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摘 要：APOS理论强调学生对数学概念的建构要经过“活动”、“过程”、“对象”、“图式”四个阶段。文章基于该理论提出了圆锥曲线概念教学的几点建议：要树立正确的教学观并精心设计学习活动；要体现概念的形成过程并抓住概念的本质；要通过练习、反复和总结来加深概念的理解；要重视信息技术工具的作用。
关键词：APOS理论 圆锥曲线 概念教学
圆锥曲线是高中数学相当重要的内容，而圆锥曲线概念本身不好理解，还包括许多复杂的层次和许多相关的下层概念，所以圆锥曲线就成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。本文以美国教育学家杜宾斯基关于数学概念学习的APOS理论为基础，考察和分析学生对圆锥曲线概念的理解，并就圆锥曲线概念的教学做出了一些探讨。
一、教学中要树立正确的教学观并精心设计学习活动
APOS理论强调在学习数学概念中首先处理的数学问题要具有社会现实背景，并要求学生开展各种各样的数学活动，活动中学生在已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省抽象，对概念所具有的直观背景和形式定义进行必要的综合，从而达到建构数学概念的目的。这就要求教师要重视学生的学习活动，让学生亲身体验、建构数学概念。
案例1：椭圆概念教学的问题情境设计
（1）以“神州七号”飞船飞天为引例，用多媒体演示宇宙飞船绕地球运行的轨道录像（设计意图：通过录像激发学生的爱国情绪，调动起好奇心，激发起学生学习本课的兴趣，使学生对椭圆有一个感性的认识）
（2）请学生举出日常生活中椭圆的实例（设计意图：使同学们发挥想象，充分调动起学习椭圆的兴趣，使学生对椭圆的认识能得到进一步加深，同时在学生的举例中也能澄清椭圆与椭球这两个不同的几何图形，如有同学认为鸡蛋是椭圆形的，实质上它为椭球体）。
（3）实例演示：将西瓜垂直切下得到的截面是圆；改变角度倾斜切下得到的截面是椭圆（设计意图：使椭圆更贴近日常生活，提高学生对椭圆的感性认识，活跃课堂气氛）。
在学习双曲线、抛物线概念之前，也可设计一些与之相关的生活情境，通过这种活动（或操作），使学生初步理解圆锥曲线概念的意义，并充分调动学生学习的兴趣。
但概念教学也不能仅仅停留于活动（操作）层面，对活动阶段花大力气、多时间，而对其他阶段草草收场，这也是不符合理论的，甚至是舍本逐末的。
二、教学中要体现概念的形成过程，并抓住概念的本质
从学习心理学角度分析，APOS理论的四个学习层次分析反映了学生学习数学概念过程中真实的思维过程，而过程阶段在概念建立中的价值十分有意义。杜宾斯基等人认为，学生建立概念不能跨越“过程”这一阶段。对“过程”，我们可以有三种理解：将数学概念从现实生活中抽象出来本身需要一段过程；将思考的结果，再以“过程”的形式呈现，这就有利于学生分析问题、解决问题；APOS理论最大的创新在于，将数学概念视为从一个实例到另一个实例的某种过程。这样的过程可以使学生对数学概念也有一个新的认识，从而改变对整个数学的看法。教师在过程阶段诱导学生对过程的理解也有益于学生成长过程中价值观的形成。
案例2：椭圆概念形成过程（经历活动——过程——对象阶段）的教学设计
（1）教师演示画椭圆（请两位学生协助按住绳子两端），边画边强调画椭圆的步骤，并请同学们注意在画椭圆过程中笔尖一定要绷紧绳子（意图：教师演示可向学生说明椭圆的具体画法，同时也向学生展示了较标准的椭圆形）。
（2）全班同学以同桌为小组，合作亲自动手去尝试、去感受画椭圆。
（3）展示学生画的椭圆，并请学生用自己画的椭圆说明：椭圆上的点到两定点的距离跟绳长有什么关系？（意图：通过实验可以使学生对“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”有深刻的理解。一旦学生在此过程中认识到椭圆上的点到两定点的距离之和等于绳长，他就已经完成了过程模式的建构。）
（4）用多媒体验证学生归纳的结论：打开《几何画板》，请学生观察M点在运动过程中|MF1|、|MF2|、|MF1+MF2|这些数值如何变化。
设问1：通过上述的实际操作和动画演示，请问椭圆是满足什么条件的点的轨迹？（让学生归纳。）
（5）归纳出椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2距离之和等于常数l（l＞|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1、F2叫焦点，两焦点的距离叫焦距。
设问2：为什么要|MF1|+|MF2|＞|F1F2|？反之，若|MF1|+|MF2|=|F1F2|、|MF1|+|MF2|＜|F1F2|会怎样？（强调常数l＞|F1F2|，并请同学课后思考当常数l≤|F1F2l时这些点的轨迹是什么？）
（意图：通过上述的学生实验操作后，先请学生大胆探究、想象，再由教师动画演示，揭示出椭圆形成的本质，突出动点与两定点的距离之和必须满足大于两定点的距离，加深对椭圆定义条件的理解，从而使学生对椭圆概念的理解从过程上升为对象。）
参考文献
[1]唐艳 基于APOS理论的数学概念教学设计[J].上海中学数学，2005.12。
[2]濮安山 从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J].数学教育学报，2007.2。
关键词：APOS理论 圆锥曲线 概念教学
圆锥曲线是高中数学相当重要的内容，而圆锥曲线概念本身不好理解，还包括许多复杂的层次和许多相关的下层概念，所以圆锥曲线就成了中学数学中最难教、最难学的概念之一。本文以美国教育学家杜宾斯基关于数学概念学习的APOS理论为基础，考察和分析学生对圆锥曲线概念的理解，并就圆锥曲线概念的教学做出了一些探讨。
一、教学中要树立正确的教学观并精心设计学习活动
APOS理论强调在学习数学概念中首先处理的数学问题要具有社会现实背景，并要求学生开展各种各样的数学活动，活动中学生在已有的知识和经验基础上通过思维运算和反省抽象，对概念所具有的直观背景和形式定义进行必要的综合，从而达到建构数学概念的目的。这就要求教师要重视学生的学习活动，让学生亲身体验、建构数学概念。
案例1：椭圆概念教学的问题情境设计
（1）以“神州七号”飞船飞天为引例，用多媒体演示宇宙飞船绕地球运行的轨道录像（设计意图：通过录像激发学生的爱国情绪，调动起好奇心，激发起学生学习本课的兴趣，使学生对椭圆有一个感性的认识）
（2）请学生举出日常生活中椭圆的实例（设计意图：使同学们发挥想象，充分调动起学习椭圆的兴趣，使学生对椭圆的认识能得到进一步加深，同时在学生的举例中也能澄清椭圆与椭球这两个不同的几何图形，如有同学认为鸡蛋是椭圆形的，实质上它为椭球体）。
（3）实例演示：将西瓜垂直切下得到的截面是圆；改变角度倾斜切下得到的截面是椭圆（设计意图：使椭圆更贴近日常生活，提高学生对椭圆的感性认识，活跃课堂气氛）。
在学习双曲线、抛物线概念之前，也可设计一些与之相关的生活情境，通过这种活动（或操作），使学生初步理解圆锥曲线概念的意义，并充分调动学生学习的兴趣。
但概念教学也不能仅仅停留于活动（操作）层面，对活动阶段花大力气、多时间，而对其他阶段草草收场，这也是不符合理论的，甚至是舍本逐末的。
二、教学中要体现概念的形成过程，并抓住概念的本质
从学习心理学角度分析，APOS理论的四个学习层次分析反映了学生学习数学概念过程中真实的思维过程，而过程阶段在概念建立中的价值十分有意义。杜宾斯基等人认为，学生建立概念不能跨越“过程”这一阶段。对“过程”，我们可以有三种理解：将数学概念从现实生活中抽象出来本身需要一段过程；将思考的结果，再以“过程”的形式呈现，这就有利于学生分析问题、解决问题；APOS理论最大的创新在于，将数学概念视为从一个实例到另一个实例的某种过程。这样的过程可以使学生对数学概念也有一个新的认识，从而改变对整个数学的看法。教师在过程阶段诱导学生对过程的理解也有益于学生成长过程中价值观的形成。
案例2：椭圆概念形成过程（经历活动——过程——对象阶段）的教学设计
（1）教师演示画椭圆（请两位学生协助按住绳子两端），边画边强调画椭圆的步骤，并请同学们注意在画椭圆过程中笔尖一定要绷紧绳子（意图：教师演示可向学生说明椭圆的具体画法，同时也向学生展示了较标准的椭圆形）。
（2）全班同学以同桌为小组，合作亲自动手去尝试、去感受画椭圆。
（3）展示学生画的椭圆，并请学生用自己画的椭圆说明：椭圆上的点到两定点的距离跟绳长有什么关系？（意图：通过实验可以使学生对“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”有深刻的理解。一旦学生在此过程中认识到椭圆上的点到两定点的距离之和等于绳长，他就已经完成了过程模式的建构。）
（4）用多媒体验证学生归纳的结论：打开《几何画板》，请学生观察M点在运动过程中|MF1|、|MF2|、|MF1+MF2|这些数值如何变化。
设问1：通过上述的实际操作和动画演示，请问椭圆是满足什么条件的点的轨迹？（让学生归纳。）
（5）归纳出椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2距离之和等于常数l（l＞|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1、F2叫焦点，两焦点的距离叫焦距。
设问2：为什么要|MF1|+|MF2|＞|F1F2|？反之，若|MF1|+|MF2|=|F1F2|、|MF1|+|MF2|＜|F1F2|会怎样？（强调常数l＞|F1F2|，并请同学课后思考当常数l≤|F1F2l时这些点的轨迹是什么？）
（意图：通过上述的学生实验操作后，先请学生大胆探究、想象，再由教师动画演示，揭示出椭圆形成的本质，突出动点与两定点的距离之和必须满足大于两定点的距离，加深对椭圆定义条件的理解，从而使学生对椭圆概念的理解从过程上升为对象。）
参考文献
[1]唐艳 基于APOS理论的数学概念教学设计[J].上海中学数学，2005.12。
[2]濮安山 从APOS理论看高中生对函数概念的理解[J].数学教育学报，2007.2。