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“鸡兔同笼”问题是人教版六年级数学上册第113页例1的教学内容。教学这部分内容后，教师让学生尝试解决第112页的“鸡兔同笼”问题。学生在教师的指导下，充分发挥主体作用，课堂中出现了师生互动、生生互动的开放局面。笔者以这个教学片断为例，谈谈课堂教学中如何处理好“放”与“收”的问题。
一、案例写真
生1（中等生）：我是用算术方法解的——总脚数的二分之一减去总头数，即94÷2-35=12（只）为兔的只数；总只数减去兔的只数，即35-12=23（只）为鸡的只数。
生2（优等生）：老师，用画图的方法解答，可以吗？
师：可以。你能不能向大家说说，你是怎样用画图的方法解决问题的？
生2：我用35个圆圈代表头，先给每个圆圈配2条腿，这样用了70条腿；然后在每个圆圈上2条2条地分别添上余下的24条腿。这样，从图上可以清楚地看到，4条腿的有12只，这是兔子的只数；2条腿的有23只，这是鸡的只数。
生3：用画图的方法来解决问题是可以的，但如果鸡和兔的数量太多，就不好画了。
师：请同学们比较一下，并说说画图与列表的方法有什么异同？
生4：两种方法都可以解决问题，但如果鸡和兔的数量太多，就既费时又费力，是较“笨”的方法；不同的是用画图的方法比较直观。
师：有道理！
生5（优等生）：妈妈教给我另外一种解题方法——先试探，再猜测，然后检验。具体过程分为五步：
第一步：先假设鸡5只，有10只脚，兔30只，有120只脚，总脚数为130只，比已知条件多了很多只脚。这说明鸡的只数少了，而且少了很多，需要增加。
第二步：再假设鸡兔各一半并调整为整只，即，鸡18只，兔17只。这样，鸡的脚数是36只，兔的脚数是68只，总脚数是104只，接近于题目的已知条件，但鸡的只数还是少了，需要再增加。
第三步：然后又假设鸡22只，有44只脚，兔13只，有52只脚，总脚数96只，比已知条件多了2只脚。这说明少了1只鸡，而多了1只兔，只需再调整一次就可以了。
第四步：由第三步可知，这道题的答案是：鸡22 1=23（只），兔13-1=12（只）。
第五步：最后检验——由鸡23只，得出鸡的脚数是2×23=46（只）；由兔12只，得出兔的脚数是4×12=48（只）；再由鸡23只，兔12只，得出鸡和兔的总只数为23 12=35（只），总脚数为46 48=94（只），符合题意。
师：你是用“试误与检验”法来解决问题的。
生6（很少发言的后进生）：我家里养过鸡和兔，我想可以用“砍腿法”来解决问题——当然，这不是真得砍腿（同学们哈哈大笑）。具体思路是：
假设砍去每只鸡和每只兔二分之一的脚，则每只鸡和每只兔就分别变成了“独脚鸡”与“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由原来的94只变成了47只，而“鸡”的头数和“兔”的头数都不变，一共是35只。由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数量多1，所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与它们的头的数量之差，就是兔子的只数，即47-35=12（只），35-12=23就是鸡的只数。
生7（平时不爱发言）：既然可以用“砍腿法”，我也可以用“抬腿法”来解——假设鸡与兔子都抬起两只脚，此时，看不到鸡的脚，看到的是鸡的屁股坐在地上（同学们大笑），地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上。这时，地上还有94-35×2=24（只）脚，所以兔子有24÷2=12（只），鸡有35-12=23（只）。
当然，还可假设让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，这种解题思路课本第114页的“阅读资料”上有介绍，我就不再多说了。
生8（中等生）：我想还可用“捆腿法”。
师（肯定了学生的思路，但及时收拢）：以上的试误与检验法、砍腿法、抬腿法和捆腿法，都是运用假设的思想，从不同的角度和思路来解决“鸡兔同笼”的问题，最终的答案是相同的，这叫一题多解。解题时，我们要根据具体情况，采用省时省力、好记好学、最喜欢的方法。
二、“收”“放”策略
从上述案例写真可以看出，教学中，要做到“收”“放”自如，教师应注意以下几点。
1.树立开放的课堂观
新课改背景下的课堂，开放的不仅是教学形式，教学内容和解题思路、方法也应该是开放的。上述案例写真即是如此。教学中，课堂活动的内容、形式一旦确定，活动的过程、对学生的要求、学生参与活动的方式等，就应尽可能地按设计的程序进行。在预先确定的形式下，教师对学生的认知、活动的进程、活动的时间等做好有效地调控，才能保证“收”“放”的质量与方向。
2.精心设计教学预案
生活背景、知识基础、思维能力的不同，必然导致学生思考方式的差异。上述案例中，学生有的用试误与检验法，有的用砍腿法，有的用抬腿法，还有的用捆腿法。如果教师备课不充分，教学预案考虑不周全或预见不到位，课中极有可能出现乱放或不放的局面。可见，教师只有精心地做好教学预案，课堂中才能既放得开，又收得拢，使“放”与“收”达到高度的和谐。
3.把握好课堂开放的度
开放的课堂上，往往会出现很多意料之外的情况，有时甚至会使课堂陷于失控的状态。这就要求教师，一要理性地对待这种现象。学生独立地思考、分析、总结问题，从而获得新知的做法值得提倡。运用这样的方法组织教学，课堂上出现意料之外的情况是正常的，用不着大惊小怪，关键是要学会灵活、机智地处理。二是要把握好开放的度。该“放”的时候，要大胆地放，把时间留给学生，让学生有机会施展自己的聪明才智。“放”的过程中，凡是学生能提出的问题，教师决不代替；凡是学生能思考的问题，教师决不暗示；凡是学生能自己解决的问题，教师决不插手。该“收”的时候，教师要当机立断，及时收拢。教师只有整体把握，善于调控，才能“放”得自然，“收”得舒心。
4.做好课堂评价工作
适时、科学的评价对“放”与“收”具有良好的促进作用。“放”的过程中，教师要多采用鼓励性评价，以充分调动学生参与学习的自信心。评价要关注学生的个性差异，要落实到具体的个体和部分群体上，要具有针对性。“收”的过程中，要多采用肯定性评价，认可学生回答中的合理之处，用心呵护学生的自尊心。
5.紧密联系生活实际
数学来源于生活。“放”的过程中，如果学生的思维受阻，教师应密切联系学生的生活实际，从学生已有的生活经验出发，充分挖掘生活资源，把生活问题数学化。上述案例中，已知条件并没有告诉“每只鸡有2只脚，每只兔子有4只脚”，但学生从已有生活经验中能知道这些信息，这是学生能“放”开思维的实践基础。一般而言，在解决生活中的数学问题时，有生活经验的孩子往往比没有亲身经验的孩子更有优势。所以，数学问题生活化，能提高学生参与“放”的比例。
责任编辑 姜楚华
一、案例写真
生1（中等生）：我是用算术方法解的——总脚数的二分之一减去总头数，即94÷2-35=12（只）为兔的只数；总只数减去兔的只数，即35-12=23（只）为鸡的只数。
生2（优等生）：老师，用画图的方法解答，可以吗？
师：可以。你能不能向大家说说，你是怎样用画图的方法解决问题的？
生2：我用35个圆圈代表头，先给每个圆圈配2条腿，这样用了70条腿；然后在每个圆圈上2条2条地分别添上余下的24条腿。这样，从图上可以清楚地看到，4条腿的有12只，这是兔子的只数；2条腿的有23只，这是鸡的只数。
生3：用画图的方法来解决问题是可以的，但如果鸡和兔的数量太多，就不好画了。
师：请同学们比较一下，并说说画图与列表的方法有什么异同？
生4：两种方法都可以解决问题，但如果鸡和兔的数量太多，就既费时又费力，是较“笨”的方法；不同的是用画图的方法比较直观。
师：有道理！
生5（优等生）：妈妈教给我另外一种解题方法——先试探，再猜测，然后检验。具体过程分为五步：
第一步：先假设鸡5只，有10只脚，兔30只，有120只脚，总脚数为130只，比已知条件多了很多只脚。这说明鸡的只数少了，而且少了很多，需要增加。
第二步：再假设鸡兔各一半并调整为整只，即，鸡18只，兔17只。这样，鸡的脚数是36只，兔的脚数是68只，总脚数是104只，接近于题目的已知条件，但鸡的只数还是少了，需要再增加。
第三步：然后又假设鸡22只，有44只脚，兔13只，有52只脚，总脚数96只，比已知条件多了2只脚。这说明少了1只鸡，而多了1只兔，只需再调整一次就可以了。
第四步：由第三步可知，这道题的答案是：鸡22 1=23（只），兔13-1=12（只）。
第五步：最后检验——由鸡23只，得出鸡的脚数是2×23=46（只）；由兔12只，得出兔的脚数是4×12=48（只）；再由鸡23只，兔12只，得出鸡和兔的总只数为23 12=35（只），总脚数为46 48=94（只），符合题意。
师：你是用“试误与检验”法来解决问题的。
生6（很少发言的后进生）：我家里养过鸡和兔，我想可以用“砍腿法”来解决问题——当然，这不是真得砍腿（同学们哈哈大笑）。具体思路是：
假设砍去每只鸡和每只兔二分之一的脚，则每只鸡和每只兔就分别变成了“独脚鸡”与“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚就由原来的94只变成了47只，而“鸡”的头数和“兔”的头数都不变，一共是35只。由此可知，有一只“双脚兔”，脚的数量就会比头的数量多1，所以，“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与它们的头的数量之差，就是兔子的只数，即47-35=12（只），35-12=23就是鸡的只数。
生7（平时不爱发言）：既然可以用“砍腿法”，我也可以用“抬腿法”来解——假设鸡与兔子都抬起两只脚，此时，看不到鸡的脚，看到的是鸡的屁股坐在地上（同学们大笑），地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上。这时，地上还有94-35×2=24（只）脚，所以兔子有24÷2=12（只），鸡有35-12=23（只）。
当然，还可假设让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，这种解题思路课本第114页的“阅读资料”上有介绍，我就不再多说了。
生8（中等生）：我想还可用“捆腿法”。
师（肯定了学生的思路，但及时收拢）：以上的试误与检验法、砍腿法、抬腿法和捆腿法，都是运用假设的思想，从不同的角度和思路来解决“鸡兔同笼”的问题，最终的答案是相同的，这叫一题多解。解题时，我们要根据具体情况，采用省时省力、好记好学、最喜欢的方法。
二、“收”“放”策略
从上述案例写真可以看出，教学中，要做到“收”“放”自如，教师应注意以下几点。
1.树立开放的课堂观
新课改背景下的课堂，开放的不仅是教学形式，教学内容和解题思路、方法也应该是开放的。上述案例写真即是如此。教学中，课堂活动的内容、形式一旦确定，活动的过程、对学生的要求、学生参与活动的方式等，就应尽可能地按设计的程序进行。在预先确定的形式下，教师对学生的认知、活动的进程、活动的时间等做好有效地调控，才能保证“收”“放”的质量与方向。
2.精心设计教学预案
生活背景、知识基础、思维能力的不同，必然导致学生思考方式的差异。上述案例中，学生有的用试误与检验法，有的用砍腿法，有的用抬腿法，还有的用捆腿法。如果教师备课不充分，教学预案考虑不周全或预见不到位，课中极有可能出现乱放或不放的局面。可见，教师只有精心地做好教学预案，课堂中才能既放得开，又收得拢，使“放”与“收”达到高度的和谐。
3.把握好课堂开放的度
开放的课堂上，往往会出现很多意料之外的情况，有时甚至会使课堂陷于失控的状态。这就要求教师，一要理性地对待这种现象。学生独立地思考、分析、总结问题，从而获得新知的做法值得提倡。运用这样的方法组织教学，课堂上出现意料之外的情况是正常的，用不着大惊小怪，关键是要学会灵活、机智地处理。二是要把握好开放的度。该“放”的时候，要大胆地放，把时间留给学生，让学生有机会施展自己的聪明才智。“放”的过程中，凡是学生能提出的问题，教师决不代替；凡是学生能思考的问题，教师决不暗示；凡是学生能自己解决的问题，教师决不插手。该“收”的时候，教师要当机立断，及时收拢。教师只有整体把握，善于调控，才能“放”得自然，“收”得舒心。
4.做好课堂评价工作
适时、科学的评价对“放”与“收”具有良好的促进作用。“放”的过程中，教师要多采用鼓励性评价，以充分调动学生参与学习的自信心。评价要关注学生的个性差异，要落实到具体的个体和部分群体上，要具有针对性。“收”的过程中，要多采用肯定性评价，认可学生回答中的合理之处，用心呵护学生的自尊心。
5.紧密联系生活实际
数学来源于生活。“放”的过程中，如果学生的思维受阻，教师应密切联系学生的生活实际，从学生已有的生活经验出发，充分挖掘生活资源，把生活问题数学化。上述案例中，已知条件并没有告诉“每只鸡有2只脚，每只兔子有4只脚”，但学生从已有生活经验中能知道这些信息，这是学生能“放”开思维的实践基础。一般而言，在解决生活中的数学问题时，有生活经验的孩子往往比没有亲身经验的孩子更有优势。所以，数学问题生活化，能提高学生参与“放”的比例。
责任编辑 姜楚华