论文部分内容阅读
摘要：变式教学是中国数学教育的传统与特色。过程性变式特别适用于“问题解决”的教学。教学苏教版小学数学四年级下册《解决问题的策略——画图》第二课时，以教材例题的“花圃改建”情境为背景，创设了一系列变式问题，引导学生有意义、有意思地学习画图策略：变“简单的”为“复杂的”，激发画图需要;变“恰好的”为“缺失的”，强化画图体验;变“矩形图”为“点子图”，感悟数学思想。
关键词：解决问题的策略;变式教学;画图
“解决问题的策略”教学，应该注意激发学生对策略的需求（避免对学生的“硬性灌输”），引导学生经历策略的形成过程（“再发现”和“再创造”），准确把握策略的基本特征，不断体悟策略的应用价值，进而从解决一些问题到解决更多问题（举一反三），学会数学地思维。
提到“举一反三”，很多人会想到“变式”。所谓“变式”，是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化（变换命题的非本质特征，如改变描述形式、置换条件和结论、更改所处情境等）。可以说，变式教学（运用变式进行教学）一直以来就是中国数学教育的传统与特色。
顾泠沅教授将变式分为概念性变式和过程性变式。概念性变式在教学中的主要作用是使学生获得对概念的多角度理解。过程性变式的主要教学含义是在教学活动中，基于学生的“最近发展区”搭建适当的“脚手架”，通过从旧到新、由浅入深地创设并推进既有联系又有变化的问题情境（包括一题多变、一题多解、一法多用等），使学生分步解决问题，克服思维定式，积累多种活动经验，不断巩固已有认知，整合、扩充认知结构，从而感悟、提炼“变中不变”的数学本质和数学思想。可见，过程性变式特别适用于“问题解决”的教学——为解题化归铺设台阶。
苏教版小学数学四年级下册《解决问题的策略——画图》第二课时教学，基于学生平时已经对画图理解题意比较熟悉，而且第一课时已经学习了“画线段图”的学情，笔者以教材例题的“花圃改建”情境为背景，创设了一系列变式问题，引导学生有意义、有意思地学习画图策略。
一、变“简单的”为“复杂的”，激发画图需要
师 学校有一个长6米、宽4米的长方形花圃，你能想到什么？
生 我能想到，这个长方形的面积是6×4=24（平方米）。
生 周长是（6+4）×2=20（米）。
师 学校附近的多多花园有一块长方形花圃，我们来看看这个花圃的情况。
（课件出示问题：“多多花园有一块长方形花圃，长为8米。如果长增加3米，面积就增加18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？”）
师 根据已知的信息，你还能一下子求出原来花圃的面积吗？
（學生迟疑，摇头。）
师 花圃不是长方形吗？刚才，长方形的面积不是一下子就算出来了吗？现在，怎么不能立刻算出来了呢？
生 因为不知道宽的长度。
师 条件变复杂了，怎么办？
生 可以画图。
师 把文字变换成图形来呈现条件和问题，这是一种好想法。你能试着画一画吗？
（学生画图后，教师请一位学生展示。）
生 （展示图1）画一个长方形表示原来的花圃。
师 嗯。长为8米，宽未知，面积也未知。那你怎样理解“长增加3米”？
生 （同步在图1上比画）一条长朝这个方向增加3米，另一条长也朝这个方向增加3米。
师 嗯。随着长增加3米，我们得到了一个更大的长方形。现在，你能看着图再说说增加的18平方米是哪一部分吗？
（学生指着图说明。）
师 现在，你有解题思路了吗？
生 18÷3=6（米），就是原来花圃的宽。
师 （稍停）这么确定？
生 （迫不及待，同步在图1上比画）18÷3得到的6米，就是这条边的长度，这不就是花圃的宽吗？所以，用8×6就可以算出原来花圃的面积。
师 大家都从图中看出这个关系了吗？
（学生点头示意。）
师 你觉得这样一幅示意图对解决问题有什么帮助？
生 我觉得画了图，看起来很简单、清楚。
生 原来看着稀里糊涂的条件，画了图，就明白了里面的关系。
师 好，让我们继续想象。长方形花圃，长为8米，如果长增加4米，面积就增加24平方米。你能想到——
（学生发愣。）
师 （出示动图）看了图，你能想到什么吗？
生 我能知道这个小长方形的长是24÷4=6（米），也就是原来长方形的宽。
师 继续。长增加6米，面积增加36平方米。你能想到什么？
生 原来长方形的宽是6米。
（教师出示图形，学生比对判断。）
师 看来大家已经把图画在脑子里了。继续。长增加10米，面积增加60平方米。
生 原来长方形的宽还是6米，用60÷10。
师 （出示图形）你们真厉害！
生 我在脑子里把图形想象了一下。
生 我发现长增加、宽不变的时候，只要把增加的面积除以增加的长，得到的就是原来长方形的宽。
师 不仅能灵活运用画图策略，还能总结变化规律，了不起！
这里，教师没有直接出示教材例题，让学生“先画图，再解答”，而是先呈现一道简单的题目，让学生不画图也能算出面积，再呈现相对复杂的教材例题，让学生不画图就算不出面积，从而引发学生的认知冲突，激发学生对画图策略的需求。借助已有经验，学生主动尝试画出示意图;经过教师引导，学生体会到画图时要完善地表达条件和问题;通过问题解决，学生充分感受到画图有助于理解题意，发现解题思路。然后，教师保持教材例题中“宽不变”的条件，变化“长增加”的数据，帮助学生即时巩固，进一步体验画图策略的应用价值。 二、变“恰好的”为“缺失的”，强化画图体验
师 花圃的长增加，宽不变，花圃的面积发生了变化。如果你是花圃设计师，想一想：花圃还能怎么变？可以手势比画一下。
生 长不变，宽增加。
生 我想把长、宽都增加。
师 这么变，长方形的面积变大了。
生 我想把长减少，宽不变。
师 这么变，长方形的面积——
生 （齐）变小了。
师 你们打开了一扇想象的窗户。（课件出示问题：“一个长方形花圃，宽减少2米，面积就减少16平方米。原来花圃的面积是多少平方米？”）现在这个花圃呢？你能独立解决这个数学问题吗？
生 能！
师 那么，试着来求一求吧。
（学生尝试，教师巡视。）
师 怎么停下来不写了？
生 长不知道，不能求。
生 宽不知道。
师 有争论了。小组讨论一下，看看这道题出了什么问题。
（学生讨论。）
生 （画出图形）长是16÷2=8（米），宽不知道。
师 看来需要补充条件。你打算怎样补充？
生 宽6米。
师 面积是——
生 48平方米。
师 直截了当！还有呢？
生 宽是长的一半。那么，宽就是4米，面积是32平方米。
师 补充了宽和长的关系，有创意！如果长与宽相等呢？
生 8×8=64（平方米）。
师 这是个正方形。我们可以这样表述它边长的变化：正方形一组对边减少2米，面积就减少16平方米。
這里，教师基于“花圃改建”情境，引导学生激发想象，克服思维定式，从“长增加”的问题变化到“宽减少”的问题;并且，有意识地把条件“恰好”的问题变化为条件“缺失”的问题，引起学生的解题争议。这再次“逼着”学生主动运用画图策略，利用直观的图形表示抽象的文字，从而找到问题症结所在，意识到“虽未见长却有长，虽有见宽却无宽”，由此该算的算，该补的补。变而有度，变而可攀，有效强化了学生对画图策略的体验。
三、变“矩形图”为“点子图”，渗透数学思想
师 多多花园的花圃改建基本到位了，园长特地安排了庆祝活动，请来了小丑和乐队表演节目。表演时，他们这样设计队形：排成5行、每行5人的方队，小丑在最外圈，其余都是乐队人员。你能算出有多少位小丑吗？乐队人员呢？（稍停）能一下子回答出来吗？
生 有点想不清楚。
师 那怎么办？
生 可以画图。
（学生画图，教师巡视。）
师 （展示学生作品，如图2—图6）比较一下，哪一种示意图更简洁、清楚？
生 点子图。
师 （指图6）你们知道这位同学为什么要用20-4吗？
生 因为四个角上的人多算了一次。
生 老师，我发现从图中可以直接看出乐队表演人数是3×3=9（人），然后用总人数5×5=25，减去9，就得到小丑人数是16人。这样反过来做比较容易。
师 是的，根据点子图，我们可以更快地列出算式。从上节课的线段图到今天的这几种示意图，可见问题情境不同，我们选择的图形有时也不同。
这里，教师把“花圃改建”情境变为“庆祝活动”情境，把面积问题变为人数问题，引导学生把“矩形图”变为“方格图”“圆圈图”“点子图”，从而感悟画图策略，体会其中的数学思想，进而养成灵活选择策略的意识。由此，策略成了思想的雏形，成了数学思想的有力支撑。
参考文献：
[1] 张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.
关键词：解决问题的策略;变式教学;画图
“解决问题的策略”教学，应该注意激发学生对策略的需求（避免对学生的“硬性灌输”），引导学生经历策略的形成过程（“再发现”和“再创造”），准确把握策略的基本特征，不断体悟策略的应用价值，进而从解决一些问题到解决更多问题（举一反三），学会数学地思维。
提到“举一反三”，很多人会想到“变式”。所谓“变式”，是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化（变换命题的非本质特征，如改变描述形式、置换条件和结论、更改所处情境等）。可以说，变式教学（运用变式进行教学）一直以来就是中国数学教育的传统与特色。
顾泠沅教授将变式分为概念性变式和过程性变式。概念性变式在教学中的主要作用是使学生获得对概念的多角度理解。过程性变式的主要教学含义是在教学活动中，基于学生的“最近发展区”搭建适当的“脚手架”，通过从旧到新、由浅入深地创设并推进既有联系又有变化的问题情境（包括一题多变、一题多解、一法多用等），使学生分步解决问题，克服思维定式，积累多种活动经验，不断巩固已有认知，整合、扩充认知结构，从而感悟、提炼“变中不变”的数学本质和数学思想。可见，过程性变式特别适用于“问题解决”的教学——为解题化归铺设台阶。
苏教版小学数学四年级下册《解决问题的策略——画图》第二课时教学，基于学生平时已经对画图理解题意比较熟悉，而且第一课时已经学习了“画线段图”的学情，笔者以教材例题的“花圃改建”情境为背景，创设了一系列变式问题，引导学生有意义、有意思地学习画图策略。
一、变“简单的”为“复杂的”，激发画图需要
师 学校有一个长6米、宽4米的长方形花圃，你能想到什么？
生 我能想到，这个长方形的面积是6×4=24（平方米）。
生 周长是（6+4）×2=20（米）。
师 学校附近的多多花园有一块长方形花圃，我们来看看这个花圃的情况。
（课件出示问题：“多多花园有一块长方形花圃，长为8米。如果长增加3米，面积就增加18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？”）
师 根据已知的信息，你还能一下子求出原来花圃的面积吗？
（學生迟疑，摇头。）
师 花圃不是长方形吗？刚才，长方形的面积不是一下子就算出来了吗？现在，怎么不能立刻算出来了呢？
生 因为不知道宽的长度。
师 条件变复杂了，怎么办？
生 可以画图。
师 把文字变换成图形来呈现条件和问题，这是一种好想法。你能试着画一画吗？
（学生画图后，教师请一位学生展示。）
生 （展示图1）画一个长方形表示原来的花圃。
师 嗯。长为8米，宽未知，面积也未知。那你怎样理解“长增加3米”？
生 （同步在图1上比画）一条长朝这个方向增加3米，另一条长也朝这个方向增加3米。
师 嗯。随着长增加3米，我们得到了一个更大的长方形。现在，你能看着图再说说增加的18平方米是哪一部分吗？
（学生指着图说明。）
师 现在，你有解题思路了吗？
生 18÷3=6（米），就是原来花圃的宽。
师 （稍停）这么确定？
生 （迫不及待，同步在图1上比画）18÷3得到的6米，就是这条边的长度，这不就是花圃的宽吗？所以，用8×6就可以算出原来花圃的面积。
师 大家都从图中看出这个关系了吗？
（学生点头示意。）
师 你觉得这样一幅示意图对解决问题有什么帮助？
生 我觉得画了图，看起来很简单、清楚。
生 原来看着稀里糊涂的条件，画了图，就明白了里面的关系。
师 好，让我们继续想象。长方形花圃，长为8米，如果长增加4米，面积就增加24平方米。你能想到——
（学生发愣。）
师 （出示动图）看了图，你能想到什么吗？
生 我能知道这个小长方形的长是24÷4=6（米），也就是原来长方形的宽。
师 继续。长增加6米，面积增加36平方米。你能想到什么？
生 原来长方形的宽是6米。
（教师出示图形，学生比对判断。）
师 看来大家已经把图画在脑子里了。继续。长增加10米，面积增加60平方米。
生 原来长方形的宽还是6米，用60÷10。
师 （出示图形）你们真厉害！
生 我在脑子里把图形想象了一下。
生 我发现长增加、宽不变的时候，只要把增加的面积除以增加的长，得到的就是原来长方形的宽。
师 不仅能灵活运用画图策略，还能总结变化规律，了不起！
这里，教师没有直接出示教材例题，让学生“先画图，再解答”，而是先呈现一道简单的题目，让学生不画图也能算出面积，再呈现相对复杂的教材例题，让学生不画图就算不出面积，从而引发学生的认知冲突，激发学生对画图策略的需求。借助已有经验，学生主动尝试画出示意图;经过教师引导，学生体会到画图时要完善地表达条件和问题;通过问题解决，学生充分感受到画图有助于理解题意，发现解题思路。然后，教师保持教材例题中“宽不变”的条件，变化“长增加”的数据，帮助学生即时巩固，进一步体验画图策略的应用价值。 二、变“恰好的”为“缺失的”，强化画图体验
师 花圃的长增加，宽不变，花圃的面积发生了变化。如果你是花圃设计师，想一想：花圃还能怎么变？可以手势比画一下。
生 长不变，宽增加。
生 我想把长、宽都增加。
师 这么变，长方形的面积变大了。
生 我想把长减少，宽不变。
师 这么变，长方形的面积——
生 （齐）变小了。
师 你们打开了一扇想象的窗户。（课件出示问题：“一个长方形花圃，宽减少2米，面积就减少16平方米。原来花圃的面积是多少平方米？”）现在这个花圃呢？你能独立解决这个数学问题吗？
生 能！
师 那么，试着来求一求吧。
（学生尝试，教师巡视。）
师 怎么停下来不写了？
生 长不知道，不能求。
生 宽不知道。
师 有争论了。小组讨论一下，看看这道题出了什么问题。
（学生讨论。）
生 （画出图形）长是16÷2=8（米），宽不知道。
师 看来需要补充条件。你打算怎样补充？
生 宽6米。
师 面积是——
生 48平方米。
师 直截了当！还有呢？
生 宽是长的一半。那么，宽就是4米，面积是32平方米。
师 补充了宽和长的关系，有创意！如果长与宽相等呢？
生 8×8=64（平方米）。
师 这是个正方形。我们可以这样表述它边长的变化：正方形一组对边减少2米，面积就减少16平方米。
這里，教师基于“花圃改建”情境，引导学生激发想象，克服思维定式，从“长增加”的问题变化到“宽减少”的问题;并且，有意识地把条件“恰好”的问题变化为条件“缺失”的问题，引起学生的解题争议。这再次“逼着”学生主动运用画图策略，利用直观的图形表示抽象的文字，从而找到问题症结所在，意识到“虽未见长却有长，虽有见宽却无宽”，由此该算的算，该补的补。变而有度，变而可攀，有效强化了学生对画图策略的体验。
三、变“矩形图”为“点子图”，渗透数学思想
师 多多花园的花圃改建基本到位了，园长特地安排了庆祝活动，请来了小丑和乐队表演节目。表演时，他们这样设计队形：排成5行、每行5人的方队，小丑在最外圈，其余都是乐队人员。你能算出有多少位小丑吗？乐队人员呢？（稍停）能一下子回答出来吗？
生 有点想不清楚。
师 那怎么办？
生 可以画图。
（学生画图，教师巡视。）
师 （展示学生作品，如图2—图6）比较一下，哪一种示意图更简洁、清楚？
生 点子图。
师 （指图6）你们知道这位同学为什么要用20-4吗？
生 因为四个角上的人多算了一次。
生 老师，我发现从图中可以直接看出乐队表演人数是3×3=9（人），然后用总人数5×5=25，减去9，就得到小丑人数是16人。这样反过来做比较容易。
师 是的，根据点子图，我们可以更快地列出算式。从上节课的线段图到今天的这几种示意图，可见问题情境不同，我们选择的图形有时也不同。
这里，教师把“花圃改建”情境变为“庆祝活动”情境，把面积问题变为人数问题，引导学生把“矩形图”变为“方格图”“圆圈图”“点子图”，从而感悟画图策略，体会其中的数学思想，进而养成灵活选择策略的意识。由此，策略成了思想的雏形，成了数学思想的有力支撑。
参考文献：
[1] 张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.