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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）27-0118-02
在上一次的月考中，有这样一道填空题，大部分学生面对此类型束手无策，月考后我引导学生对此类型题进行小组探究，全面、深入研究，总结解题方法与规律，多角度地分析、解决问题，学生的能力不断被挖掘、激发出来。
例题：过点G（1，3）作两条与圆C：x +y =9 相切的直线，切点分别为M，N.求直线MN的方程。
分析：此类问题属于圆的切点弦问题，教学中，我将学生分成6个小组，学生在我的引导下进行探究，同时引导学生进行总结。
引导一、探究求点M，N的坐标的方法
小组1、2分别讨论：要求出点M，N的坐标，可先求出点M，N的横坐标;根据点M，N的形成过程，可先求出直线GM，GN的方程，再联立方程组求解;如何求直线GM，GN的方程？已知经过点G（1，3），只要求出直线GM，GN的斜率即可;直线的GM，GN的斜率一定存在？不一定，需对它进行討论。现在的关键问题是求直线GM，GN的斜率。
理清思路：求直线GM，GN的斜率（讨论是否存在）？圯直线GM，GN的方程？圯联立方程组，求出点M，N的横坐标？圯求出点M，N的坐标？圯由两点式求出直线MN的方程
小组1、2合作讨论：求直线GM，GN的斜率有哪些方法？
解法一：利用圆心到切线的距离等于半径求直线GM，GN的斜率
当切线的斜率存在时，假设为 k，（当斜率不存在时，切线方程为x=1），则过点G（1，3）的切线方程为：y-1=k（x-3）
即kx-y+3-k=0
由圆心C（0，0）到切线kx-y+3-k=0的距离等于圆的半径3，得
（1）
由（1）式得k=0或k=-
所以切线GM、GN的方程分别为：y=3和3x+4y-15=0 。
从而可得切点 M（0，3）、N（ ， ），再根据两点式方程得直线AB的方程为：x+3y-9=0。
解法二：利用判别式法求直线GM，GN的斜率
当切线的斜率存在时，假设为 k，（当斜率不存在时，切线方程为x=1）。则过点G（1，3）的切线方程为：y-1=k（x-3）
即kx-y+3-k=0
由kx-y+3-k=0x +y =9，消去y并整理得
（1+k ）x +（6k-2k ）x+（k -6k）=0 （2）
令 △=（6k-2k ） -4（1+k ）（k -6k）=0 （3）
由（3）式得k=0或k=-
将k=0或k=- 分别代入（1）式解得x=0，x=
从而可得切点 M（0，3）、N（ ， ），
再根据两点式方程得直线MN的方程为：x+3y-9=0。
注：此题解出两个k的值，说明当斜率不存在时的情况不成立。
引导二、能否直接求出直线MN的斜率？
小组3、4分别讨论：在不知点M，N坐标的情况下要求出直线的斜率，可以考虑此直线与其它直线的位置关系来解决。
解法三：利用垂直关系求直线MN的斜率
因为点G（1，3），C（0，0），所以直线GC的斜率kGC=3，又因为GC⊥MN，所以直线MN的斜率kMN=- 。同理求出M，N其中一点的坐标，再利用点斜式方程即可求得。
引导三、探究不求点M，N的坐标的方法
小组3、4分别讨论：不求切点M，N的坐标而要求出直线MN的方程，MN作为圆C的一条弦，根据弦的形成原理，可以利用两个圆相交形成;现已知圆C的方程，如何造构另一个圆的方程？另一圆必与圆C交于M，N两点，即此圆经过点M，N。
理清思路：造构另一个圆的方程：经过M，N两点？圯与圆C的方程联立，两圆相减？圯直线MN的方程
小组3、4合作讨论：如何求经过两点M，N的另一圆的方程？
解法四：将切点弦转化为两相交圆的公共弦探究一
由于|GM|=|GN|，所以直线MN就是经过以G（1，3）为圆心，|GM|为半径的圆P与圆C：x +y =9 的交点的直线，在直角三角形GMC中，|GM|= =1
所以圆P的方程为（x-1） +（y-3） =1，化为一般方程为：
x +y -2x-6y+9=0 （4）
又因为圆C： x +y =9 （5）
（5）-（4）得两圆的公共弦所在的直线方程为x+3y-9=0
即 所求直线MN的方程为：x+3y-9=0。
引导四、可否以GC为直径作圆？
小组3、4讨论：若以GC为直径作圆，取线段GC的中点P，则圆P首先必过点C，为何圆P也必过点M，N？连接线段MC，NC，GC即可发现秘密。
解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦探究二
因为GM⊥CM，GN⊥CN，所以G、M、C、N四点共圆，线段GC的中点为P，因为 G（1，3），C（0，0），所以P（ ， ），半径|PC|=
因此，圆P的方程为：（x- ） +（y- ） = ，
即圆P： x +y -x-3y=0 （6）
又因为圆C： x +y =9 （7）
（7）-（6）得两圆的公共弦所在的直线方程为x+3y-9=0
即 所求直线MN的方程为：x+3y-9=0。
引导五、若给出以下推论1，能否利用结论求出切点弦方程？ 推论1：过圆x +y +Dx+Ey+F=0 （D +E -4F>0）外一点P（x ，y ）作圆的两条切线PA、PB，则切点弦AB所在直线的方程为：（x -a）（x-a）+（y -b）（y-b）=r （在圆的标准方程下的形式）;xx +yy +D +E +F=0（在圆的一般方程下的形式）。
小组5、6分别讨论：利用推论，对原推论进行变换，注意点及坐标的转化。
解法六：利用推论1
因为G（1，3）是圆x +y -9=0外一点，过G作圆的两点切线GM、GN，根据切点弦所在直线的方程xx +yy +D +E +F=0得1·x+3·y-0· -0· -9=0
整理得，直线MN的方程为：x+3y-9=0。
引导六、若给出以下推论2，能否利用结论求出切点弦方程？
推论2：在标准方程（x-a） +（y-b） =r 下过圆上一点P（x ，y ）的切线方程为：（x -a）（x-a）+（y -b）（y-b）=r ;
在一般方程x +y +Dx+Ey+F=0（D +E -4F>0） 下过圆上一点P（x ，y ）的切线方程为：
xx +yy +D +E +F=0
小组5、6分别讨论：利用推论，对原推论进行变换，注意点及坐标的转化。
解法七：利用推论2
设切点M、N的坐标分别为（x ，y ）、（x ，y ），根据过圆上一点的切线方程，得切线GM、GN的方程分别为xx +yy -9=0和xx +yy -9=0 。
因为G（1，3）是以上两条切线的交点，将点G的坐标代入并整理，得
x +3y -9=0x +3y -9=0（8）
由式（8）知，直线x+3y-9=0经过两点M（x ，y ）、N（x ，y ），所以，直线MN的方程为：x+3y-9=0。（注：在此用了设而不求的思想）
在每一种方法之后我引导6个小组的学生进行总结，并进行适点的点评。同时，我引导学生课后对推论1、推论2进行证，引导学生利用圆的参数方程（或三角函数）的思想去解决此类问题，通过小组合作探究，学生对圆的切点弦问题的理解深刻。一题多解的探究下，我又引导学生进行多题一解：即探究解决同種类型的规律及方法;引导学生对圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的切点弦问题进行探究，这是一种合作学习的过程，是提高能力的过程，虽然在探究过程很艰辛，甚至有时候没有结论，但大家都很期待共同努力之后的“弦”外之音。
在上一次的月考中，有这样一道填空题，大部分学生面对此类型束手无策，月考后我引导学生对此类型题进行小组探究，全面、深入研究，总结解题方法与规律，多角度地分析、解决问题，学生的能力不断被挖掘、激发出来。
例题：过点G（1，3）作两条与圆C：x +y =9 相切的直线，切点分别为M，N.求直线MN的方程。
分析：此类问题属于圆的切点弦问题，教学中，我将学生分成6个小组，学生在我的引导下进行探究，同时引导学生进行总结。
引导一、探究求点M，N的坐标的方法
小组1、2分别讨论：要求出点M，N的坐标，可先求出点M，N的横坐标;根据点M，N的形成过程，可先求出直线GM，GN的方程，再联立方程组求解;如何求直线GM，GN的方程？已知经过点G（1，3），只要求出直线GM，GN的斜率即可;直线的GM，GN的斜率一定存在？不一定，需对它进行討论。现在的关键问题是求直线GM，GN的斜率。
理清思路：求直线GM，GN的斜率（讨论是否存在）？圯直线GM，GN的方程？圯联立方程组，求出点M，N的横坐标？圯求出点M，N的坐标？圯由两点式求出直线MN的方程
小组1、2合作讨论：求直线GM，GN的斜率有哪些方法？
解法一：利用圆心到切线的距离等于半径求直线GM，GN的斜率
当切线的斜率存在时，假设为 k，（当斜率不存在时，切线方程为x=1），则过点G（1，3）的切线方程为：y-1=k（x-3）
即kx-y+3-k=0
由圆心C（0，0）到切线kx-y+3-k=0的距离等于圆的半径3，得
（1）
由（1）式得k=0或k=-
所以切线GM、GN的方程分别为：y=3和3x+4y-15=0 。
从而可得切点 M（0，3）、N（ ， ），再根据两点式方程得直线AB的方程为：x+3y-9=0。
解法二：利用判别式法求直线GM，GN的斜率
当切线的斜率存在时，假设为 k，（当斜率不存在时，切线方程为x=1）。则过点G（1，3）的切线方程为：y-1=k（x-3）
即kx-y+3-k=0
由kx-y+3-k=0x +y =9，消去y并整理得
（1+k ）x +（6k-2k ）x+（k -6k）=0 （2）
令 △=（6k-2k ） -4（1+k ）（k -6k）=0 （3）
由（3）式得k=0或k=-
将k=0或k=- 分别代入（1）式解得x=0，x=
从而可得切点 M（0，3）、N（ ， ），
再根据两点式方程得直线MN的方程为：x+3y-9=0。
注：此题解出两个k的值，说明当斜率不存在时的情况不成立。
引导二、能否直接求出直线MN的斜率？
小组3、4分别讨论：在不知点M，N坐标的情况下要求出直线的斜率，可以考虑此直线与其它直线的位置关系来解决。
解法三：利用垂直关系求直线MN的斜率
因为点G（1，3），C（0，0），所以直线GC的斜率kGC=3，又因为GC⊥MN，所以直线MN的斜率kMN=- 。同理求出M，N其中一点的坐标，再利用点斜式方程即可求得。
引导三、探究不求点M，N的坐标的方法
小组3、4分别讨论：不求切点M，N的坐标而要求出直线MN的方程，MN作为圆C的一条弦，根据弦的形成原理，可以利用两个圆相交形成;现已知圆C的方程，如何造构另一个圆的方程？另一圆必与圆C交于M，N两点，即此圆经过点M，N。
理清思路：造构另一个圆的方程：经过M，N两点？圯与圆C的方程联立，两圆相减？圯直线MN的方程
小组3、4合作讨论：如何求经过两点M，N的另一圆的方程？
解法四：将切点弦转化为两相交圆的公共弦探究一
由于|GM|=|GN|，所以直线MN就是经过以G（1，3）为圆心，|GM|为半径的圆P与圆C：x +y =9 的交点的直线，在直角三角形GMC中，|GM|= =1
所以圆P的方程为（x-1） +（y-3） =1，化为一般方程为：
x +y -2x-6y+9=0 （4）
又因为圆C： x +y =9 （5）
（5）-（4）得两圆的公共弦所在的直线方程为x+3y-9=0
即 所求直线MN的方程为：x+3y-9=0。
引导四、可否以GC为直径作圆？
小组3、4讨论：若以GC为直径作圆，取线段GC的中点P，则圆P首先必过点C，为何圆P也必过点M，N？连接线段MC，NC，GC即可发现秘密。
解法五：将切点弦转化为两相交圆的公共弦探究二
因为GM⊥CM，GN⊥CN，所以G、M、C、N四点共圆，线段GC的中点为P，因为 G（1，3），C（0，0），所以P（ ， ），半径|PC|=
因此，圆P的方程为：（x- ） +（y- ） = ，
即圆P： x +y -x-3y=0 （6）
又因为圆C： x +y =9 （7）
（7）-（6）得两圆的公共弦所在的直线方程为x+3y-9=0
即 所求直线MN的方程为：x+3y-9=0。
引导五、若给出以下推论1，能否利用结论求出切点弦方程？ 推论1：过圆x +y +Dx+Ey+F=0 （D +E -4F>0）外一点P（x ，y ）作圆的两条切线PA、PB，则切点弦AB所在直线的方程为：（x -a）（x-a）+（y -b）（y-b）=r （在圆的标准方程下的形式）;xx +yy +D +E +F=0（在圆的一般方程下的形式）。
小组5、6分别讨论：利用推论，对原推论进行变换，注意点及坐标的转化。
解法六：利用推论1
因为G（1，3）是圆x +y -9=0外一点，过G作圆的两点切线GM、GN，根据切点弦所在直线的方程xx +yy +D +E +F=0得1·x+3·y-0· -0· -9=0
整理得，直线MN的方程为：x+3y-9=0。
引导六、若给出以下推论2，能否利用结论求出切点弦方程？
推论2：在标准方程（x-a） +（y-b） =r 下过圆上一点P（x ，y ）的切线方程为：（x -a）（x-a）+（y -b）（y-b）=r ;
在一般方程x +y +Dx+Ey+F=0（D +E -4F>0） 下过圆上一点P（x ，y ）的切线方程为：
xx +yy +D +E +F=0
小组5、6分别讨论：利用推论，对原推论进行变换，注意点及坐标的转化。
解法七：利用推论2
设切点M、N的坐标分别为（x ，y ）、（x ，y ），根据过圆上一点的切线方程，得切线GM、GN的方程分别为xx +yy -9=0和xx +yy -9=0 。
因为G（1，3）是以上两条切线的交点，将点G的坐标代入并整理，得
x +3y -9=0x +3y -9=0（8）
由式（8）知，直线x+3y-9=0经过两点M（x ，y ）、N（x ，y ），所以，直线MN的方程为：x+3y-9=0。（注：在此用了设而不求的思想）
在每一种方法之后我引导6个小组的学生进行总结，并进行适点的点评。同时，我引导学生课后对推论1、推论2进行证，引导学生利用圆的参数方程（或三角函数）的思想去解决此类问题，通过小组合作探究，学生对圆的切点弦问题的理解深刻。一题多解的探究下，我又引导学生进行多题一解：即探究解决同種类型的规律及方法;引导学生对圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的切点弦问题进行探究，这是一种合作学习的过程，是提高能力的过程，虽然在探究过程很艰辛，甚至有时候没有结论，但大家都很期待共同努力之后的“弦”外之音。