论文部分内容阅读
摘要：现象教学是情境教学的“再进一步”，就是基于真实的情境（所谓的“现实世界”）展开自然的探究教学。运用现象教学思想，尝试高中数学《函数零点存在性定理》一课的教学，主要环节包括提供真实的现象、引出自然的探究、指向规范的表达、激活充分的思辨。
关键词：现象教学 数学现象 数学探究 《函数零点存在性定理》
通常，數学知识教学（相对于解题教学而言）有多种形式，但是，归纳起来可以分为两大类：第一类是教师直接讲授，帮助学生理解，通常的模式是“知识—解释—理解—应用”，可称为“知识教学”;第二类是教师创设情境、导入问题，激发学习动力，引导探究建构，通常的模式是“情境—探究—建构—应用”，可称为“情境教学”。从奥苏伯尔的两维学习分类的角度看，前者属于接受式学习，如果注意意义关联（而不是机械灌输），还是能够促进知识理解的，但是，不太利于兴趣激发、思维发展;后者属于发现式学习，通常利于知识理解和兴趣激发、思维发展，但是，如果情境创设和问题引导不当（比如情境过于虚假，问题过于刻意，暗示过于明显），便容易滑向接受式学习，即还是“牵着学生走”，突出了教师主导，弱化了学生主体。
考虑到情境教学的不足，现阶段，国际上逐渐兴起“现象教学”。现象教学是情境教学的“再进一步”（当然，与情境教学很难有明显的界线），就是基于真实的情境（所谓的“现实世界”）展开自然的探究教学，其基本的模式为“现象观察—问题提出—探究建构—理解应用”。数学现象可以来源于生活实际，也可来源于数学本身（都是“现实世界”里的），关键在于用数学的眼光、思维和语言来观察、思考、表达它——也就是弗赖登塔尔所说的“横向数学化”和“纵向数学化”以及史宁中教授所说的“三会”。与传统的数学情境（问题）相比，数学现象是一种“还原”，更真实、更开放——其条件或结论是不完全明确的;给了学生更大的空间，可以引发问题、激起联想、推动思考、强化表达，使探究更自然、自由，更充分、灵活——没有明确的目标（完成）节点，可以带来更大的延续性和创造性。现象是世界的缩影，通过对现象的思考，学生不仅能够获得知识，而且能够学会认识世界、改造世界的方式方法。
运用现象教学思想，笔者尝试了高中数学《函数零点存在性定理》一课的教学。其主要环节如下：
一、提供真实的现象
函数零点存在性定理在内容上比较抽象，学生虽然掌握了一些具体的函数，但是依然不太容易把握该定理的本质。我们尝试从该定理的数学内涵出发，化数为形，设计一个真实、开放的数学现象，即给出一个不完整的函数图像，让学生自由、充分、灵活地展开探究，发现该函数零点的各种可能（如没有、一个、两个……乃至无穷多个），从而不断丰满认知，建构知识。具体的现象设计如下：
图1是定义在区间[0，12]上的某函数的部分图像，请将图形补充成完整的函数图像，并研究函数的零点情况。
二、引出自然的探究
真实、开放的数学现象引发了学生的兴趣，激活了学生的思维，让学生展开了自然的探究，得到了函数零点存在性定理的有关要素“连续”和“异号”——
师 （出示上述数学现象）图中的函数是否一定存在零点？
生 （展示图像，如图2）一定存在。
生 不赞同。（展示图像，如图3）画出来的函数图像不连在一起时，零点可能不存在。
（学生讨论形成共识：当上述函数图像连续不断时，函数必有零点。）
师 如果其他函数图像连续不断，函数是否必有零点？
生 从上述函数图像可以看出，函数图像除了连续不断之外，还要对于x轴而言有上有下。
师 很好！不过，“有上有下”不是严谨的数学语言，如何将其数学化？
生 就是一端正，一端负，图中f（0）=-2<0，f（12）=6>0，即两端点函数值异号。
师 请各自重新画一个函数图像，使得函数在指定区间内有零点。
（学生画图，然后互查，推荐3—4位学生的作品展示交流。）
三、指向规范的表达
得到函数零点存在性定理的有关要素，并经过初步的从自然语言到数学语言的严谨化后，只需进一步总结出规范的数学化表达，即可建立抽象的定理模型——
师 一般地，函数y=f（x）在区间（a，b）上一定存在零点的条件是什么？
f（b）<0，再到f（a）f（b）<0的过程，形成结论：①函数图像在区间（a，b）上连续不断;②满足f（a）f（b）<0。）
师 谁来完整表述一下函数零点存在性定理？
生 若函数y=f（x）在区间[a，b]上是连续的，且f（a）f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点。
师 函数是连续的在高等数学中有严格的定义，我们现在不深入探讨。我们还是像上面一样，从图像的角度通俗地表达其特点。
生 一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点。
四、激活充分的思辨
得到函数零点存在性定理后，探究没有到此结束，因为，最初的数学现象中还有很多内涵可以挖掘，还可以研究满足条件时零点可能的个数等，从而提升学生的思维——
师 再回到最初的数学现象，还有问题需要研究吗？
生 要补全图像，有很多种可能性，可以有多个零点。
师 大家认可吗？如果你认为可以有多个零点，请画个示意图。
（学生画图探究函数零点个数的可能性。）
师 请画好的同学主动展示。
生 （展示图4、图5）可以有3个、5个零点。以此类推，可以有任意奇数个零点。 师 很好，大家可以按照他画曲线的规律，用手势比画比画，7个、9个……
（学生随着教师的叙述用手势比画。）
师 确实可以有任意奇数个零点吗？
生 确实。
师 还有其他发现吗？既然可以有奇数个零点，那么可以有偶数个零点吗？
（多数学生有些迟疑。）
生 （举手示意）可以。（展示图6、图7）以此类推，可以有任意偶数个零点。
师 你是怎么想到这样构造函数图像的？
生 我也是先画了3个、5个零点的情况，就想到能不能有2个、4个的情况。（展示图8）我发现之前画的曲线是这样的，可以看成一个开口向下、一个开口向上的类似于抛物线的曲线的组合。所以，要减少一个零点，只要参照一元二次函数Δ=0的情况，画类似抛物线的曲线，就可以了。
师 很好！大家同样可以按照他画曲线的规律，用手势比画6个、8个……
（学生随着教师的叙述用手势比画。）
师 到此，我们能够给出：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，则函数在区间（a，b）上可以有任意有限个零点。那再进一步，能否有无限个零点？
生 （展示图9）可以有。
师 你是怎么想到这样构造图像的呢？
生 由最简单的有无数个零点的函数f（x）=0想到的。
这里，最初画图时，不排除有学生有良好的数学直觉，直接画出有偶数个零点和无数个零点的图像。但是，我们更应该展示通过具体函数类比得到图像的思维过程。这是一种重要的思想方法，能够有效提升学生的学习迁移能力。总结了满足条件的各种情况后，学生又进一步反过来研究不满足条件时零点是否存在以及可能的个数——
师 至此，由最初的数学现象引出的零点个数问题，我们差不多可以做一个完美的总结了。
生 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，則函数在区间（a，b）上存在零点，可以有任意有限个零点，也可以有无数个零点。
师 同学们，对于这个结论，我们还能怎么想？
生 反过来想。
师 很好！那结论对不对呢？
生 不对。也就是，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且函数在（a，b）上存在零点，不一定要满足f（a）·f（b）<0。
师 你们认可这一说法吗？
（学生交流讨论后，认可上述说法。）
师 如此说来，我们可以得到什么结论呢？
生 图像是一条不间断曲线的函数y=f（x），如果满足f（a）f（b）<0，则在（a，b）上一定存在零点;如果满足f（a）f（b）>0，不一定没有零点。
师 不一定没有就是可以有，可以有多少个？
（学生交流讨论，得出可以有1个、2个……任意多个，然后进入巩固练习环节。）
本节课的教学，在学生没有“函数零点存在性定理”意识的基础上（现象教学反对预习），让学生基于对一个熟悉的数学现象的观察与思考，自然生成“零点是否存在？”“如果存在，有多少种可能性？”等疑问，激发联想。而只要有了疑问，关于“零点存在性及个数”的答案，学生非常容易获得。学生在此过程中展现了强大的想象力和论证力，得到了许多“奇思妙想”（比如图9），而教材上的“函数零点存在性定理”只是其中一个小小的结论而已。由此，学生的眼光和思维产生了诸多变化。
康托尔说：“数学的本质在于它的自由。”现象教学就是给人以自由的教学：在知识面前人是受奴役的，在现象面前人是自由的。
本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题“用数学现象启发问题意识的教学实践研究”（编号：Bb/2016/02/78）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 祁平.新课程背景下数学教学的哲学思考[J].数学通报，2007（2）.
[2] 孙四周.把数学问题还原为数学现象——谈“基于活动与体验的例题教学”[J].数学通报，2015（10）.
[3] 孙四周.现象教学的内涵与价值[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[4] 水菊芳.从情境到现象：再进一步的数学教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[5] 李宏铭.数学现象教学的实施及评价概述[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[6] 水菊芳.“数学现象”视角下的概念教学[J].江苏教育，2018（43）.
[7] 孙四周.用现象教学克服知识的碎片化[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（6）.
关键词：现象教学 数学现象 数学探究 《函数零点存在性定理》
通常，數学知识教学（相对于解题教学而言）有多种形式，但是，归纳起来可以分为两大类：第一类是教师直接讲授，帮助学生理解，通常的模式是“知识—解释—理解—应用”，可称为“知识教学”;第二类是教师创设情境、导入问题，激发学习动力，引导探究建构，通常的模式是“情境—探究—建构—应用”，可称为“情境教学”。从奥苏伯尔的两维学习分类的角度看，前者属于接受式学习，如果注意意义关联（而不是机械灌输），还是能够促进知识理解的，但是，不太利于兴趣激发、思维发展;后者属于发现式学习，通常利于知识理解和兴趣激发、思维发展，但是，如果情境创设和问题引导不当（比如情境过于虚假，问题过于刻意，暗示过于明显），便容易滑向接受式学习，即还是“牵着学生走”，突出了教师主导，弱化了学生主体。
考虑到情境教学的不足，现阶段，国际上逐渐兴起“现象教学”。现象教学是情境教学的“再进一步”（当然，与情境教学很难有明显的界线），就是基于真实的情境（所谓的“现实世界”）展开自然的探究教学，其基本的模式为“现象观察—问题提出—探究建构—理解应用”。数学现象可以来源于生活实际，也可来源于数学本身（都是“现实世界”里的），关键在于用数学的眼光、思维和语言来观察、思考、表达它——也就是弗赖登塔尔所说的“横向数学化”和“纵向数学化”以及史宁中教授所说的“三会”。与传统的数学情境（问题）相比，数学现象是一种“还原”，更真实、更开放——其条件或结论是不完全明确的;给了学生更大的空间，可以引发问题、激起联想、推动思考、强化表达，使探究更自然、自由，更充分、灵活——没有明确的目标（完成）节点，可以带来更大的延续性和创造性。现象是世界的缩影，通过对现象的思考，学生不仅能够获得知识，而且能够学会认识世界、改造世界的方式方法。
运用现象教学思想，笔者尝试了高中数学《函数零点存在性定理》一课的教学。其主要环节如下：
一、提供真实的现象
函数零点存在性定理在内容上比较抽象，学生虽然掌握了一些具体的函数，但是依然不太容易把握该定理的本质。我们尝试从该定理的数学内涵出发，化数为形，设计一个真实、开放的数学现象，即给出一个不完整的函数图像，让学生自由、充分、灵活地展开探究，发现该函数零点的各种可能（如没有、一个、两个……乃至无穷多个），从而不断丰满认知，建构知识。具体的现象设计如下：
图1是定义在区间[0，12]上的某函数的部分图像，请将图形补充成完整的函数图像，并研究函数的零点情况。
二、引出自然的探究
真实、开放的数学现象引发了学生的兴趣，激活了学生的思维，让学生展开了自然的探究，得到了函数零点存在性定理的有关要素“连续”和“异号”——
师 （出示上述数学现象）图中的函数是否一定存在零点？
生 （展示图像，如图2）一定存在。
生 不赞同。（展示图像，如图3）画出来的函数图像不连在一起时，零点可能不存在。
（学生讨论形成共识：当上述函数图像连续不断时，函数必有零点。）
师 如果其他函数图像连续不断，函数是否必有零点？
生 从上述函数图像可以看出，函数图像除了连续不断之外，还要对于x轴而言有上有下。
师 很好！不过，“有上有下”不是严谨的数学语言，如何将其数学化？
生 就是一端正，一端负，图中f（0）=-2<0，f（12）=6>0，即两端点函数值异号。
师 请各自重新画一个函数图像，使得函数在指定区间内有零点。
（学生画图，然后互查，推荐3—4位学生的作品展示交流。）
三、指向规范的表达
得到函数零点存在性定理的有关要素，并经过初步的从自然语言到数学语言的严谨化后，只需进一步总结出规范的数学化表达，即可建立抽象的定理模型——
师 一般地，函数y=f（x）在区间（a，b）上一定存在零点的条件是什么？
f（b）<0，再到f（a）f（b）<0的过程，形成结论：①函数图像在区间（a，b）上连续不断;②满足f（a）f（b）<0。）
师 谁来完整表述一下函数零点存在性定理？
生 若函数y=f（x）在区间[a，b]上是连续的，且f（a）f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点。
师 函数是连续的在高等数学中有严格的定义，我们现在不深入探讨。我们还是像上面一样，从图像的角度通俗地表达其特点。
生 一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点。
四、激活充分的思辨
得到函数零点存在性定理后，探究没有到此结束，因为，最初的数学现象中还有很多内涵可以挖掘，还可以研究满足条件时零点可能的个数等，从而提升学生的思维——
师 再回到最初的数学现象，还有问题需要研究吗？
生 要补全图像，有很多种可能性，可以有多个零点。
师 大家认可吗？如果你认为可以有多个零点，请画个示意图。
（学生画图探究函数零点个数的可能性。）
师 请画好的同学主动展示。
生 （展示图4、图5）可以有3个、5个零点。以此类推，可以有任意奇数个零点。 师 很好，大家可以按照他画曲线的规律，用手势比画比画，7个、9个……
（学生随着教师的叙述用手势比画。）
师 确实可以有任意奇数个零点吗？
生 确实。
师 还有其他发现吗？既然可以有奇数个零点，那么可以有偶数个零点吗？
（多数学生有些迟疑。）
生 （举手示意）可以。（展示图6、图7）以此类推，可以有任意偶数个零点。
师 你是怎么想到这样构造函数图像的？
生 我也是先画了3个、5个零点的情况，就想到能不能有2个、4个的情况。（展示图8）我发现之前画的曲线是这样的，可以看成一个开口向下、一个开口向上的类似于抛物线的曲线的组合。所以，要减少一个零点，只要参照一元二次函数Δ=0的情况，画类似抛物线的曲线，就可以了。
师 很好！大家同样可以按照他画曲线的规律，用手势比画6个、8个……
（学生随着教师的叙述用手势比画。）
师 到此，我们能够给出：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，则函数在区间（a，b）上可以有任意有限个零点。那再进一步，能否有无限个零点？
生 （展示图9）可以有。
师 你是怎么想到这样构造图像的呢？
生 由最简单的有无数个零点的函数f（x）=0想到的。
这里，最初画图时，不排除有学生有良好的数学直觉，直接画出有偶数个零点和无数个零点的图像。但是，我们更应该展示通过具体函数类比得到图像的思维过程。这是一种重要的思想方法，能够有效提升学生的学习迁移能力。总结了满足条件的各种情况后，学生又进一步反过来研究不满足条件时零点是否存在以及可能的个数——
师 至此，由最初的数学现象引出的零点个数问题，我们差不多可以做一个完美的总结了。
生 如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）<0，則函数在区间（a，b）上存在零点，可以有任意有限个零点，也可以有无数个零点。
师 同学们，对于这个结论，我们还能怎么想？
生 反过来想。
师 很好！那结论对不对呢？
生 不对。也就是，如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条不间断的曲线，且函数在（a，b）上存在零点，不一定要满足f（a）·f（b）<0。
师 你们认可这一说法吗？
（学生交流讨论后，认可上述说法。）
师 如此说来，我们可以得到什么结论呢？
生 图像是一条不间断曲线的函数y=f（x），如果满足f（a）f（b）<0，则在（a，b）上一定存在零点;如果满足f（a）f（b）>0，不一定没有零点。
师 不一定没有就是可以有，可以有多少个？
（学生交流讨论，得出可以有1个、2个……任意多个，然后进入巩固练习环节。）
本节课的教学，在学生没有“函数零点存在性定理”意识的基础上（现象教学反对预习），让学生基于对一个熟悉的数学现象的观察与思考，自然生成“零点是否存在？”“如果存在，有多少种可能性？”等疑问，激发联想。而只要有了疑问，关于“零点存在性及个数”的答案，学生非常容易获得。学生在此过程中展现了强大的想象力和论证力，得到了许多“奇思妙想”（比如图9），而教材上的“函数零点存在性定理”只是其中一个小小的结论而已。由此，学生的眼光和思维产生了诸多变化。
康托尔说：“数学的本质在于它的自由。”现象教学就是给人以自由的教学：在知识面前人是受奴役的，在现象面前人是自由的。
本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题“用数学现象启发问题意识的教学实践研究”（编号：Bb/2016/02/78）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 祁平.新课程背景下数学教学的哲学思考[J].数学通报，2007（2）.
[2] 孙四周.把数学问题还原为数学现象——谈“基于活动与体验的例题教学”[J].数学通报，2015（10）.
[3] 孙四周.现象教学的内涵与价值[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[4] 水菊芳.从情境到现象：再进一步的数学教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[5] 李宏铭.数学现象教学的实施及评价概述[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[6] 水菊芳.“数学现象”视角下的概念教学[J].江苏教育，2018（43）.
[7] 孙四周.用现象教学克服知识的碎片化[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（6）.