论文部分内容阅读
摘 要：高中数学学习在经历了磨合期的“起跑”后，便进入决定成败的“途中跑”. 这一阶段，教师需要培养学生的思维能力和意志品质，学生需要养成良好的学习习惯和掌握科学的学习方法，师生都需讲究策略. 正如数学解题一样，完整而准确的解答，离不开基础知识的积累，涉及的知识点都要清晰；离不开解题策略的归纳，做到“一题多解”和“多解归一”；更离不开思维的发散和感悟，掌握数学的本质. 在高中数学学习的征途中，在重视“起跑”和“冲刺”的同时，更要重视“途中跑”的高质量.
关键词：途中跑；高效学习；解题策略；思维
牙买加选手博尔特在北京奥运会百米飞人大战中打破世界纪录的精彩瞬间至今还记忆犹新，他的起跑没有领先优势，他的冲刺纯属表演，他的胜利完全靠的是出色的途中跑.
途中跑，是指经起跑、起跑后加速跑转入高速度跑的一段跑程，是全程跑中距离最长的阶段，一般100米跑的项目中，其距离约为60米. 运动员要能发挥出优异的成绩，在做好起跑和冲刺的同时，更要重视途中跑. 那时刻，运动员往往体态潇洒，精神专一，富有节奏感，将力量发挥恰到好处.
而我们高中的数学学习，高一第一学期，可以说是基础知识的铺垫期、学习方法的构建期和师生关系的磨合期，这算是“起跑”. 从第二学期开始，便进入了决定成败的“途中跑”，这一阶段，是学生一个漫长的知识积累过程和能力的提升过程. 作为教师，要重点培养学生的思维能力和意志品质，在数学课堂教学中要注重激发学生的表现欲望和个性潜能，为他们点拨思考方向和学习方法，同时要帮助学生建立自信，鼓励大膽质疑和探索. 作为学生，要重视良好学习习惯的养成和科学学习方法的积累，要合理安排时间，循序渐进. 作为师生，都要做到行与思相随，克服浮躁心理，让高中数学的学习在“途中跑”阶段，由懂到会，由会到熟，由熟到活，由活到悟. 下面笔者以数学题为例，谈谈高中数学学习“途中跑”的三个策略.
■策略一：步步为营
“途中跑”时间长，任务艰巨，三分钟的热情解决不了问题，学生学习过程中所迈出的每一步都很重要，一不留神走偏，就得付出成倍的代价，甚至抱憾终身. 因此需要稳扎稳打，把握每一个环节，学好每一个模块.
引例1 （1）判断函数y=lg（3-2x）的单调性；
（2）已知集合A={xx2-3x+2=0}，B={xax-2=0}，若B？哿A，求实数a的取值集合.
这两题都是课本原题，是学习中应知应会的基础知识，第1题要注意复合函数单调性判断的原则，第2题要注意集合B可能为空集. 针对这两题对应的知识点，教师命制了一道期末统考试题，如下：
例1 已知非空集合A是函数f（x）=lg（ax-1）的单调增区间，集合B是函数g（x）=-x2+2x+1的值域.
（1）若A∩B=（1，2]，求a的值；
（2）若A∩B？哿（1，2]，求a的取值集合.
略解：（1）g（x）的值域B为（-∞，2]，f（x）单调增区间A=■，+∞（a>0），因为A∩B=（1，2]，所以a=1.
（2）因为A∩B？哿（1，2]，
①当A∩B=■时，必须■≥2，所以0 ②当A∩B≠■时，必须1≤■<2，所以■ 综上，a的取值集合是（0，1].
这不是一个复杂问题，考查了对数函数的单调性、二次函数的值域、集合间的子集关系与交集运算等，这些知识点都在教学要求的范围内，但考试的结果令人非常不满意，为什么呢？是因为知识有了交汇，是因为学生在答题时能走几步，却没有能力走完每一步.
高中数学学习中的每一步环环相扣，高效地走好前面每一步，后继学习就不需要还债. 没有了包袱，轻装上阵，信心十足就学得主动.
■策略二：保持章法
运动员在赛场上，一方面，要根据自己训练时的经验和教练的预定计划来参加比赛，人家步伐大，我不跨大步，人家步频快，我不盲从；另一方面，要适度权衡利弊，随机应变，自主调节，这样才能展示最好的自我.
同样，数学学习也不能迷信，不能盲从. 学生要清楚地认识自己的优缺点，充分发挥自己的主观能动性，做学习的主人. 教师也要做到有效监控，帮助学生找到自己学习中的困难和解题的短板，并有“对症下药”的措施，做到“学无定法，学有章法，贵在得法”.
仍以例1为例，不同学生的答题暴露不同的问题，理当有不同的应对措施. 有的学生g（x）的值域求错，平时考试中也经常有类似的低级计算错误，这说明运算能力有缺陷，长此以往会发展为眼高手低. 那么，平时的学习就不要满足于听懂了，要动手算；平时的考试，要注重对起始运算步骤的复查.
有的学生f（x）的单调增区间没有写出，没有意识到a>0这一个隐含条件. 说明对数函数及其性质没有学好，这对后继学习是一个隐患，因为后续的学习还将碰到综合要求更高、分类讨论更复杂的问题. 那么，在其他学生完成其他学习任务时，在教师指导下就要补一补对数这一课，或有序地训练一些要注意挖掘隐含条件的问题.
有的学生不屑于表达解题过程，甚至已知条件也不高兴抄；有的学生没有考虑还要讨论A∩B=■的情况. 这说明解题习惯不好，问题的主干解决了，分数被七扣八扣就所剩无几了，典型的“会而不对，对而不全”. 针对这类问题，教师要重视学生答题规范的培养，要花真工夫，学生不能一味强调客观原因，或自我感觉良好，总认为下次考试临场发挥会好的. 要重视示范，多展示和多看正规考试的标准答案和评分标准等，这里同样有学问.
■策略三：科学超越
途中跑的超越与被超越是正常的，对此学生在学习中首先要保持良好的心态，不要急躁；其次要落实有效措施，贴近目标，实现反超越.这不是简单的全力以赴拼搏，需要用智慧来取胜. 引例2 若■+■+■=0，求S△APB∶S△BPC的值.
学生在学习了平面向量以后，都做过上述这道题，通过数形结合，很容易得到答案是1. 接下来，在面对下列问题时，学生是否还能轻松解答呢？
例2 已知P，A，B，C是同一平面上的四点，经过探索发现以下事实：
若2■+■+■=0，则S△APB∶S△BPC=■；
若■+■+2■=0，则SS△APB∶S△BPC=2；
若■+2■+■=0，则S△APB∶S△BPC=1；
若■+2■+3■=0，则S△APB∶S△BPC=3.
（1）根据上述结论，请你猜想，若m，n，k是非零常数，m■+n■+k■=0，则S△APB∶S△BPC的值是多少？并证明你的猜想；
（2）若2■+3■+4■=0，求S△PAB∶S△PAC的值.
在解答本题时，用特殊三角形来代替一般三角形求解的学生，它无从下手，因为他们的方法不具备一般性.
用向量的线性运算来做的学生，他可能能完成这道题的第一问，但是过程很繁，很难表达清楚，答案往往是错误的■，因为他们没有考虑方法优化.
用向量的坐标运算来做的学生，做第一问是方便的，因为他们考虑到方法的优化，已经能够适应系数的变化，但是第二问却还有点难，因为他们还没有考虑过，已知条件中三个向量不是同起点的情况.
在学习过程中，少数学生满足于完成书本练习水平作业，不善于动脑筋思考，面对例2，他们束手无策，时间一长，便成为数学的差生. 有较多的学生能对一些简单的变化有思考，能做一些工作，但因为能力的缺陷，往往不能做全. 只有那些真正做到学中思、思中悟，能把握所学知识的本质联系， 真正“玩味”问题的学生，他才能笑到最后.
其实例2講的是学生在答题时如何优化解题方法，是学生内化的一种自我超越，这靠的是平时的积累，是解题训练从量变到质变的飞跃，而要实现这一点，离不开教师的有效指导和发散思维能力的培养.
例3 在等差数列{an}中，前n项和记为Sn，若Sp=Sq（p≠q，p，q∈N*），求Sp+q的值.
本题是课本后面的习题，难度中等，解题思路开阔. 若数学基础较好，可以作如下的推广和拓展.
问题推广：已知Sn是等差数列的前n项和，Sp=r，Sq=s（p≠q，p，q∈N*），其中p，q，r，s为常数，求Sp+q的值.
问题类比：已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，Sm=r，Sk=s（m≠k，m，k∈N*），其中r，s为常数，求Sm+k的值.
问题拓展：在等差数列{an}中，Sn表示其前n项和，若Sn=■，Sm=■（m≠n），Sm+n>a，求实数a的最大值.
由此可见，不同的智力付出，回报自然有别，超越就意味着更多的付出.
总之，高中三年的学习好比是一场中长跑的比赛，其中有三分之二的时间都属于“途中跑”. 在重视“起跑”和“冲刺”的高质量的同时，更要重视“途中跑”的高效率. 本阶段，需要有良好的体能和耐力，做好持久战的准备；需要讲究科学的策略，感悟数学学习的真谛；更需要师生共同的智慧，共同发展，实现超越. 高中数学优异学习成绩的获取，通常是在这一阶段厚积而薄发的.
关键词：途中跑；高效学习；解题策略；思维
牙买加选手博尔特在北京奥运会百米飞人大战中打破世界纪录的精彩瞬间至今还记忆犹新，他的起跑没有领先优势，他的冲刺纯属表演，他的胜利完全靠的是出色的途中跑.
途中跑，是指经起跑、起跑后加速跑转入高速度跑的一段跑程，是全程跑中距离最长的阶段，一般100米跑的项目中，其距离约为60米. 运动员要能发挥出优异的成绩，在做好起跑和冲刺的同时，更要重视途中跑. 那时刻，运动员往往体态潇洒，精神专一，富有节奏感，将力量发挥恰到好处.
而我们高中的数学学习，高一第一学期，可以说是基础知识的铺垫期、学习方法的构建期和师生关系的磨合期，这算是“起跑”. 从第二学期开始，便进入了决定成败的“途中跑”，这一阶段，是学生一个漫长的知识积累过程和能力的提升过程. 作为教师，要重点培养学生的思维能力和意志品质，在数学课堂教学中要注重激发学生的表现欲望和个性潜能，为他们点拨思考方向和学习方法，同时要帮助学生建立自信，鼓励大膽质疑和探索. 作为学生，要重视良好学习习惯的养成和科学学习方法的积累，要合理安排时间，循序渐进. 作为师生，都要做到行与思相随，克服浮躁心理，让高中数学的学习在“途中跑”阶段，由懂到会，由会到熟，由熟到活，由活到悟. 下面笔者以数学题为例，谈谈高中数学学习“途中跑”的三个策略.
■策略一：步步为营
“途中跑”时间长，任务艰巨，三分钟的热情解决不了问题，学生学习过程中所迈出的每一步都很重要，一不留神走偏，就得付出成倍的代价，甚至抱憾终身. 因此需要稳扎稳打，把握每一个环节，学好每一个模块.
引例1 （1）判断函数y=lg（3-2x）的单调性；
（2）已知集合A={xx2-3x+2=0}，B={xax-2=0}，若B？哿A，求实数a的取值集合.
这两题都是课本原题，是学习中应知应会的基础知识，第1题要注意复合函数单调性判断的原则，第2题要注意集合B可能为空集. 针对这两题对应的知识点，教师命制了一道期末统考试题，如下：
例1 已知非空集合A是函数f（x）=lg（ax-1）的单调增区间，集合B是函数g（x）=-x2+2x+1的值域.
（1）若A∩B=（1，2]，求a的值；
（2）若A∩B？哿（1，2]，求a的取值集合.
略解：（1）g（x）的值域B为（-∞，2]，f（x）单调增区间A=■，+∞（a>0），因为A∩B=（1，2]，所以a=1.
（2）因为A∩B？哿（1，2]，
①当A∩B=■时，必须■≥2，所以0
这不是一个复杂问题，考查了对数函数的单调性、二次函数的值域、集合间的子集关系与交集运算等，这些知识点都在教学要求的范围内，但考试的结果令人非常不满意，为什么呢？是因为知识有了交汇，是因为学生在答题时能走几步，却没有能力走完每一步.
高中数学学习中的每一步环环相扣，高效地走好前面每一步，后继学习就不需要还债. 没有了包袱，轻装上阵，信心十足就学得主动.
■策略二：保持章法
运动员在赛场上，一方面，要根据自己训练时的经验和教练的预定计划来参加比赛，人家步伐大，我不跨大步，人家步频快，我不盲从；另一方面，要适度权衡利弊，随机应变，自主调节，这样才能展示最好的自我.
同样，数学学习也不能迷信，不能盲从. 学生要清楚地认识自己的优缺点，充分发挥自己的主观能动性，做学习的主人. 教师也要做到有效监控，帮助学生找到自己学习中的困难和解题的短板，并有“对症下药”的措施，做到“学无定法，学有章法，贵在得法”.
仍以例1为例，不同学生的答题暴露不同的问题，理当有不同的应对措施. 有的学生g（x）的值域求错，平时考试中也经常有类似的低级计算错误，这说明运算能力有缺陷，长此以往会发展为眼高手低. 那么，平时的学习就不要满足于听懂了，要动手算；平时的考试，要注重对起始运算步骤的复查.
有的学生f（x）的单调增区间没有写出，没有意识到a>0这一个隐含条件. 说明对数函数及其性质没有学好，这对后继学习是一个隐患，因为后续的学习还将碰到综合要求更高、分类讨论更复杂的问题. 那么，在其他学生完成其他学习任务时，在教师指导下就要补一补对数这一课，或有序地训练一些要注意挖掘隐含条件的问题.
有的学生不屑于表达解题过程，甚至已知条件也不高兴抄；有的学生没有考虑还要讨论A∩B=■的情况. 这说明解题习惯不好，问题的主干解决了，分数被七扣八扣就所剩无几了，典型的“会而不对，对而不全”. 针对这类问题，教师要重视学生答题规范的培养，要花真工夫，学生不能一味强调客观原因，或自我感觉良好，总认为下次考试临场发挥会好的. 要重视示范，多展示和多看正规考试的标准答案和评分标准等，这里同样有学问.
■策略三：科学超越
途中跑的超越与被超越是正常的，对此学生在学习中首先要保持良好的心态，不要急躁；其次要落实有效措施，贴近目标，实现反超越.这不是简单的全力以赴拼搏，需要用智慧来取胜. 引例2 若■+■+■=0，求S△APB∶S△BPC的值.
学生在学习了平面向量以后，都做过上述这道题，通过数形结合，很容易得到答案是1. 接下来，在面对下列问题时，学生是否还能轻松解答呢？
例2 已知P，A，B，C是同一平面上的四点，经过探索发现以下事实：
若2■+■+■=0，则S△APB∶S△BPC=■；
若■+■+2■=0，则SS△APB∶S△BPC=2；
若■+2■+■=0，则S△APB∶S△BPC=1；
若■+2■+3■=0，则S△APB∶S△BPC=3.
（1）根据上述结论，请你猜想，若m，n，k是非零常数，m■+n■+k■=0，则S△APB∶S△BPC的值是多少？并证明你的猜想；
（2）若2■+3■+4■=0，求S△PAB∶S△PAC的值.
在解答本题时，用特殊三角形来代替一般三角形求解的学生，它无从下手，因为他们的方法不具备一般性.
用向量的线性运算来做的学生，他可能能完成这道题的第一问，但是过程很繁，很难表达清楚，答案往往是错误的■，因为他们没有考虑方法优化.
用向量的坐标运算来做的学生，做第一问是方便的，因为他们考虑到方法的优化，已经能够适应系数的变化，但是第二问却还有点难，因为他们还没有考虑过，已知条件中三个向量不是同起点的情况.
在学习过程中，少数学生满足于完成书本练习水平作业，不善于动脑筋思考，面对例2，他们束手无策，时间一长，便成为数学的差生. 有较多的学生能对一些简单的变化有思考，能做一些工作，但因为能力的缺陷，往往不能做全. 只有那些真正做到学中思、思中悟，能把握所学知识的本质联系， 真正“玩味”问题的学生，他才能笑到最后.
其实例2講的是学生在答题时如何优化解题方法，是学生内化的一种自我超越，这靠的是平时的积累，是解题训练从量变到质变的飞跃，而要实现这一点，离不开教师的有效指导和发散思维能力的培养.
例3 在等差数列{an}中，前n项和记为Sn，若Sp=Sq（p≠q，p，q∈N*），求Sp+q的值.
本题是课本后面的习题，难度中等，解题思路开阔. 若数学基础较好，可以作如下的推广和拓展.
问题推广：已知Sn是等差数列的前n项和，Sp=r，Sq=s（p≠q，p，q∈N*），其中p，q，r，s为常数，求Sp+q的值.
问题类比：已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，Sm=r，Sk=s（m≠k，m，k∈N*），其中r，s为常数，求Sm+k的值.
问题拓展：在等差数列{an}中，Sn表示其前n项和，若Sn=■，Sm=■（m≠n），Sm+n>a，求实数a的最大值.
由此可见，不同的智力付出，回报自然有别，超越就意味着更多的付出.
总之，高中三年的学习好比是一场中长跑的比赛，其中有三分之二的时间都属于“途中跑”. 在重视“起跑”和“冲刺”的高质量的同时，更要重视“途中跑”的高效率. 本阶段，需要有良好的体能和耐力，做好持久战的准备；需要讲究科学的策略，感悟数学学习的真谛；更需要师生共同的智慧，共同发展，实现超越. 高中数学优异学习成绩的获取，通常是在这一阶段厚积而薄发的.