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摘 要：数学教学要使学生学会思考，特别是学会有逻辑地思考、有创造性地思考。“乘法分配律练习课”是一节立足数学思考的“素养教育”课，在教学目标、数学情景、学习过程、反思回顾中时时指向于“思考”，处处体现出“思考”。
关键词：数学思考；乘法分配律；练习课
数学的独特育人功能主要在于培养学生的思维，特别是逻辑思维。数学教学要使学生学会思考，特别是学会有逻辑地思考、有创造性地思考，使学生成为善于认识问题、解决问题的人。“乘法分配律练习课”是一节立足数学思考的“素养教育”，在教学目标、数学情景、学习过程、反思回顾中时时指向于“思考”，处处体现出“思考”。
一、教学目标中体现出数学思考的价值取向
乘法分配律一直以来都是小学数学规则教学中的一个难点。在应用上，不仅有基本应用，还有各种变式应用，学生往往由于对乘法分配律这一模型的理解不到位而导致机械应用模型，甚至错用模型。为了更好地把握学情，分析制定本节练习课的教学目标，教师测试了学生四道题，结果是：“26×57+43×26”正确率100%，“15×（40-8）”正确率87.2%，“99×101”正确率77.6%， “4×8×（25+125）”正确率10.3%。有如下典型错例：【错例1】理解不到位， 造成丢三落四“15×（40-8）= 15×40-8”；【错例2】凑整思维的僵化，造成生搬硬套“99×101 =（99+1）×（101-
1）”“4×8×（25+125）=25×4+ 125×8”。【错例3】只关注结构形式，不理解本质含义，找不到相同的因数“4×8×（25+125）=4×（25+125）+ 8×（25+125）”。从测试情况来看，学生能运用乘法分配律“两数之和与一个数相乘”“两数之差与一个数相乘”的结构形式，但不代表在真正意义上理解了。学生以上几种错误的根本原因在于不理解算式的意义。那么，乘法分配律练习课，究竟练什么？为什么练？为谁练？如果把目标定位于掌握乘法分配律运用的基本技能，关注练习题量的多少，而非思维训练的多少，教师设计一道又一道题目进行巩固练习，就会演变成一种最基本的、機械的按照程序进行的“低水平的技能训练”。在信息时代的今天，决定学生数学素养的，不再是题的数量而是质量，衡量一个学生获得知识的多少也不再是题目的多少而是思维能力的发展。学生“知道”并不是最重要的，最重要的应该是教会学生如何思考。基于此，本节练习课目标定位于一是让学生借助直观材料“立”起乘法分配律的结构，再“破”除乘法分配律的结构，引导学生从乘法意义的角度理解乘法分配律的内涵。二是运用乘法分配律进行正确、合理的计算，培养简算意识。练习课中，学生通过分析、比较、反思，积累数学活动经验，发展数学思考力，感受数学思考的快乐，让学生在辨析、交流的活动中不断地建立起真正“意义层面”上的理解。如此，数学活动经验的核心才是如何思考的经验，最终帮助学生建立起自己的数学模型和数学学习的直觉，学会运用数学的思维方式进行思考。
二、数学情景中蕴含数学思考
创设蕴含数学思考的数学情景，能更好地帮助学生理解、掌握知识。乘法分配律由于它的形式复杂多变，给学生的理解造成很大的困扰，如从“a×c + b×c=（a+ b）×c”过渡到“（a+ b）×
c=a×c+b×c”很多学生都迈不过这道坎，学生更多的是停留在从一种形式到另一种形式的机械认识，而缺乏对乘法分配律这一数学模型逆向运用的一种直观感知和深度理解。特别是从“（a+ b）×c=a×c+b×c”到“（a-b）×c = a×c-b×c”，很多老师采用的是让学生进行类比推理得出结论，虽然能让一少部分学生勉强接受，但大部分的学生还是停留在表面化、形式化的认识上。为了帮助学生积累和丰富对乘法分配律模型的理解，教师可在教学中创设数学情景，借助几何直观有效地帮助学生理解模型、拓展模型。如设计对比练习，让学生直观理解乘法分配律的内涵。首先创设“怎样修改式子才能使25×（100-4）与25×100相等？请说明理由”这一问题情景，促使学生借助乘法的意义解释式子的含义。“25×（100-4）”表示96个25，“25×100”表示100个25还要减去4个25，两个式子才能相等。进一步让学生结合图形（如图1）解释“25×100- 25×4=25×（100-4）”为什么相等？学生必须展开空间想象，从一个“长是100m，宽是25m”的长方形中去掉一个“长是25m，宽是4m”的长方形，得到一个“长是96m，宽是25m”的长方形，而“25×（100-4）”也表示“长是96m，宽是25m”的长方形，这时两者的面积才相等。最后分析思考“选择下列哪个图形（如图2）的面积可以直接用乘法分配律解决”。学生在具体的数学情景中借助几何图直观顺利地实现乘法分配律模型各种表现形式的过渡及拓展，并在活动中建立起真正“意义层面”上的理解。
二、学习过程中激活数学思考
数学练习课中，我们常常看到教师时形式多样的题目进行包装，用来激发学生的练习兴趣，这种方式固然能增添数学练习题对学生的“亲和力”，但数学练习课，比“练”更重要的是“思”。因此，教师需要设计出具有一定思考力的问题激活学生，需要为学生提供学习材料激发学生的思考，需要给予学生较多的思考、展示、交流的空间，促使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”。
“乘法分配律练习课”前测题的典型错例分析活动，教师提出小组活动要求：小组讨论分析同学的做法，认为对的打“√”，并说明理由；认为错的，要圈出错误的地方，并说明错误的原因。学生结合递等式计算“每一步都相等”这一特点，在分析中紧扣“这一步有没有改变题目的计算结果”这一关键问题，思考每一步变化的依据是什么，有没有“道理”。学生在这一活动中表现得非同寻常，究其原因，是由于学生在课堂上展开了充分的思考。
片段一：
分析（1）15×（40-8） =15×40+15×8
=600+120
=720
生1：这题是错的。“15×（40-8）”是32个15，“15×40+15×8”是48个15，跟原式不相等。
生2：他也是在应用乘法分配律， 但符号搬错了，写成了加号，结构都符合乘法分配律，但加号应该改为减号。
片段二：
分析（2）99×101
=（99+1）×（101-1）
=100×100
=1000
生1：这题是错的。这步“（99+1）×
（101-1）”改变了因数，把99改成了 100，101改成了100，得数肯定是错的。
师：他说改变了原来的因数。
生2：有意见。这道题，我认为他的解释方法不对，题目是“99×101”。而这步“（99+1）×（101-1）”的“99+1”就变成了“100×101”。这边“101-1”就变成了100，100乘100肯定是不等于99乘101的。
师：你的意思是“（99+1）×（101-1）”这步跟上一步“99×101”不等值，是吗？
生3：题目是99个101，“（99+1）×
（101-1）”这步是100个100。
片段三：
分析 （3）537×9
=500×9+37×9
=4500+333
=4833
分析 （4）537×9
=537×（10-1）
=537×10-537×1
=5370-537
=4833
分析（5）537×9
=500×9+30×9+7×9
=4500+270+63
=4770+63
=4833
生1：第一種（指分析（3）的做法）把537分成500和37分别乘以9，再相加。第二种（分析（4））他是用10减1等于9，用537乘以10减537比较麻烦。
师：你认为他麻烦在哪里？
生1：如果是537减537还好，但是5370减537，算的时候比较麻烦。
师：你的意思是算退位减法比较麻烦是吗？
生2：有意见。“537×（10-1）”这步可以减少。
生3：这样不行的，因为必须知道10是怎么来的，1是怎么来的，减号又是怎么来的。
生1继续分析：第三种（分析（5））做法是把537分成500和30和7分别去乘以9再相加，比较麻烦，要算三个积，还要算三个数的和。
师：对比三种算法，你更喜欢哪一种，说说你的理由。
生1：我喜欢第一种（分析（3））500是整数，乘以9比较简便，再加333好计算。
生2：比较喜欢第二种（分析（4））把9分成10和1，用减法比先用乘法再相加更容易一些。
生1反驳：减法要退位。
生2：37乘以9，如果口算不出来的话，有可能再用一次竖式。
生3：喜欢第三种（分析（5））都是整十数和9相乘，很快能算出来。
师：大家都有自己喜欢的方法，有自己认为最简便的方法，老师也有一种方法，你们能看懂吗？
教师出示把537分成507和30分别与9相乘让学生分析说理。
“精彩”源于学生的数学思考。学生在汇报交流中，能知晓他人的想法并做分析，这本身就在思考。在学生交流过程中，教师又适时提出一些要求，让学生及时作出调整，并帮助学生理解所学的知识，让学生把知识建立起联系。因为思考，练习课不再是“冷冰冰”的，学生在思考中交流，通过交流又进一步促进思考。学生有了学习数学的意识和能力，数学的素养形成也就水到渠成了。
三、反思回顾中积淀数学思考
学生经历了演绎论证的思维过程，既明白新旧知识之间的联系，又使数学思维进一步得到提升。乘法分配律练习课的指向，不仅仅是知识的巩固、能力的提高，更集中指向学生的发展。练习课中，老师让学生回归学习的主体地位，以练习的方式激励学生学习、思考。学生在课堂中，敢于数学思考、乐于数学思考、善于数学思考，可以说，学生核心素养的养分中就植入了数学智慧的内核。
参考文献：
[1]公丕军，张 晶.浅谈对小学生数学核心素养培养的思考[J].中国校外教育，2017（1）.
[2]代保明.三问学生发展核心素养[J].教育科学论坛，2017（4）.
关键词：数学思考；乘法分配律；练习课
数学的独特育人功能主要在于培养学生的思维，特别是逻辑思维。数学教学要使学生学会思考，特别是学会有逻辑地思考、有创造性地思考，使学生成为善于认识问题、解决问题的人。“乘法分配律练习课”是一节立足数学思考的“素养教育”，在教学目标、数学情景、学习过程、反思回顾中时时指向于“思考”，处处体现出“思考”。
一、教学目标中体现出数学思考的价值取向
乘法分配律一直以来都是小学数学规则教学中的一个难点。在应用上，不仅有基本应用，还有各种变式应用，学生往往由于对乘法分配律这一模型的理解不到位而导致机械应用模型，甚至错用模型。为了更好地把握学情，分析制定本节练习课的教学目标，教师测试了学生四道题，结果是：“26×57+43×26”正确率100%，“15×（40-8）”正确率87.2%，“99×101”正确率77.6%， “4×8×（25+125）”正确率10.3%。有如下典型错例：【错例1】理解不到位， 造成丢三落四“15×（40-8）= 15×40-8”；【错例2】凑整思维的僵化，造成生搬硬套“99×101 =（99+1）×（101-
1）”“4×8×（25+125）=25×4+ 125×8”。【错例3】只关注结构形式，不理解本质含义，找不到相同的因数“4×8×（25+125）=4×（25+125）+ 8×（25+125）”。从测试情况来看，学生能运用乘法分配律“两数之和与一个数相乘”“两数之差与一个数相乘”的结构形式，但不代表在真正意义上理解了。学生以上几种错误的根本原因在于不理解算式的意义。那么，乘法分配律练习课，究竟练什么？为什么练？为谁练？如果把目标定位于掌握乘法分配律运用的基本技能，关注练习题量的多少，而非思维训练的多少，教师设计一道又一道题目进行巩固练习，就会演变成一种最基本的、機械的按照程序进行的“低水平的技能训练”。在信息时代的今天，决定学生数学素养的，不再是题的数量而是质量，衡量一个学生获得知识的多少也不再是题目的多少而是思维能力的发展。学生“知道”并不是最重要的，最重要的应该是教会学生如何思考。基于此，本节练习课目标定位于一是让学生借助直观材料“立”起乘法分配律的结构，再“破”除乘法分配律的结构，引导学生从乘法意义的角度理解乘法分配律的内涵。二是运用乘法分配律进行正确、合理的计算，培养简算意识。练习课中，学生通过分析、比较、反思，积累数学活动经验，发展数学思考力，感受数学思考的快乐，让学生在辨析、交流的活动中不断地建立起真正“意义层面”上的理解。如此，数学活动经验的核心才是如何思考的经验，最终帮助学生建立起自己的数学模型和数学学习的直觉，学会运用数学的思维方式进行思考。
二、数学情景中蕴含数学思考
创设蕴含数学思考的数学情景，能更好地帮助学生理解、掌握知识。乘法分配律由于它的形式复杂多变，给学生的理解造成很大的困扰，如从“a×c + b×c=（a+ b）×c”过渡到“（a+ b）×
c=a×c+b×c”很多学生都迈不过这道坎，学生更多的是停留在从一种形式到另一种形式的机械认识，而缺乏对乘法分配律这一数学模型逆向运用的一种直观感知和深度理解。特别是从“（a+ b）×c=a×c+b×c”到“（a-b）×c = a×c-b×c”，很多老师采用的是让学生进行类比推理得出结论，虽然能让一少部分学生勉强接受，但大部分的学生还是停留在表面化、形式化的认识上。为了帮助学生积累和丰富对乘法分配律模型的理解，教师可在教学中创设数学情景，借助几何直观有效地帮助学生理解模型、拓展模型。如设计对比练习，让学生直观理解乘法分配律的内涵。首先创设“怎样修改式子才能使25×（100-4）与25×100相等？请说明理由”这一问题情景，促使学生借助乘法的意义解释式子的含义。“25×（100-4）”表示96个25，“25×100”表示100个25还要减去4个25，两个式子才能相等。进一步让学生结合图形（如图1）解释“25×100- 25×4=25×（100-4）”为什么相等？学生必须展开空间想象，从一个“长是100m，宽是25m”的长方形中去掉一个“长是25m，宽是4m”的长方形，得到一个“长是96m，宽是25m”的长方形，而“25×（100-4）”也表示“长是96m，宽是25m”的长方形，这时两者的面积才相等。最后分析思考“选择下列哪个图形（如图2）的面积可以直接用乘法分配律解决”。学生在具体的数学情景中借助几何图直观顺利地实现乘法分配律模型各种表现形式的过渡及拓展，并在活动中建立起真正“意义层面”上的理解。
二、学习过程中激活数学思考
数学练习课中，我们常常看到教师时形式多样的题目进行包装，用来激发学生的练习兴趣，这种方式固然能增添数学练习题对学生的“亲和力”，但数学练习课，比“练”更重要的是“思”。因此，教师需要设计出具有一定思考力的问题激活学生，需要为学生提供学习材料激发学生的思考，需要给予学生较多的思考、展示、交流的空间，促使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”。
“乘法分配律练习课”前测题的典型错例分析活动，教师提出小组活动要求：小组讨论分析同学的做法，认为对的打“√”，并说明理由；认为错的，要圈出错误的地方，并说明错误的原因。学生结合递等式计算“每一步都相等”这一特点，在分析中紧扣“这一步有没有改变题目的计算结果”这一关键问题，思考每一步变化的依据是什么，有没有“道理”。学生在这一活动中表现得非同寻常，究其原因，是由于学生在课堂上展开了充分的思考。
片段一：
分析（1）15×（40-8） =15×40+15×8
=600+120
=720
生1：这题是错的。“15×（40-8）”是32个15，“15×40+15×8”是48个15，跟原式不相等。
生2：他也是在应用乘法分配律， 但符号搬错了，写成了加号，结构都符合乘法分配律，但加号应该改为减号。
片段二：
分析（2）99×101
=（99+1）×（101-1）
=100×100
=1000
生1：这题是错的。这步“（99+1）×
（101-1）”改变了因数，把99改成了 100，101改成了100，得数肯定是错的。
师：他说改变了原来的因数。
生2：有意见。这道题，我认为他的解释方法不对，题目是“99×101”。而这步“（99+1）×（101-1）”的“99+1”就变成了“100×101”。这边“101-1”就变成了100，100乘100肯定是不等于99乘101的。
师：你的意思是“（99+1）×（101-1）”这步跟上一步“99×101”不等值，是吗？
生3：题目是99个101，“（99+1）×
（101-1）”这步是100个100。
片段三：
分析 （3）537×9
=500×9+37×9
=4500+333
=4833
分析 （4）537×9
=537×（10-1）
=537×10-537×1
=5370-537
=4833
分析（5）537×9
=500×9+30×9+7×9
=4500+270+63
=4770+63
=4833
生1：第一種（指分析（3）的做法）把537分成500和37分别乘以9，再相加。第二种（分析（4））他是用10减1等于9，用537乘以10减537比较麻烦。
师：你认为他麻烦在哪里？
生1：如果是537减537还好，但是5370减537，算的时候比较麻烦。
师：你的意思是算退位减法比较麻烦是吗？
生2：有意见。“537×（10-1）”这步可以减少。
生3：这样不行的，因为必须知道10是怎么来的，1是怎么来的，减号又是怎么来的。
生1继续分析：第三种（分析（5））做法是把537分成500和30和7分别去乘以9再相加，比较麻烦，要算三个积，还要算三个数的和。
师：对比三种算法，你更喜欢哪一种，说说你的理由。
生1：我喜欢第一种（分析（3））500是整数，乘以9比较简便，再加333好计算。
生2：比较喜欢第二种（分析（4））把9分成10和1，用减法比先用乘法再相加更容易一些。
生1反驳：减法要退位。
生2：37乘以9，如果口算不出来的话，有可能再用一次竖式。
生3：喜欢第三种（分析（5））都是整十数和9相乘，很快能算出来。
师：大家都有自己喜欢的方法，有自己认为最简便的方法，老师也有一种方法，你们能看懂吗？
教师出示把537分成507和30分别与9相乘让学生分析说理。
“精彩”源于学生的数学思考。学生在汇报交流中，能知晓他人的想法并做分析，这本身就在思考。在学生交流过程中，教师又适时提出一些要求，让学生及时作出调整，并帮助学生理解所学的知识，让学生把知识建立起联系。因为思考，练习课不再是“冷冰冰”的，学生在思考中交流，通过交流又进一步促进思考。学生有了学习数学的意识和能力，数学的素养形成也就水到渠成了。
三、反思回顾中积淀数学思考
学生经历了演绎论证的思维过程，既明白新旧知识之间的联系，又使数学思维进一步得到提升。乘法分配律练习课的指向，不仅仅是知识的巩固、能力的提高，更集中指向学生的发展。练习课中，老师让学生回归学习的主体地位，以练习的方式激励学生学习、思考。学生在课堂中，敢于数学思考、乐于数学思考、善于数学思考，可以说，学生核心素养的养分中就植入了数学智慧的内核。
参考文献：
[1]公丕军，张 晶.浅谈对小学生数学核心素养培养的思考[J].中国校外教育，2017（1）.
[2]代保明.三问学生发展核心素养[J].教育科学论坛，2017（4）.