【摘要】直线与椭圆相交是高考常考题型，求解中需通过转化的思想，将直线与曲线联立方程，用二次方程来进行求解。
　　 【关键词】直线方程；圆锥曲线；椭圆
　　 直线与圆锥曲线问题是高考的热点，也是高考的难点，题目灵活多变，但解题思路却大同小异。在解题中，需要把直线方程与圆锥曲线所联立的方程组转化成一元二次方程，然后进行求解。下面以2011年陕西高考理科17题为例，对圆锥曲线问题进行探究和拓展。
　　 原题 （理科第17题）如图1：设P是圆x2+y2=25上的动点，点 D是P 在 x轴上的投影， M为PD 上一点，且 ｜MD｜=45 ｜PD｜。
　　
　　
　　图1
　　 （Ⅰ） 当 P在圆上运动时，求点 M的轨迹 C的方程；
　　 （Ⅱ） 求过点 (3,0)且斜率为 45 的直线被 C所截线段的长度。
　　 【分析】本题是一道圆锥曲线与直线的综合问题，是圆锥曲线的常见题型，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想。解题时通过过已知条件求曲线的轨迹方程，然后再根据求出的曲线与已知直线相交，解答题目所问的问题。
　　 【解法】 （Ⅰ） 设点 M的坐标为 (x,y)， P的坐标为 (xP,yP)
　　 由已知条件 ｜MD｜=45 ｜PD｜得： xP=x
　　yP=54 y
　　 ∵ 点 P在圆上
　　 ∴ x2+54 y 2=25 即： C的方程为：x225 +y216=1
　　 （Ⅱ） 过点 (3,0)且斜率为 45 的直线方程为： y=45 (x-3)
　　 设直线与 C的交点为 A(x1,y1)，B(x2,y2)
　　 将直线方程y=45 (x-3) 代入 C的方程得：
　　 x225 +(x-3)216=1 即： x2-3x-8=0
　　 ∴ x1=3-412 x2=3+412
　　 ∴ 线段 AB的长度为：
　　 ｜AB｜=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+1625)(x1-x2)2=4125×41=415
　　 【另解】：第（Ⅰ）問如上；
　　 （Ⅱ） 设直线与曲线 C的交点为： A(x1,y1),B(x2,y2)
　　 过点 (3,0)且直线斜率为 45 的直线方程为：y=45 (x-3)
　　 将直线与曲线联立方程： y=45 (x-3)
　　x225 +y216=1
　　 得 ： x2-3x-8=0
　　 ∴ x1+x2=3 x1·x2=-8
　　 由弦长公式得： ｜AB｜=(1+k2)+［(x1+x2)2-4x1x2］=(1+1625)(9+32)=415
　　 拓展 如图2：设P是圆 x2+y2=25上的动点，点 D是 P在x 轴上的投影， M为PD 上一点，且 ｜MD｜=45 ｜PD｜。
　　 （Ⅰ） 当 P在圆上运动时，求点M 的轨迹 C的方程；
　　
　　
　　图2
　　 （Ⅱ）是否存在过点 (3,0)的直线 ｌ与曲线 C交与不同的两点 A，B,使弦 ｜AB｜的长为 415，若存在求出这条直线；若不存在，请说明理由。
　　 【分析】含参数问题的讨论是高考的热点，也是难点，考查学生对知识掌握的全面程度，是思维量和运算量都比较大的题。
　　 【解法】：第（Ⅰ）问如上；
　　 （Ⅱ）设直线 的斜率为 ｋ，
　　 （1） ｋ不存在时，直线为： x=3
　　 直线x=3 与曲线 C的交点为： A(3,165)， B(3,-165)
　　 ∴ ｜AB｜=｜165-(-165)｜=325与已知弦长不符
　　 ∴ ｋ不存在不满足条件；
　　 （2） ｋ存在时，设直线方程为： y=ｋ(x-3)
　　 设直线与曲线C 的交点为： A(x1,y1)， B(x2,y2)
　　 将直线与曲线联立方程： y=ｋ(x-3)
　　x225 +y216=1
　　 得 ： (16+25k2)x2-150k2x+225k2-400=0
　　 ∴ x1+x2=150k216+25k2 x1 ·x2=225k2-40016+25k2
　　 由弦长公式得： ｜AB｜=(1+k2)+［(x1+x2)2-4x1x2］
　　 =(1+k2)+［(150k216+25k2)2-4225k2-40016+25k2］
　　 =160(1+k2)16+25k2=415
　　 整理得：k2=114225 ∴ k= ±45
　　 ∴ 存在直线 ｌ，其方程为： y=±45(x-3)
　　
　　 参考文献
　　［1］ 普通高中课程标准实验教科书，数学（选修2-1）
　　［2］ 高中数学教与学，2011年第2期