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【摘要】：数形结合思想在小学数学教学中有广泛的应用，它是小学数学教学的一个重要特点。在遇到较难教学的题目时，它更是解决问题时常用的最简捷的方法。本文结合实例，在教学生活中的较复杂的平均数问题时，因为学生不能很好的解决抽象的平均数问题，教师便用画图的形式，通过“以形助数”，用面积公式求平均数，帮助学生轻松解决了问题，从而进一步阐明数形结合思想的重要性。
【关键词】：数形结合平均数面积
在小学数学中，数离不开形，形也离不开数，数形结合思想意义重大。小学生的逻辑思维能力不强，对于抽象复杂的问题，他们的理解力和分析力较弱，而数形结合可以使抽象的数学问题更形象直观，使繁难的数学问题更简捷明了，学生也就易于分析解决问题了。
就拿我们平时教学内容中的平均数来说吧。大家都知道，把几个不相等的数，在总和不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，得到的数就是平均数。我们在做一般的平均数问题时，只要牢记三个数量关系式就可以了，即：平均数=总数量÷总份数，总数量=平均数×总份数，总份数=总数量÷平均数，但在实际中，遇到较复杂的平均数问题，学生虽然有“移多补少”的思想，但往往不太明白移去的部分补到哪里去了，移补前后哪些数据发生了变化，所以做起题来很茫然。还是以例题来说明吧。：
例1：一次语文测试，全班平均分92.5分，已知女生20人，平均每人94分，
男生平均每人91.3分，求这个班男生有多少人？
我们按常规是这样讲：女生每人比全班平均分高94-92.5=1.5分，而男生每人比全班平均分低92.5-91.3=1.2分，全体女生高出全班平均分1.5×20=30分。应补给每个男生1.2分，30里面包含有几个1.2就有多少个男生，即30÷1.2=25人。
虽然老师的讲解抓住了关键点，移去的部分一定要等于补的部分，但对于小学生理解起来还是相当困难，于是我在教学中想到了画图示意，利用图“形”作为直观工具帮助学生分析、理解问题，即通过画图用面积公式来求平均数问题，学生豁然开朗。
如图1：我用竖线eg来表示男生平均分数91.3分，竖线cg则表示全班平均分数92.5分，线段am表示女生平均分数94分，线段ab表示女生人数20人，线段ef表示男生的人数。（竖线的高矮表示平均数的高低，横线的长短表示份数的多少）求男生人数是多少，就是求线段ef长多少。由平均数的“移多补少”可知，长方形abdh的面积，是女生高出全班平均分的部分，它正好补到男生低于全班平均分的那部分，也就是长方形cefh的面积，由此可知，长方形abdh的面积等于长方形cefh的面积，这样我们就能转换成用长方形的面积公式来求问题了，由图可知男生人数ef，正是长方形cefh的长边。
解题过程如下，先求出女生高出全班平均分的总分数，即
长方形abdh的面积=长×宽
=20×（94-92.5）
=30（分）
因为这里长方形abdh的面积表示女生高出总平均分的总分数，所以30的单位是“分”。
这个面积与长方形cefh的面积相等，
长ef=长方形cefh的面积÷宽ce
=30÷（92.5-91.3）
=25（人）
因为这里线段ef的长表示男生的人数，所以25的单位是“人 ”。
也就是说男生有25人。列综合算式为：
20×（94-92.5） ÷（92.5-91.3）
=30÷1.2
=25（人）
答：这个班男生有25人。
我通过对两批学生用新老方法进行教学，发现这种画图移补面积的方法比老方法更能让学生直观形象地接受并掌握，我们再用例子来说明这种方法的便捷吧。
例 2：甲乙两组学生的平均身高是152厘米，甲组有6人，平均身高140厘米，乙组平均身高160厘米，乙组有几人？
由题意画图，（竖线的高矮表示平均数的高低，横线的长短表示份数的多少）（图2），
阴影部分B的面积=长×宽
=6×（152-140）
=72（厘米）
这个面积是用A补的，所以A的面积也是72，要求乙组的人数就是用这个面积除以ab的长，即72÷（160-152）=9（人）。列综合算式为：
6×（152-140） ÷（160-152）
=72÷8
=9（人）
答：乙组有9人。
例3：一个师傅和四个徒弟一起做零件，四个徒弟分别做87个，82个，90个，93个，师傅做的比他们五人平均做的个数多28个，师傅做了多少个零件？
由题意画图（图3），先求阴影A的面积，28×1=28，阴影A的面积=阴影B的面积，
ab的长=面积÷bc的长（4人）
=28÷4
=7（个）
五人平均个数=四徒弟的平均个数+ab的长
=（87+82+90+93）÷4+7
=88+7
=95（个）
而师傅做的比五人平均个数多28个，即95+28=123（个） 。列综合算式为：
（87+82+90+93）÷4+28÷4+28
=88+7+28
=123（个）
答：师傅做了123个零件。
例4 小红在期末考试中除数学外，其他几科的平均成绩是90分，她的数学考了100分，如果数学算在内平均每科92分，问小红一共考了多少科？
（如图4）先求数学高出总平均数的那部分分数，100-92=8，也就是A的面积，（100-92）×1=8，要把它填补到B去，所以A的面积=B的面积=8。由题意可知，bc的长就是除数学外其它的科数，
bc=B的面积÷ab
=8÷（92-90）
=4（科）
加上数学科一共考的科数，4+1=5（科）。列综合算式为：
（100-92）÷（92-90） +1
=8÷2+1
=5（科）
答：小红一共考了5科。
结合以上例子，我发现通过画图，学生逐渐明白了三个平均数（总平均数、低于总平均数部分的平均数、高于总平均数部分的平均数）之间的关系，及移补前后的情况变化，而且学生对面积公式运用自如，这样学生在列式中，便不再是糊糊涂涂的，做起题来也得心应手，令老师头疼的平均数问题随之迎刃而解。
我用“面积”解“平均数”问题，其实是借助形的几何直观性来阐明几个数之间的关系，这就是数形结合思想中的“以形助数”，它有利于學生抽象思维、形象思维的协调发展，优化解决问题的方法。作为老师，在教学中遇到难讲的题目时，可以找一找数和形之间的对应关系，通过数形的相互转化来解决问题，从而找到一条捷径。数学家华罗庚就说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”数形结合思想中的“以形助数”“以数解形”在小学中的应用很多，我们要不断深入地钻研、探究、创新，丰富小学数学的数形结合思想和内容，让学生学得更轻松愉快。
【关键词】：数形结合平均数面积
在小学数学中，数离不开形，形也离不开数，数形结合思想意义重大。小学生的逻辑思维能力不强，对于抽象复杂的问题，他们的理解力和分析力较弱，而数形结合可以使抽象的数学问题更形象直观，使繁难的数学问题更简捷明了，学生也就易于分析解决问题了。
就拿我们平时教学内容中的平均数来说吧。大家都知道，把几个不相等的数，在总和不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，得到的数就是平均数。我们在做一般的平均数问题时，只要牢记三个数量关系式就可以了，即：平均数=总数量÷总份数，总数量=平均数×总份数，总份数=总数量÷平均数，但在实际中，遇到较复杂的平均数问题，学生虽然有“移多补少”的思想，但往往不太明白移去的部分补到哪里去了，移补前后哪些数据发生了变化，所以做起题来很茫然。还是以例题来说明吧。：
例1：一次语文测试，全班平均分92.5分，已知女生20人，平均每人94分，
男生平均每人91.3分，求这个班男生有多少人？
我们按常规是这样讲：女生每人比全班平均分高94-92.5=1.5分，而男生每人比全班平均分低92.5-91.3=1.2分，全体女生高出全班平均分1.5×20=30分。应补给每个男生1.2分，30里面包含有几个1.2就有多少个男生，即30÷1.2=25人。
虽然老师的讲解抓住了关键点，移去的部分一定要等于补的部分，但对于小学生理解起来还是相当困难，于是我在教学中想到了画图示意，利用图“形”作为直观工具帮助学生分析、理解问题，即通过画图用面积公式来求平均数问题，学生豁然开朗。
如图1：我用竖线eg来表示男生平均分数91.3分，竖线cg则表示全班平均分数92.5分，线段am表示女生平均分数94分，线段ab表示女生人数20人，线段ef表示男生的人数。（竖线的高矮表示平均数的高低，横线的长短表示份数的多少）求男生人数是多少，就是求线段ef长多少。由平均数的“移多补少”可知，长方形abdh的面积，是女生高出全班平均分的部分，它正好补到男生低于全班平均分的那部分，也就是长方形cefh的面积，由此可知，长方形abdh的面积等于长方形cefh的面积，这样我们就能转换成用长方形的面积公式来求问题了，由图可知男生人数ef，正是长方形cefh的长边。
解题过程如下，先求出女生高出全班平均分的总分数，即
长方形abdh的面积=长×宽
=20×（94-92.5）
=30（分）
因为这里长方形abdh的面积表示女生高出总平均分的总分数，所以30的单位是“分”。
这个面积与长方形cefh的面积相等，
长ef=长方形cefh的面积÷宽ce
=30÷（92.5-91.3）
=25（人）
因为这里线段ef的长表示男生的人数，所以25的单位是“人 ”。
也就是说男生有25人。列综合算式为：
20×（94-92.5） ÷（92.5-91.3）
=30÷1.2
=25（人）
答：这个班男生有25人。
我通过对两批学生用新老方法进行教学，发现这种画图移补面积的方法比老方法更能让学生直观形象地接受并掌握，我们再用例子来说明这种方法的便捷吧。
例 2：甲乙两组学生的平均身高是152厘米，甲组有6人，平均身高140厘米，乙组平均身高160厘米，乙组有几人？
由题意画图，（竖线的高矮表示平均数的高低，横线的长短表示份数的多少）（图2），
阴影部分B的面积=长×宽
=6×（152-140）
=72（厘米）
这个面积是用A补的，所以A的面积也是72，要求乙组的人数就是用这个面积除以ab的长，即72÷（160-152）=9（人）。列综合算式为：
6×（152-140） ÷（160-152）
=72÷8
=9（人）
答：乙组有9人。
例3：一个师傅和四个徒弟一起做零件，四个徒弟分别做87个，82个，90个，93个，师傅做的比他们五人平均做的个数多28个，师傅做了多少个零件？
由题意画图（图3），先求阴影A的面积，28×1=28，阴影A的面积=阴影B的面积，
ab的长=面积÷bc的长（4人）
=28÷4
=7（个）
五人平均个数=四徒弟的平均个数+ab的长
=（87+82+90+93）÷4+7
=88+7
=95（个）
而师傅做的比五人平均个数多28个，即95+28=123（个） 。列综合算式为：
（87+82+90+93）÷4+28÷4+28
=88+7+28
=123（个）
答：师傅做了123个零件。
例4 小红在期末考试中除数学外，其他几科的平均成绩是90分，她的数学考了100分，如果数学算在内平均每科92分，问小红一共考了多少科？
（如图4）先求数学高出总平均数的那部分分数，100-92=8，也就是A的面积，（100-92）×1=8，要把它填补到B去，所以A的面积=B的面积=8。由题意可知，bc的长就是除数学外其它的科数，
bc=B的面积÷ab
=8÷（92-90）
=4（科）
加上数学科一共考的科数，4+1=5（科）。列综合算式为：
（100-92）÷（92-90） +1
=8÷2+1
=5（科）
答：小红一共考了5科。
结合以上例子，我发现通过画图，学生逐渐明白了三个平均数（总平均数、低于总平均数部分的平均数、高于总平均数部分的平均数）之间的关系，及移补前后的情况变化，而且学生对面积公式运用自如，这样学生在列式中，便不再是糊糊涂涂的，做起题来也得心应手，令老师头疼的平均数问题随之迎刃而解。
我用“面积”解“平均数”问题，其实是借助形的几何直观性来阐明几个数之间的关系，这就是数形结合思想中的“以形助数”，它有利于學生抽象思维、形象思维的协调发展，优化解决问题的方法。作为老师，在教学中遇到难讲的题目时，可以找一找数和形之间的对应关系，通过数形的相互转化来解决问题，从而找到一条捷径。数学家华罗庚就说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”数形结合思想中的“以形助数”“以数解形”在小学中的应用很多，我们要不断深入地钻研、探究、创新，丰富小学数学的数形结合思想和内容，让学生学得更轻松愉快。