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2010年，开福区小学数学名师工作室成立，首席名师刘友华老师带着各位成员和学员展开了不少有意义的教研活动。作为工作室学员之一的我有了更多的听课研讨、培训进修的机会。记得2010年12月，刘友华老师带着我参加了在北京召开的“中小学数学教育专项课题”开题论证会。在这次会议上，我第一次近距离聆听史宁中、刘坚等知名专家的发言与讲座，同时有幸认识了北京师范大学基础教育课程研究中心研究员任景业老师。在任老师的办公室里，我们认真学习了北京一些小学所做的学生研究成果，知道了可以从哪些角度研读学生，明白了哪些案例是有研究价值的，理解了发现问题、研究问题对于一个一线教师成长的重要作用。
带着学习收获和对未来的期盼回到长沙，我在工作室的带领下开始一点一滴地进行尝试和研究。我的第一次尝试是由一道阶段测试题开始的。
在2010年秋季的期中测试中，我们四年级的数学试卷里出现了这样一道填空题：周角=（ ）°。一看到题目，我的心里就咯噔一下。在四年级上册学生虽然学习了周角的有关知识，但是分数的认识是在一年以前，也就是三年级上册的时候学习的。而且周角这样的表现形式，学生从没有接触过，他们能明白这道题的意思？能做出来吗？在阅卷的时候，我发现孩子们做得还不错，比我想象中要好许多。以我所执教的班为例，抽查的52份试卷中，有39人回答正确，只有13人回答错误或不作答。于是，我有了这样的思考：分数是小学阶段很抽象、很难懂的数学知识，很多老师在三年级、五年级和六年级都针对分数知识开展了不少的教研活动，但是很少有老师从四年级学生的角度去了解他们是如何理解分数的。他们现在理解的分数与三年级刚开始学习时有质的飞跃或者新的看法吗？他们的认识对后续的分数单位的学习是否有一定的帮助呢？为了解决这些困惑，我通过几次活动开展了关于分数认识的教学调研，以便更好地了解学生、读懂学生。
我向刘友华老师汇报了上面的思考，刘老师先是肯定我善于发现问题，然后建议我通过谈话、问卷、活动等方式展开一些调查和研究。于是，我进行了下面的测试。
■：阴影部分是整个图形的■。
■：白色部分是整个图形的■。
■： 每个小长方形是1，整个图形有4个这样的小长方形，所以就是■。
■：每个小长方形是1，白色部分有3个这样的小长方形，所以就是■。
■：把整个图形竖着平均分成2份，阴影部分占一份里面的一半，所以是■。
■： 白色部分分成3份，阴影部分相当于白色部分的一份，所以就是■。
问题2：这张纸中（如下图），阴影部分占这张纸的几分之几？
学生对这道题的回答以■、■、■居多。
当教师问到如何验证哪个答案正确的时候，学生提出用折纸的方法将纸进行平均分，然后看看阴影部分占这张纸的几分之几。接着在折纸验证的过程中学生又有了更多的答案：■、■……
在研究过程中，我欣喜地发现：原来学生的观察能力这么强，每个学生几乎都能从不同的角度观察图形，丝毫不受别人的影响，并且能很好地运用分数的知识来表示自己所看到的图形。在查阅资料的过程中，我还有新发现：我做的调研结果与《小学数学研究》上杭州市唐采斌老师提供的调查结果是吻合的，四年级的学生相对于三年级、五年级、六年级的学生来说，对分数单位的选择更具有灵活性，这些数据为我们研究和调整高年级分数教学提供了有力的科学依据。
研究结束后，刘友华老师建议我将研究的过程记录下来，并且投稿。对于从来没发表过文章的我来说，压根就没想过自己的文章能够发表。但是，让我惊喜的是，我根据这次研究撰写的《探寻学生心目中的分数》一文很快就发表出来。第一次尝试的成功使我有了更多的研究热情和动力，经过多次观摩学习刘友华老师等各位名师的教学，我慢慢修正自己的常规课堂教学，放手让学生自己研究问题，学生之间的交流渐渐成为课堂的一道亮丽风景线。
2012年暑假，刘友华老师告诉工作室几位老师，工作室将要承担湖南省“生活数学”夏令营五年级组的策划组织活动。刘友华老师跟我们几个老师说了她对这次活动的初步思考和安排后，大家分工协作完善活动方案。我当时提议结合五年级的立体图形知识，开展“我来设计容积最大的无盖长方体盒子”的动手活动，现场提供一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸片，让学生自行制作一个高为整厘米数的无盖长方体盒子，使它的容积最大。我的思考源于五年级下册长方体和正方体知识的教学内容：一块长30厘米，宽25厘米的长方形铁片，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？在课堂上，因时间的关系，我们无法更好地观察学生对这道题的思考情况：平面图形转化为立体图形是否是学生的障碍？还有哪些会是解题的障碍？教师针对学生的学习障碍如何提供相应的辅导？这个活动可以让老师更好地观察分析不同地区学生的解题能力。我的议案得到了刘友华老师的赞同，我们商讨了具体的实施方案与措施。
开展活动的当天，我们发现，学生很快就投入问题的探究活动之中。学生的想法各不相同，即使是同一地区、同一学校的学生都有不同的尝试方法。
有的学生一开始就问：纸片剪下的部分能不能再补回图形当中？这样盒子的容积更大。有的学生不明白一张纸片如何能制作成无盖的盒子，就尝试将长边和宽边向上折，发现要做成盒子必须剪下一些多余的部分，而剪下来的一角正好是一个正方形。有的学生可能对书上的知识还有点印象，但是记不清在长方形纸的四个角是分别剪下一个长方形还是正方形，就可以做成无盖的盒子。所以他们先尝试剪下四个长方形试一试，然后发现折起来后盒子一边高一边低，才悟到应该在四个角分别剪去一个相同的正方形。也有的学生一开始就拿着纸在算：当高是1厘米时，盒子的容积是多少，高分别是2、3、4厘米时，容积又是多少，然后再按照盒子的长、宽、高去裁剪纸张。
活动结束时，19个参赛组全部完成任务，成功做出了无盖的长方体盒子，只有4个组的作品不符合容积最大的要求。学生在活动中从一步一步尝试，到逐渐明晰思路，再交流意见、统一看法，最后计算并找出容积最大的盒子。如此有挑战性的活动令学生兴奋不已，各地领队教师都高兴地说：这样的活动太有价值了，充分展示了学生的智慧和解决问题的能力。
在刘友华老师主持的数学名师工作室学习研修的三年时间里，我再一次体验了成长的快乐，学会了放下心中的各种顾虑，相信学生、鼓励学生，让他们把学习的主动权掌握在自己的手中。聆听学生在课堂上叽叽喳喳的讨论声，欣赏一张张绽放喜悦的可爱笑脸，是一个数学教师的幸福。在名师工作室的研修历程让我明白了如何开展自己未来的教学工作，如何幸福地享受工作所带来的喜悦。我坚信谦虚、努力、实践是实现自我价值的动力。
（本栏责编 肖 飞）
问题1：在下图中，请用一个分数来表示。
学生给出了丰富多彩的答案：
带着学习收获和对未来的期盼回到长沙，我在工作室的带领下开始一点一滴地进行尝试和研究。我的第一次尝试是由一道阶段测试题开始的。
在2010年秋季的期中测试中，我们四年级的数学试卷里出现了这样一道填空题：周角=（ ）°。一看到题目，我的心里就咯噔一下。在四年级上册学生虽然学习了周角的有关知识，但是分数的认识是在一年以前，也就是三年级上册的时候学习的。而且周角这样的表现形式，学生从没有接触过，他们能明白这道题的意思？能做出来吗？在阅卷的时候，我发现孩子们做得还不错，比我想象中要好许多。以我所执教的班为例，抽查的52份试卷中，有39人回答正确，只有13人回答错误或不作答。于是，我有了这样的思考：分数是小学阶段很抽象、很难懂的数学知识，很多老师在三年级、五年级和六年级都针对分数知识开展了不少的教研活动，但是很少有老师从四年级学生的角度去了解他们是如何理解分数的。他们现在理解的分数与三年级刚开始学习时有质的飞跃或者新的看法吗？他们的认识对后续的分数单位的学习是否有一定的帮助呢？为了解决这些困惑，我通过几次活动开展了关于分数认识的教学调研，以便更好地了解学生、读懂学生。
我向刘友华老师汇报了上面的思考，刘老师先是肯定我善于发现问题，然后建议我通过谈话、问卷、活动等方式展开一些调查和研究。于是，我进行了下面的测试。
■：阴影部分是整个图形的■。
■：白色部分是整个图形的■。
■： 每个小长方形是1，整个图形有4个这样的小长方形，所以就是■。
■：每个小长方形是1，白色部分有3个这样的小长方形，所以就是■。
■：把整个图形竖着平均分成2份，阴影部分占一份里面的一半，所以是■。
■： 白色部分分成3份，阴影部分相当于白色部分的一份，所以就是■。
问题2：这张纸中（如下图），阴影部分占这张纸的几分之几？
学生对这道题的回答以■、■、■居多。
当教师问到如何验证哪个答案正确的时候，学生提出用折纸的方法将纸进行平均分，然后看看阴影部分占这张纸的几分之几。接着在折纸验证的过程中学生又有了更多的答案：■、■……
在研究过程中，我欣喜地发现：原来学生的观察能力这么强，每个学生几乎都能从不同的角度观察图形，丝毫不受别人的影响，并且能很好地运用分数的知识来表示自己所看到的图形。在查阅资料的过程中，我还有新发现：我做的调研结果与《小学数学研究》上杭州市唐采斌老师提供的调查结果是吻合的，四年级的学生相对于三年级、五年级、六年级的学生来说，对分数单位的选择更具有灵活性，这些数据为我们研究和调整高年级分数教学提供了有力的科学依据。
研究结束后，刘友华老师建议我将研究的过程记录下来，并且投稿。对于从来没发表过文章的我来说，压根就没想过自己的文章能够发表。但是，让我惊喜的是，我根据这次研究撰写的《探寻学生心目中的分数》一文很快就发表出来。第一次尝试的成功使我有了更多的研究热情和动力，经过多次观摩学习刘友华老师等各位名师的教学，我慢慢修正自己的常规课堂教学，放手让学生自己研究问题，学生之间的交流渐渐成为课堂的一道亮丽风景线。
2012年暑假，刘友华老师告诉工作室几位老师，工作室将要承担湖南省“生活数学”夏令营五年级组的策划组织活动。刘友华老师跟我们几个老师说了她对这次活动的初步思考和安排后，大家分工协作完善活动方案。我当时提议结合五年级的立体图形知识，开展“我来设计容积最大的无盖长方体盒子”的动手活动，现场提供一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸片，让学生自行制作一个高为整厘米数的无盖长方体盒子，使它的容积最大。我的思考源于五年级下册长方体和正方体知识的教学内容：一块长30厘米，宽25厘米的长方形铁片，从四个角各切掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？在课堂上，因时间的关系，我们无法更好地观察学生对这道题的思考情况：平面图形转化为立体图形是否是学生的障碍？还有哪些会是解题的障碍？教师针对学生的学习障碍如何提供相应的辅导？这个活动可以让老师更好地观察分析不同地区学生的解题能力。我的议案得到了刘友华老师的赞同，我们商讨了具体的实施方案与措施。
开展活动的当天，我们发现，学生很快就投入问题的探究活动之中。学生的想法各不相同，即使是同一地区、同一学校的学生都有不同的尝试方法。
有的学生一开始就问：纸片剪下的部分能不能再补回图形当中？这样盒子的容积更大。有的学生不明白一张纸片如何能制作成无盖的盒子，就尝试将长边和宽边向上折，发现要做成盒子必须剪下一些多余的部分，而剪下来的一角正好是一个正方形。有的学生可能对书上的知识还有点印象，但是记不清在长方形纸的四个角是分别剪下一个长方形还是正方形，就可以做成无盖的盒子。所以他们先尝试剪下四个长方形试一试，然后发现折起来后盒子一边高一边低，才悟到应该在四个角分别剪去一个相同的正方形。也有的学生一开始就拿着纸在算：当高是1厘米时，盒子的容积是多少，高分别是2、3、4厘米时，容积又是多少，然后再按照盒子的长、宽、高去裁剪纸张。
活动结束时，19个参赛组全部完成任务，成功做出了无盖的长方体盒子，只有4个组的作品不符合容积最大的要求。学生在活动中从一步一步尝试，到逐渐明晰思路，再交流意见、统一看法，最后计算并找出容积最大的盒子。如此有挑战性的活动令学生兴奋不已，各地领队教师都高兴地说：这样的活动太有价值了，充分展示了学生的智慧和解决问题的能力。
在刘友华老师主持的数学名师工作室学习研修的三年时间里，我再一次体验了成长的快乐，学会了放下心中的各种顾虑，相信学生、鼓励学生，让他们把学习的主动权掌握在自己的手中。聆听学生在课堂上叽叽喳喳的讨论声，欣赏一张张绽放喜悦的可爱笑脸，是一个数学教师的幸福。在名师工作室的研修历程让我明白了如何开展自己未来的教学工作，如何幸福地享受工作所带来的喜悦。我坚信谦虚、努力、实践是实现自我价值的动力。
（本栏责编 肖 飞）
问题1：在下图中，请用一个分数来表示。
学生给出了丰富多彩的答案：