[摘要]不定积分是高等数学教学中的一个重点内容，如何解积分题是教学中的难点。通过我在高等数学教学中对不定积分的解题研究，给出了一个不定积分的多种解法，这些解法对于解其他积分题也有很大的帮助作用，值得与读者、同行交流探讨。
　　[关键词]高等数学，不定积分，类型，解法
　　[基金项目]高职院校数学教学中学生创新能力的培养探究（编号XTZY15J15）
　　一、引 言
　　求不定积分的方法有：直接积分法、凑微分法、第二类换元积分法、分部积分法。求积分的难易程度取决于对这些方法运用的灵活程度，在教学中常遇到一些典型的积分，例如∫sinxsinx cosxdx，通过对不定积分的解题方法进行研究，以这个积分为例给出它的多种解法，这些解题方法对求其他积分题也有很大的帮助。
　　二、解法探究
　　解法1 一般地，对于∫f（sinx，cosx）dx类型的积分，采用万能代换令tanx2=t，化为分式有理函数积分，用部分分式法分解为若干个真分式的代数和，可以求出该积分，但是方法非常繁琐，一般不用这种解法（略）。
　　解法2 I=∫sinxsinx cosxdx=∫（sinx cosx）-cosxsinx cosxdx
　　=∫dx-∫（cosx-sinx） sinxsinx cosxdx=x-∫1sinx cosxd（sinx cosx）-I=x-ln|sinx cosx|-I。
　　移项除以2，得：I=12（x-ln|sinx cosx|） C。
　　解法3 分子分母同乘以 cosx-sinx。
　　∫sinxsinx cosxdx=∫sinx（cosx-sinx）cos2x-sin2xdx=∫sinxcosxcos2xdx-∫sin2xcos2xdx
　　=-14∫1cos2xd（cos2x）-12∫1-cos2xcos2xdx
　　=-14ln|cos2x|-14∫sec2xd（2x） 12∫dx
　　=-14ln|cos2x|-14lnsec2x tan2x 12x C
　　=-14ln1 sin2x 12x C。
　　解法4 分子分母同乘以 sinx cosx。
　　∫sinxsinx cosxdx=∫sinx（sinx cosx）（sinx cosx）2dx=∫sin2x1 sin2xdx ∫sinxcosx1 sin2xdx=12∫1-cos2x1 sin2xdx 12∫sin2x1 sin2xdx
　　=12∫11 sin2xdx-14∫11 sin2xd（1 sin2x） 12∫dx-12∫11 sin2xdx=-14ln1 sin2x 12x C。
　　解法5 ∫sinxsinx cosxdx=∫sin（x π4-π4）2sinx π4dx
　　=∫22sinx π4-22cosx π42sinx π4dx=12∫dx-12∫1sinx π4dsinx π4
　　=12x-12lnsinx π4 C。
　　解法6 ∫sinxsinx cosxdx=∫cos（x-π4-π4）2cosx-π4dx
　　=∫22cosx-π4 22sinx-π42cosx-π4dx=12∫dx-12∫1cosx-π4dcosx-π4=12x-12lncosx-π4 C。
　　解法7 将原积分化为∫11 cotxdx，只要求出这个积分即可。
　　因为21 cotx=（csc2x-cot2x） 11 cotx=csc2x1 cotx 1-cotx。
　　∫11 cotxdx=12∫11 cotxd1 cotx 12∫dx-12∫cotxdx
　　=-12ln1 cotx 12x-12lnsinx C=12x-12ln|sinx cosx| C。
　　三、结 语
　　从不定积分的不同解法中，不断领悟解题要领，在高等数学教学中坚持下去，就可以做到“举一反三、触类旁通”之效，本文给出的解法权作抛砖引玉，与同行交流学习。
　　[参考文献]
　　[1]同济大学数学教研室。高等数学（上册，第四版）[M]。北京：高等教育出版社。1996。12。
　　[2]西北工业大学高等数学教研室。高等数学（上册）同步学习辅导[M]。西安：西北工业大学出版社。2001。08。