角度把自然界、社会及思维领域中一系列复杂的关系有机地结合起来，因此被迅速地应用于社会科学和自然科学的相关研究中，取得了很有意义的结果。本文重点讨论了分形理论的产生和发展过程。
关键词 分形理论 分维数 综述
中图分类号：TP391.41 文献标识码：A
数学，特别是几何，是有效刻画自然界的一种有力工具，人们从现实生活中抽象出点、线、面等基本的几何概念，并努力用这种很规则的几何概念去描述和理解自然摘 要 分形理论与混沌论、孤子理论(Fractal、Chaos、Soliton)作为现今非线性三大前沿理论，已经成为系统科学研究中一个非常活跃的领域。它所揭示的复杂系统的标度不变性、自相似性，分维数等全新的系统特性和概念，对现代科学和哲学都产生了深刻的影响。由于它能从更高的层次和新的角度把自然界、社会及思维领域中一系列复杂的关系有机地结合起来，因此被迅速地应用于社会科学和自然科学的相关研究中，取得了很有意义的结果。本文重点讨论了分形理论的产生和发展过程。
关键词 分形理论 分维数 综述现象。事实上关于自然现象无论是小到晶体的结构还是大到宇宙星系分布，人类早就了解到它们都是十分复杂和不规则的。可以说复杂的不规则图形才是自然界的本质，规则图形不过是对自然界的理想和简化描述。针对这种复杂性和不规则性，欧几里德几何以及微分几何都显得束手无策，而分形理论的产生，为客观描述和解释真实世界提供了新的方法和思路。它从另一端对传统科学提出了挑战，同时又给传统科学提供了补充和启示，因此迅速发展并在自然科学、社会科学、思维科学等各个领域获得了有效的应用。
1 分形理论发展简介
第一阶段，1875-1925年。在这个阶段研究者已经认识到几类典型的分形集，并且对此类集合与经典集合的差别进行了描述、分类。K.Weierstrass在1872年发展了一种处处连续但处处不可微的函数。同年，Cantor发展了现在cantor三分集。 随后的1890年，Peano构造出了Peano曲线。1904年，H．Vonkoch构造了一种雪花状的科赫曲线，封闭曲线的长度趋于无穷大，但其所围成的面积却是一个定值，其极限曲线虽处处连续，却处处不可导。1913年，Perrin研究了布朗运动的轨迹图，指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。为了测量复杂的长度、面积等基本概念的集合，1901年，Minkowski引入了闵可夫斯基容度。1919年，F·Hausdorff开始了奇异集合性质与量的研究，并提出分数维的概念，引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数，这些实际上指出测量一个几何对象必须依赖测量方式及测量所采取的尺度。
第二阶段，1926-1975年。这个阶段人们在分形集的性质、维数理论等研究方面都取得积极成果。1928年，Bouligand发现了布利干维数。1932年，Pontrjagin与Schnirelman发现了覆盖维数。1934年，Besicovitch深刻揭示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，产生了豪斯道夫一贝塞考维奇维数概念。 1959年，Kolmogorov与V.Tikhomirov引入体维数。此时，在法国以Salem与Kahane为代表的学派从稀薄集的研究切入，对各种类型的康托尔集及稀薄集作了系统的研究，使用了相应的理论方法和技巧，并在调和分析理论中得到了重要应用。尽管此阶段的分形研究成果颇丰，但绝大部分局限于纯数学理论的研究，而没有与其它学科发生联系。在这种情况下，分形理论进入其第三个发展阶段。
第三阶段，1975年至今。此阶段是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。20世纪60年代以来，曼德尔布罗特系统、创造性地研究了诸如海岸线的结构等典型几何性质的自然界分形现象，取得了一系列成就。1967年他发表了著名的《英国的海岸线有多长》的论文，在论文中首次阐明了关于分形的思想，并于1973年在法国Academie Francaise讲学时指出客观世界中那些极不规则的构型可以用分形几何处理，并于1975年提出“fractal”的概念，其分形思想渐趋明朗， 随后出版的《分形：形、机遇与维数》、《自然界的分形几何》两本专著中，他系统地阐述了分形几何的内容、思想、意义和方法，他继承了利用测度理论来定义各种几何体的空间维数的思想，并在此基础上将它发展为“分形几何”。这两部著作也成为分形几何作为一个独立的学科正式诞生的标志。如今，分形理论的概念已扩展到了在结构、功能、信息、时间等具有自相似性质的广义分形，远远超越最初所指的形态上具有自相似性质的几何对象的狭义分形，同时分形理论与许多领域相结合，产生了如分形物理学、分形生物学、分形结构地质学、分形经济学、分形人口学、计算机分形学、分形图像处理技术、分形噪音理论、分形函数论、分形艺术等新的理论、方法、技术和学科。
2 分型理论研究的意义
作为现代数学的一个重要分支，分形理论本质上是一种新的世界观和方法论。它承认局部的结构、形态、功能、时间、能量、信息等性质可在一定条件和过程中表现出与整体的相似性，同时该理论认为空间维数的变化既可以离散也可以连续，这极大地拓展了数学研究的视野，当前分形理论的研究主要分三种类型：第一，基础研究。集中在分形维数的性质与估计、分形集的交与积、分形集的局部结构、随机分形理论等方面；第二，实际应用研究。集中于其在生命科学、社会科学、化学、物理学、艺术、地震学等多个方面的应用研究；第三，分形图形的生成方法研究。也正是因为分形理论与自组织理论、混沌理论密切相关，并与混沌理论及孤立子理论被人们称为现代非线性科学的三大前沿。以至于，美国物理学家J·A·Wheeler说“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。”虽然“分形”研究已经进入深入攻坚与广泛应用的阶段，但是在分形定义和计算方面任然存在缺陷和分歧，有待深入研究。
综上所述，分形理论作为当代非线性研究三大前沿之一，虽然其应用的工具性和系统系有待增强，但其新颖的世界观和方法论在自然科学和社会科学研究领域发挥了非常重要的作用，取得了非常有意义的结果。随着分形理论各项研究的进一步发展，其必然在科学研究和社会实践过程中发挥更显著的作用。
参考文献
[1] 张国祺.分形理论的哲学沉思[J].烟台大学学报(哲学社会科学版),1998.2:14-20.
[2] 肯尼思·法尔科内著.分形几何——数学基础及其应用[M].曾文曲等译.沈阳:东北大学出版社,1991.
[3] 孙洪军,赵丽红.分形理论的产生及其应用[J].辽宁工学院学报,2005.25(2):113-117.
[4] Manderlbrot BB.Fractals: Form, chance and dimension. San Francisco: Freeman,1977.
[5] 李后强,汪富泉.分形理论及其发展历程[J].自然辩证法研究,1992.8(11).
[6] Vassilis P,Petros M.Filtered Dynamics and Fractal Dimensions for Noisy Speech Recognition[J].IEEE Signal processing letters,November 2006.13(11):711-714.
[7] 聂明新.混沌学的哲学思考[J].武汉理工大学学报(社会科学版),2001.14(4):333-335.
[8] 王丽.分形图形的研究与应用[D].昆明:昆明理工大学,2006.
关键词 分形理论 分维数 综述
中图分类号：TP391.41 文献标识码：A
数学，特别是几何，是有效刻画自然界的一种有力工具，人们从现实生活中抽象出点、线、面等基本的几何概念，并努力用这种很规则的几何概念去描述和理解自然摘 要 分形理论与混沌论、孤子理论(Fractal、Chaos、Soliton)作为现今非线性三大前沿理论，已经成为系统科学研究中一个非常活跃的领域。它所揭示的复杂系统的标度不变性、自相似性，分维数等全新的系统特性和概念，对现代科学和哲学都产生了深刻的影响。由于它能从更高的层次和新的角度把自然界、社会及思维领域中一系列复杂的关系有机地结合起来，因此被迅速地应用于社会科学和自然科学的相关研究中，取得了很有意义的结果。本文重点讨论了分形理论的产生和发展过程。
关键词 分形理论 分维数 综述现象。事实上关于自然现象无论是小到晶体的结构还是大到宇宙星系分布，人类早就了解到它们都是十分复杂和不规则的。可以说复杂的不规则图形才是自然界的本质，规则图形不过是对自然界的理想和简化描述。针对这种复杂性和不规则性，欧几里德几何以及微分几何都显得束手无策，而分形理论的产生，为客观描述和解释真实世界提供了新的方法和思路。它从另一端对传统科学提出了挑战，同时又给传统科学提供了补充和启示，因此迅速发展并在自然科学、社会科学、思维科学等各个领域获得了有效的应用。
1 分形理论发展简介
第一阶段，1875-1925年。在这个阶段研究者已经认识到几类典型的分形集，并且对此类集合与经典集合的差别进行了描述、分类。K.Weierstrass在1872年发展了一种处处连续但处处不可微的函数。同年，Cantor发展了现在cantor三分集。 随后的1890年，Peano构造出了Peano曲线。1904年，H．Vonkoch构造了一种雪花状的科赫曲线，封闭曲线的长度趋于无穷大，但其所围成的面积却是一个定值，其极限曲线虽处处连续，却处处不可导。1913年，Perrin研究了布朗运动的轨迹图，指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。为了测量复杂的长度、面积等基本概念的集合，1901年，Minkowski引入了闵可夫斯基容度。1919年，F·Hausdorff开始了奇异集合性质与量的研究，并提出分数维的概念，引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数，这些实际上指出测量一个几何对象必须依赖测量方式及测量所采取的尺度。
第二阶段，1926-1975年。这个阶段人们在分形集的性质、维数理论等研究方面都取得积极成果。1928年，Bouligand发现了布利干维数。1932年，Pontrjagin与Schnirelman发现了覆盖维数。1934年，Besicovitch深刻揭示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，产生了豪斯道夫一贝塞考维奇维数概念。 1959年，Kolmogorov与V.Tikhomirov引入体维数。此时，在法国以Salem与Kahane为代表的学派从稀薄集的研究切入，对各种类型的康托尔集及稀薄集作了系统的研究，使用了相应的理论方法和技巧，并在调和分析理论中得到了重要应用。尽管此阶段的分形研究成果颇丰，但绝大部分局限于纯数学理论的研究，而没有与其它学科发生联系。在这种情况下，分形理论进入其第三个发展阶段。
第三阶段，1975年至今。此阶段是分形几何在各个领域的应用取得全面发展，并形成独立学科的阶段。20世纪60年代以来，曼德尔布罗特系统、创造性地研究了诸如海岸线的结构等典型几何性质的自然界分形现象，取得了一系列成就。1967年他发表了著名的《英国的海岸线有多长》的论文，在论文中首次阐明了关于分形的思想，并于1973年在法国Academie Francaise讲学时指出客观世界中那些极不规则的构型可以用分形几何处理，并于1975年提出“fractal”的概念，其分形思想渐趋明朗， 随后出版的《分形：形、机遇与维数》、《自然界的分形几何》两本专著中，他系统地阐述了分形几何的内容、思想、意义和方法，他继承了利用测度理论来定义各种几何体的空间维数的思想，并在此基础上将它发展为“分形几何”。这两部著作也成为分形几何作为一个独立的学科正式诞生的标志。如今，分形理论的概念已扩展到了在结构、功能、信息、时间等具有自相似性质的广义分形，远远超越最初所指的形态上具有自相似性质的几何对象的狭义分形，同时分形理论与许多领域相结合，产生了如分形物理学、分形生物学、分形结构地质学、分形经济学、分形人口学、计算机分形学、分形图像处理技术、分形噪音理论、分形函数论、分形艺术等新的理论、方法、技术和学科。
2 分型理论研究的意义
作为现代数学的一个重要分支，分形理论本质上是一种新的世界观和方法论。它承认局部的结构、形态、功能、时间、能量、信息等性质可在一定条件和过程中表现出与整体的相似性，同时该理论认为空间维数的变化既可以离散也可以连续，这极大地拓展了数学研究的视野，当前分形理论的研究主要分三种类型：第一，基础研究。集中在分形维数的性质与估计、分形集的交与积、分形集的局部结构、随机分形理论等方面；第二，实际应用研究。集中于其在生命科学、社会科学、化学、物理学、艺术、地震学等多个方面的应用研究；第三，分形图形的生成方法研究。也正是因为分形理论与自组织理论、混沌理论密切相关，并与混沌理论及孤立子理论被人们称为现代非线性科学的三大前沿。以至于，美国物理学家J·A·Wheeler说“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。”虽然“分形”研究已经进入深入攻坚与广泛应用的阶段，但是在分形定义和计算方面任然存在缺陷和分歧，有待深入研究。
综上所述，分形理论作为当代非线性研究三大前沿之一，虽然其应用的工具性和系统系有待增强，但其新颖的世界观和方法论在自然科学和社会科学研究领域发挥了非常重要的作用，取得了非常有意义的结果。随着分形理论各项研究的进一步发展，其必然在科学研究和社会实践过程中发挥更显著的作用。
参考文献
[1] 张国祺.分形理论的哲学沉思[J].烟台大学学报(哲学社会科学版),1998.2:14-20.
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[7] 聂明新.混沌学的哲学思考[J].武汉理工大学学报(社会科学版),2001.14(4):333-335.
[8] 王丽.分形图形的研究与应用[D].昆明:昆明理工大学,2006.