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【摘 要】作为一种数学工具，方格图在小学数学教学活动中被普遍应用，有着不可估量的价值。明晰方格图的基本形式及特点，理清方格图应用上的问题和误区，有助于提出应用方格图的有效策略，让方格图在数学教学中用得系统、用得有效、用得巧妙。
【关键词】方格图；特点；问题；策略
作为一种数学工具，方格图在小学数学教学活动中被普遍应用，它对学生数学思想、数学方法、甚至是数学能力的培养都有着不可估量的价值。但在教学一线，它的使用并不乐观，教师和学生对方格图使用方法上存在着误区，有效性大打折扣。笔者结合自己运用方格图的实际经验，调查使用现状，搜集学生应用实例，学习名师教学案例，分析问题，提出有效性使用的思考和策略。
一、方格图的基本形式及特点
（一）基本形式
在小学数学教学活动中，方格图的表现形式多为普通方格图、点子图（又叫钉子板）、坐标方格图。
■普通方格图：即为大小一样的正方形拼接在一起，根据学习内容的需要设定正方形的边长和数量，在画图形、平移与旋转、面积计算等学习中时常出现（图1）。
■点子图：又叫钉子板，即由上下左右等距离的格点，以矩形格局排列而成，也可以看成普通方格图去掉正方形的边，保留顶点的“方格图”，在画平面图形中时常出现（图2）。
■坐标方格图：是在普通方格图的基础上，增加纵、横坐标，并标上原点0及坐标数，在位置与方向中时常出现（图3）。
此外，我们还可以看到类似于方格图的表现形式，如学生在田字格内正确书写数字；在格子里绘制条形统计图等，这些都是方格图的变式使用。
（二）特点
1. 有效帮助学生建立方位感
方格图上一条条水平和竖直的线，一组组平行与垂直的关系，为学生建立方位感提供了有力的参照，从而提升了学生的空间观念。
2. 有效帮助学生建立距离感
方格图上点与点之间、线与线之间的距离，为学生避开了最初认识图形的不必要干扰，学生不会在实际测量中关注必然存在的误差，大小相同、整齐排列的方格相衬，“距离”自然被学生接受和认可，促使教学过程直指概念的核心，帮助学生有效地建立概念。
二、方格图应用上的问题及误区
在人教版小学数学教科书中，方格图在每一册中都频频出现，可见编者对方格图应用的重视。但教师在教学这一知识点时，经常陷入下面三类误区：
（一）教师避烦不用，导致应用闲置
一线教师在教学过程中很少会主动使用方格图，尤其在第一学段，很多老师都觉得，让学生绘制图形是一件很麻烦的事。课堂无法掌控及时间没有保障，成了避免使用的主要原因。老师们常将方格图的练习作为作业来完成，缺少课堂的指导，从而更加轻视方格图的应用。长期地避烦不用，导致应用的恶性循环，学生不会用或用不好，课堂上就完成不好，能不在课堂上用就不用。碰到一定要使用时，也只是草草而过，轻描淡写，方格图就成了虚设闲置产品。
（二）错误理解意图，导致应用失效
方格图作为一种数学工具为教学所用，但错误理解意图，不仅会使应用失效，更会误导学生的学习。以下是学生常常出现的错误实例：
错例1：学生在画三角形时，没有理解方格图给作图带来的辅助作用，只考虑画出一个三角形，没有借用方格图中的交点可以作为三角形的顶点，线段可以描述三角形边的长度，方格图应用失效。
错例2：将三角形向左平移8格，学生却只移动了7格，出现这些错例的学生是在数方格图里的交点数，而不是格子数，所以即使让他们再三检查也徒劳。
错例3：学生画图时更多考虑的是形，只要图形样子差不多就行，错例中是一笔一笔试图画出来的对称图形，没有真正理解方格图辅助他们找到对称轴另一边相应的点，对称轴左右距离没有给孩子带来画图的帮助。
（三）使用缺乏技巧，导致应用受限制
提起方格图，很多老师都会最先想到它在空间与图形领域里的各种应用，却很少想到它在其他知识领域里起到的作用，这无疑局限了方格图的应用。其实，方格图在数的认识及运算中完美地体现了数形结合的数学思想。在实际应用过程中，很多老师走过场的形式使得方格图的应用价值不高，教师反倒绞尽脑汁以繁代简，寻找五花八门的素材。殊不知，这种做法不但缺乏使用技巧，更掩盖了数学的本质，给学生的学习带来了干扰。
三、方格图应用的有效策略
（一）正确梳理，系统应用
要应用好方格图，就要对教材中可以借用方格图辅助学习的内容进行梳理。
1. 绘图系列：方格图应用最多的就是绘图，它的线条蕴含着直线与直线的平行和垂直关系，而直线的平行和垂直关系是几何图形中的基本关系，在方格中学生关注到了线段在方格中的位置，起到参照作用，降低了学生绘图的难度，提高了绘图的准确度。笔者以人教版（教育部审定2013）为例，将涉及到的知识点整理如下表：
2. 统一度量单位系列：在长度单位、图形的周长和面积的学习中，方格图除了帮助学生深刻理解统一度量的重要性（图4）、发现和总结计算方法外，更对学生理解和感受面积、面积单位（图5）、面积单位之间的联系（图6）起到了重要作用，学生也在借用方格图的过程中积累了测量的意识和方法。
3. 数的认识与运算系列：方格图给数的认识提供了较为直观的背景映衬，尤其在小数、分数、百分数的认识，以及小数分数的意义和性质上表现得特别突出。例如：方格图（10×10）是百分数认识过程中不可或缺的学习工具（图7），方格图的等分背景和取样的方格数形象地描述了部分与整体的关系，同时清晰地反应了值的大小（图8）。又如小数、分数的意义和性质教学过程中，以方格图为背景，忽隐忽现的垂直或平行线段形象地演示性质内容，学生轻松理解性质中提到的“大小不变”的含义（图9）。 数的运算应用在分数乘法和分数除法中广为推崇。如方格图的演示清晰阐述了分数乘除法的意义（图10、11）。又如在“方阵问题”中借用方格棋盘上各点的位置关系，理解不同的解决方法（图12）。
4. 便于比较的表格系列：表格其实也是方格图的一种变式应用，在方格图形成的列和行里，数据的比较和对照显得一目了然。如100以内数的认识（表1），在10×10的方格中将各数按序填入格中，“横着看、数着看、斜着看”，寻找数的排列规律，轻松理解十进制、各数位上数的有序性、数列的规律性。又如表内乘法（表2），一张表格把乘法口诀全部罗列其中，在复习阶段更精简地梳理了乘法口诀。
（二）正确理解，有效应用
方格图上一点一线一面（格）都蕴含着数学思想，如何才能使学生理解它带来的神奇之效？这就需要老师告诉学生方格图表达的各种意思，让学生有使用的需求感。笔者受特级教师俞正强老师准备课的启发，觉得方格图的使用完全有必要设计一堂准备课。以下是笔者设计的《方格图的认识》一课，并实践于课堂，效果甚佳。
回顾前面的错例，准备课的每一个设计都直指错例的症结：错例1，明确了在方格图上画三角形和在白纸上画的不同；错例2，长度由方格数决定；错例3，对称图形更重要的是图形各顶点对折后的重合。
（三）巧妙设计，适时、灵活应用
用方格图很简单，但用得恰到好处，用得绝妙却不是易事。这里介绍方格图巧妙应用的几个实例，以便一线老师学习和举一反三。
实例1：平移的距离是学生常出错的，学生总是把图形平移后，两个图形之间空了几格作为平移的格数。此时，教师可以采取创设情境，激趣设疑的方法展开教学。
师：小船的船头站着男孩，船尾站着女孩，小船开动，船做了什么运动？
师：这时男孩和女孩发生了争吵，男孩说我在船头，我经过的路长一点，女孩说，不对不对，我在船尾，我经过的路比你长。请同学们讨论一下，两个小孩谁说的对？怎样才能说服他们停止争吵。
学生的求证欲望被激发，并留下深刻的印象。在方格图中清晰看到对应点或对应线段移动的格数，比起老师的演示、说教更有说服力。
实例2：平行四边形面积计算一课中，方格图的使用大多只停留在平行四边形和长方形的对应长（底）、宽（高）的链接上。 这里以特级教师袁晓萍老师的课例为范，看看她是如何将方格图用实用足，渗透于各个知识点的。
师：你能用数方格的方法知道平行四边形的面积吗？用笔画一画，让人一眼看出你数的方法。
师：是不是任意的平行四边形都可以用方格拼接的方法得到面积呢？在方格纸上画任意平行四边形，看谁拼的次数越少？（学生得出不同的平行四边形都可以转化成长方形的规律。）
师：给你一张方格纸，你能不能画一个底是4，高是3的平行四边形？（把学生所画的不同平行四边形重叠在一张方格图上，并比较所画图形的面积大小，从而发现等底等高平行四边形面积相等。）
师：请你判断并验证：面积相等的平行四边形是否等底等高？（学生同样会借用方格图来验证。）
实例3：借用方格图理解小数的意义是常见的教学设计，但用得好的却为数不多。以下课例是众多运用中较为灵活的一种设计。
学生结合方格图掌握了分母是10的分数可以用一位小数表示，接着不是马上出示百格图理解分母是100的分数可以用两位小数表示，而是先出示十分之一的一半，让学生充分想象，寻求两位小数的和图形的链接点，顺着学生的需求，出示了第三步的百格图，将方格图再次应用的必要性演绎得淋漓尽致，学生深刻理解了小数的意义。
实践证明，用好方格图，不仅可以有效地促进学生空间观念的建立，其直观性可以带给学生解决问题的思路、方法和策略，而且还将有助于学生习得数学学习的方法。用好这“方寸之地”，真正做到“自成一格”，而非学习摆设，是每一位数学老师值得思考的问题。
参考文献
[1]曹培英.“图形与变换”的备课与教学[EB/OL].2011-04-03[2014-10-25].http：//blog.sina.com.cn/s/blog_4ae8b9290100s8m3.html.
[2]俞正强.小学数学课堂学习[M].北京：北京师范大学音像出版社，2012.
[3]俞正强.“种子课”：给知识以生长的力量——从小学数学“计量单位”的教学谈起[J].北京：人民教育，2011（02）.
【关键词】方格图；特点；问题；策略
作为一种数学工具，方格图在小学数学教学活动中被普遍应用，它对学生数学思想、数学方法、甚至是数学能力的培养都有着不可估量的价值。但在教学一线，它的使用并不乐观，教师和学生对方格图使用方法上存在着误区，有效性大打折扣。笔者结合自己运用方格图的实际经验，调查使用现状，搜集学生应用实例，学习名师教学案例，分析问题，提出有效性使用的思考和策略。
一、方格图的基本形式及特点
（一）基本形式
在小学数学教学活动中，方格图的表现形式多为普通方格图、点子图（又叫钉子板）、坐标方格图。
■普通方格图：即为大小一样的正方形拼接在一起，根据学习内容的需要设定正方形的边长和数量，在画图形、平移与旋转、面积计算等学习中时常出现（图1）。
■点子图：又叫钉子板，即由上下左右等距离的格点，以矩形格局排列而成，也可以看成普通方格图去掉正方形的边，保留顶点的“方格图”，在画平面图形中时常出现（图2）。
■坐标方格图：是在普通方格图的基础上，增加纵、横坐标，并标上原点0及坐标数，在位置与方向中时常出现（图3）。
此外，我们还可以看到类似于方格图的表现形式，如学生在田字格内正确书写数字；在格子里绘制条形统计图等，这些都是方格图的变式使用。
（二）特点
1. 有效帮助学生建立方位感
方格图上一条条水平和竖直的线，一组组平行与垂直的关系，为学生建立方位感提供了有力的参照，从而提升了学生的空间观念。
2. 有效帮助学生建立距离感
方格图上点与点之间、线与线之间的距离，为学生避开了最初认识图形的不必要干扰，学生不会在实际测量中关注必然存在的误差，大小相同、整齐排列的方格相衬，“距离”自然被学生接受和认可，促使教学过程直指概念的核心，帮助学生有效地建立概念。
二、方格图应用上的问题及误区
在人教版小学数学教科书中，方格图在每一册中都频频出现，可见编者对方格图应用的重视。但教师在教学这一知识点时，经常陷入下面三类误区：
（一）教师避烦不用，导致应用闲置
一线教师在教学过程中很少会主动使用方格图，尤其在第一学段，很多老师都觉得，让学生绘制图形是一件很麻烦的事。课堂无法掌控及时间没有保障，成了避免使用的主要原因。老师们常将方格图的练习作为作业来完成，缺少课堂的指导，从而更加轻视方格图的应用。长期地避烦不用，导致应用的恶性循环，学生不会用或用不好，课堂上就完成不好，能不在课堂上用就不用。碰到一定要使用时，也只是草草而过，轻描淡写，方格图就成了虚设闲置产品。
（二）错误理解意图，导致应用失效
方格图作为一种数学工具为教学所用，但错误理解意图，不仅会使应用失效，更会误导学生的学习。以下是学生常常出现的错误实例：
错例1：学生在画三角形时，没有理解方格图给作图带来的辅助作用，只考虑画出一个三角形，没有借用方格图中的交点可以作为三角形的顶点，线段可以描述三角形边的长度，方格图应用失效。
错例2：将三角形向左平移8格，学生却只移动了7格，出现这些错例的学生是在数方格图里的交点数，而不是格子数，所以即使让他们再三检查也徒劳。
错例3：学生画图时更多考虑的是形，只要图形样子差不多就行，错例中是一笔一笔试图画出来的对称图形，没有真正理解方格图辅助他们找到对称轴另一边相应的点，对称轴左右距离没有给孩子带来画图的帮助。
（三）使用缺乏技巧，导致应用受限制
提起方格图，很多老师都会最先想到它在空间与图形领域里的各种应用，却很少想到它在其他知识领域里起到的作用，这无疑局限了方格图的应用。其实，方格图在数的认识及运算中完美地体现了数形结合的数学思想。在实际应用过程中，很多老师走过场的形式使得方格图的应用价值不高，教师反倒绞尽脑汁以繁代简，寻找五花八门的素材。殊不知，这种做法不但缺乏使用技巧，更掩盖了数学的本质，给学生的学习带来了干扰。
三、方格图应用的有效策略
（一）正确梳理，系统应用
要应用好方格图，就要对教材中可以借用方格图辅助学习的内容进行梳理。
1. 绘图系列：方格图应用最多的就是绘图，它的线条蕴含着直线与直线的平行和垂直关系，而直线的平行和垂直关系是几何图形中的基本关系，在方格中学生关注到了线段在方格中的位置，起到参照作用，降低了学生绘图的难度，提高了绘图的准确度。笔者以人教版（教育部审定2013）为例，将涉及到的知识点整理如下表：
2. 统一度量单位系列：在长度单位、图形的周长和面积的学习中，方格图除了帮助学生深刻理解统一度量的重要性（图4）、发现和总结计算方法外，更对学生理解和感受面积、面积单位（图5）、面积单位之间的联系（图6）起到了重要作用，学生也在借用方格图的过程中积累了测量的意识和方法。
3. 数的认识与运算系列：方格图给数的认识提供了较为直观的背景映衬，尤其在小数、分数、百分数的认识，以及小数分数的意义和性质上表现得特别突出。例如：方格图（10×10）是百分数认识过程中不可或缺的学习工具（图7），方格图的等分背景和取样的方格数形象地描述了部分与整体的关系，同时清晰地反应了值的大小（图8）。又如小数、分数的意义和性质教学过程中，以方格图为背景，忽隐忽现的垂直或平行线段形象地演示性质内容，学生轻松理解性质中提到的“大小不变”的含义（图9）。 数的运算应用在分数乘法和分数除法中广为推崇。如方格图的演示清晰阐述了分数乘除法的意义（图10、11）。又如在“方阵问题”中借用方格棋盘上各点的位置关系，理解不同的解决方法（图12）。
4. 便于比较的表格系列：表格其实也是方格图的一种变式应用，在方格图形成的列和行里，数据的比较和对照显得一目了然。如100以内数的认识（表1），在10×10的方格中将各数按序填入格中，“横着看、数着看、斜着看”，寻找数的排列规律，轻松理解十进制、各数位上数的有序性、数列的规律性。又如表内乘法（表2），一张表格把乘法口诀全部罗列其中，在复习阶段更精简地梳理了乘法口诀。
（二）正确理解，有效应用
方格图上一点一线一面（格）都蕴含着数学思想，如何才能使学生理解它带来的神奇之效？这就需要老师告诉学生方格图表达的各种意思，让学生有使用的需求感。笔者受特级教师俞正强老师准备课的启发，觉得方格图的使用完全有必要设计一堂准备课。以下是笔者设计的《方格图的认识》一课，并实践于课堂，效果甚佳。
回顾前面的错例，准备课的每一个设计都直指错例的症结：错例1，明确了在方格图上画三角形和在白纸上画的不同；错例2，长度由方格数决定；错例3，对称图形更重要的是图形各顶点对折后的重合。
（三）巧妙设计，适时、灵活应用
用方格图很简单，但用得恰到好处，用得绝妙却不是易事。这里介绍方格图巧妙应用的几个实例，以便一线老师学习和举一反三。
实例1：平移的距离是学生常出错的，学生总是把图形平移后，两个图形之间空了几格作为平移的格数。此时，教师可以采取创设情境，激趣设疑的方法展开教学。
师：小船的船头站着男孩，船尾站着女孩，小船开动，船做了什么运动？
师：这时男孩和女孩发生了争吵，男孩说我在船头，我经过的路长一点，女孩说，不对不对，我在船尾，我经过的路比你长。请同学们讨论一下，两个小孩谁说的对？怎样才能说服他们停止争吵。
学生的求证欲望被激发，并留下深刻的印象。在方格图中清晰看到对应点或对应线段移动的格数，比起老师的演示、说教更有说服力。
实例2：平行四边形面积计算一课中，方格图的使用大多只停留在平行四边形和长方形的对应长（底）、宽（高）的链接上。 这里以特级教师袁晓萍老师的课例为范，看看她是如何将方格图用实用足，渗透于各个知识点的。
师：你能用数方格的方法知道平行四边形的面积吗？用笔画一画，让人一眼看出你数的方法。
师：是不是任意的平行四边形都可以用方格拼接的方法得到面积呢？在方格纸上画任意平行四边形，看谁拼的次数越少？（学生得出不同的平行四边形都可以转化成长方形的规律。）
师：给你一张方格纸，你能不能画一个底是4，高是3的平行四边形？（把学生所画的不同平行四边形重叠在一张方格图上，并比较所画图形的面积大小，从而发现等底等高平行四边形面积相等。）
师：请你判断并验证：面积相等的平行四边形是否等底等高？（学生同样会借用方格图来验证。）
实例3：借用方格图理解小数的意义是常见的教学设计，但用得好的却为数不多。以下课例是众多运用中较为灵活的一种设计。
学生结合方格图掌握了分母是10的分数可以用一位小数表示，接着不是马上出示百格图理解分母是100的分数可以用两位小数表示，而是先出示十分之一的一半，让学生充分想象，寻求两位小数的和图形的链接点，顺着学生的需求，出示了第三步的百格图，将方格图再次应用的必要性演绎得淋漓尽致，学生深刻理解了小数的意义。
实践证明，用好方格图，不仅可以有效地促进学生空间观念的建立，其直观性可以带给学生解决问题的思路、方法和策略，而且还将有助于学生习得数学学习的方法。用好这“方寸之地”，真正做到“自成一格”，而非学习摆设，是每一位数学老师值得思考的问题。
参考文献
[1]曹培英.“图形与变换”的备课与教学[EB/OL].2011-04-03[2014-10-25].http：//blog.sina.com.cn/s/blog_4ae8b9290100s8m3.html.
[2]俞正强.小学数学课堂学习[M].北京：北京师范大学音像出版社，2012.
[3]俞正强.“种子课”：给知识以生长的力量——从小学数学“计量单位”的教学谈起[J].北京：人民教育，2011（02）.