论文部分内容阅读
摘要：在数学解题过程中学生往往出现“会而不对，会而不全”的情况，究其原因，大多是想当然所致。只有透彻理解数学概念，耐心审题，看清题目要求，充分用上题设包含隐含条件，注意对结果进行必要的检验，才能避免“想当然”。
关键词：想当然；数学概念； 隐含条件； 范围的界定
数学解题时做错了是很常见的，原因也很多.有一类错误却纯属“想当然”所致.往往题目做出来了，满以为绝对正确，却偏偏错了。避免这样的错误，除了做事不能主观、简单化以外，也有不少发人深省的地方。由于有些解法太似是而非，题目又好像比较简单，很仔细的人出错也在所难免。本文结合自己的教学实践和体会，通过聆听、分析学生的错题讲解，对他们在解题过程中出现的“想当然”进行分析，借此激发问题意识，促进他们的认知，强化他们对错误根源的认识，增强他们的认知免疫力。
一、对概念、性质的理解出现偏差导致想当然
中学数学中的有些概念，教材往往以定义的形式直接给出，这些定义或符号看似比较简单，但真正迁移运用起来比较困难.如函数的定义域教材是先给出函数的定义，紧接就抛出函数的定义域：……记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域.根据此定义，学生很快就记住了函数y=f（x）的定義域就是自变量x的取值范围，也就快速且准确的求出形如f（x）=x，f（x）=1x，f（x）=1log2（x2-2x 2）等的定义域，但当我们给出求抽象函数定义域时，就有一部分同学对定义域的理解出现偏差。
案例1 ：设函数f（2x-1）的定义域为[3，9），则f（x 1）的定义域是（ ）。
A.[2，8） B.[3，6） C.[4，16） D[2，4）
学生出现最多的错误解法：2x-1∈[3，9）x∈[2，5）x 1∈[3，6）.，选（B）.为了纠正同学对定义域的理解出现的偏差，可以从学生最近认知发展区出发，通过把题目分解进行讲解，加深他们的理解，同时学会迁移应用。
已知f（x）=x，求①f（x）的定义域；②f（x 1）及f（x 1）的定义域；
③f（x-1）及f（x-1）的定义域。
分析：①f（x）=x，x≥0，
②f（x 1）=x 1，x 1≥0，x≥-1，③f（x-1）=x-1，x-1≥0，x≥1 。
在这儿，f（x 1），f（x），f（x-1）中的x 1，x及x-1是等价的，这样学生就能迁移到①已知f（x）的定义域是[0， ∞），求f（x 1）的定义域，②已知f（x 1）的定义域是[0， ∞），求f（x）的定义域两个问题上，因此对于案例1中的问题就会迎刃而解：把2x-1看成整体x1，x 1看成整体x2，这样在f（x1），f（x），f（x2），x1，x，x2是等价的，但x1中的x，x2中的x各不相同.∴x∈[3，9）2x-1∈[5，17），x 1∈[5，17），∴x∈[4，16） ∴选（C）。
案例2：为了得到y=sin（2x π4）的图像，只需将y=sin2x的图像（）。
A.左移π4 B.右移π4 C.左移π8 D.右移π8
错解：（A）。学生都能记住在图像的平移变换中遵循左加右减的规律，但没有真正的理解.在学习 函数y=Asin（ωx Ф）（A>0， ω>0）的图像时，好多教师都是先设置与图像有关系的问题，运用几何画板、多媒体力图向学生演示图像，然后让学生通过观察，从特殊的、个别的属性，归纳得出由函数y=sinx到函数y=sin（ωx Ф）（ ω>0）的图像的两种不同变换途径：①先平移后伸缩②先伸缩后平移.如果是①则先向左（Ф>0）或向右（Ф<0），再变化ω，如果是②则先变化ω，再平移，平移的值为向左（Ф/ω）或向右（-Ф/ω）.在变换②中，学生对于平移的值Ф/ω或-Ф/ω就是靠从几个特殊的、个别的图像的变化猜测得到的，有点似懂非懂的感觉，时间久了，就想当然的得出上面的错解。为了使同学们更好的理解变换②的情况，我利用同学们初中都很熟知的图形在坐标系中的平移进行讲解：
P（x-t，y）向左平移t个单位P（x，y）向右平移t个单位P（x t，y）
设p（x0，y0）是函数y=sinωx的图像上任一点，当Ф>0时，设点P向左平移t个单位得到点Q（x，y）即函数y=sin（ωx Ф）（ ω>0）上的点，则x=x0-ty=y0 x0=x ty0=y 因为p（x0，y0）在函数y=sinωx的图像上，所以y0=sinωx0即y=sinω（x t）=sin（ωx ωt）=sin（ωx Ф），所以ωt=Ф，t=Ф/ω。这样同学们对于图像平移过程中的左加右减的平移量就有了更深的理解，也就避免了想当然的错解。
二、对范围的对应、界定及处理出现偏差导致想当然.
案例3 ：集合A={y|y=x2-4x 3，x∈Z}，B={y|y=-x2-x 3，x∈Z}，求A∩B。错解：对于A：y=（x-2）2-1，y≥-1；對于B：y=-（x 12）2 314，y≤314，y∈Z，所以y≤3，所以A∩B=-1，0，1，2，3。
分析：过程似乎无懈可击，解也注意整数集了，何以不对呢？问题在于，由x∈Z=>
y∈Z，还必须检验y∈Z=>x∈Z是否成立，可以通过列表解决：y=-10123x1∈Z√√XX√X2∈ZXX√X√所以，A∩B={3}。
案例4 ：已知实数x，y满足4≤x y≤6①，2≤x-y≤4②，求2 x y的 取值范围。
这道题是高三（文科班）刚开始复习不等式时布置的限时训练题，当时好多同学都做错了，出现最多的是以下两种错解：
错解1：由① ②得6≤2x≤10 ③ ，由① ②×（-1） 得0≤y≤2 ④，
关键词：想当然；数学概念； 隐含条件； 范围的界定
数学解题时做错了是很常见的，原因也很多.有一类错误却纯属“想当然”所致.往往题目做出来了，满以为绝对正确，却偏偏错了。避免这样的错误，除了做事不能主观、简单化以外，也有不少发人深省的地方。由于有些解法太似是而非，题目又好像比较简单，很仔细的人出错也在所难免。本文结合自己的教学实践和体会，通过聆听、分析学生的错题讲解，对他们在解题过程中出现的“想当然”进行分析，借此激发问题意识，促进他们的认知，强化他们对错误根源的认识，增强他们的认知免疫力。
一、对概念、性质的理解出现偏差导致想当然
中学数学中的有些概念，教材往往以定义的形式直接给出，这些定义或符号看似比较简单，但真正迁移运用起来比较困难.如函数的定义域教材是先给出函数的定义，紧接就抛出函数的定义域：……记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域.根据此定义，学生很快就记住了函数y=f（x）的定義域就是自变量x的取值范围，也就快速且准确的求出形如f（x）=x，f（x）=1x，f（x）=1log2（x2-2x 2）等的定义域，但当我们给出求抽象函数定义域时，就有一部分同学对定义域的理解出现偏差。
案例1 ：设函数f（2x-1）的定义域为[3，9），则f（x 1）的定义域是（ ）。
A.[2，8） B.[3，6） C.[4，16） D[2，4）
学生出现最多的错误解法：2x-1∈[3，9）x∈[2，5）x 1∈[3，6）.，选（B）.为了纠正同学对定义域的理解出现的偏差，可以从学生最近认知发展区出发，通过把题目分解进行讲解，加深他们的理解，同时学会迁移应用。
已知f（x）=x，求①f（x）的定义域；②f（x 1）及f（x 1）的定义域；
③f（x-1）及f（x-1）的定义域。
分析：①f（x）=x，x≥0，
②f（x 1）=x 1，x 1≥0，x≥-1，③f（x-1）=x-1，x-1≥0，x≥1 。
在这儿，f（x 1），f（x），f（x-1）中的x 1，x及x-1是等价的，这样学生就能迁移到①已知f（x）的定义域是[0， ∞），求f（x 1）的定义域，②已知f（x 1）的定义域是[0， ∞），求f（x）的定义域两个问题上，因此对于案例1中的问题就会迎刃而解：把2x-1看成整体x1，x 1看成整体x2，这样在f（x1），f（x），f（x2），x1，x，x2是等价的，但x1中的x，x2中的x各不相同.∴x∈[3，9）2x-1∈[5，17），x 1∈[5，17），∴x∈[4，16） ∴选（C）。
案例2：为了得到y=sin（2x π4）的图像，只需将y=sin2x的图像（）。
A.左移π4 B.右移π4 C.左移π8 D.右移π8
错解：（A）。学生都能记住在图像的平移变换中遵循左加右减的规律，但没有真正的理解.在学习 函数y=Asin（ωx Ф）（A>0， ω>0）的图像时，好多教师都是先设置与图像有关系的问题，运用几何画板、多媒体力图向学生演示图像，然后让学生通过观察，从特殊的、个别的属性，归纳得出由函数y=sinx到函数y=sin（ωx Ф）（ ω>0）的图像的两种不同变换途径：①先平移后伸缩②先伸缩后平移.如果是①则先向左（Ф>0）或向右（Ф<0），再变化ω，如果是②则先变化ω，再平移，平移的值为向左（Ф/ω）或向右（-Ф/ω）.在变换②中，学生对于平移的值Ф/ω或-Ф/ω就是靠从几个特殊的、个别的图像的变化猜测得到的，有点似懂非懂的感觉，时间久了，就想当然的得出上面的错解。为了使同学们更好的理解变换②的情况，我利用同学们初中都很熟知的图形在坐标系中的平移进行讲解：
P（x-t，y）向左平移t个单位P（x，y）向右平移t个单位P（x t，y）
设p（x0，y0）是函数y=sinωx的图像上任一点，当Ф>0时，设点P向左平移t个单位得到点Q（x，y）即函数y=sin（ωx Ф）（ ω>0）上的点，则x=x0-ty=y0 x0=x ty0=y 因为p（x0，y0）在函数y=sinωx的图像上，所以y0=sinωx0即y=sinω（x t）=sin（ωx ωt）=sin（ωx Ф），所以ωt=Ф，t=Ф/ω。这样同学们对于图像平移过程中的左加右减的平移量就有了更深的理解，也就避免了想当然的错解。
二、对范围的对应、界定及处理出现偏差导致想当然.
案例3 ：集合A={y|y=x2-4x 3，x∈Z}，B={y|y=-x2-x 3，x∈Z}，求A∩B。错解：对于A：y=（x-2）2-1，y≥-1；對于B：y=-（x 12）2 314，y≤314，y∈Z，所以y≤3，所以A∩B=-1，0，1，2，3。
分析：过程似乎无懈可击，解也注意整数集了，何以不对呢？问题在于，由x∈Z=>
y∈Z，还必须检验y∈Z=>x∈Z是否成立，可以通过列表解决：y=-10123x1∈Z√√XX√X2∈ZXX√X√所以，A∩B={3}。
案例4 ：已知实数x，y满足4≤x y≤6①，2≤x-y≤4②，求2 x y的 取值范围。
这道题是高三（文科班）刚开始复习不等式时布置的限时训练题，当时好多同学都做错了，出现最多的是以下两种错解：
错解1：由① ②得6≤2x≤10 ③ ，由① ②×（-1） 得0≤y≤2 ④，