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【摘 要】本文结合核心素养的相关理论，以“函数的奇偶性”为例，论述在高中数学的教学设计中渗透数学抽象核心素养的方法，构建以提升学生数学核心素养为主旨的教学模式。
【关键词】核心素养 数学抽象 奇偶性 几何画板
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）03B-0076-03
数学核心素养是指学生通过数学的学习而形成的正确的价值观念、必备品格和关键能力，而指向数学核心素养的教学设计则是育人为本、转识成智与情境嵌入的教学设计。本文从洞察知识三重意蕴：知识内容、知识形式、知识旨趣，践行深度教学的路径进行阐述。
在 2015 广西暑期高中新课改培训中，授课专家问道：“有谁知道‘函数的奇偶性’中的‘奇’和‘偶’是什么意思吗？”问毕，全场几百名高中数学老师集体失声，举手表示知道的也是寥寥无几。认真想想，自己已听过无数次示范课、公开课、培训课，竟然没有一人讲过“函数的奇偶性”中的“奇”和“偶”是什么意思。从表面看，上述现象似乎只表明一些数学教师忽视了一些概念，没有什么大不了的。但从深处想想，上述现象足以说明，大量数学教师尽管知其然，也知其所以然，但是并不知何以所以然。很多老师知道要教给学生“奇偶性”，但因为不知道缘何叫做“奇偶性”，所以不知道从旧知识中的“奇次偶次”的角度分析研究“奇偶性”。数学知识一般都是按照螺旋上升的方式设计教学内容的，很多新知识都能够在以前学过的知识中找到他们的“影子”。其实函数的奇偶性这一节课程的设计是想通过奇次偶次的幂函数图象的性质阐述函数的对称性。为此，笔者拟以“函数的奇偶性”的教学为例，尝试在教学过程中渗透数学抽象的核心素养，以期引起广大数学教师对培养学生核心素养的重视。
一、数学抽象在概念教学中不可或缺
由于受狭隘的知识观的消极影响，有些教学设计过于注重知识内容（概念、命题与理论）的呈现，而相对忽略乃至无视知识内容背后所蕴含的知识形式（方法、思想与思维）与知识旨趣（人文情怀与科学精神）。倘若无视知识内容背后所蕴含的知识形式与知识旨趣，那么学生即使记住了所学的知识内容，也难以真正理解慨念、命题与理论为什么是这样的，从而使知识教学异化为不教“为什么”的知识灌输。以奇偶性的学习为例，很多学生虽然都能够记住了奇偶性的定义，但并不知道为何称之为奇偶性，更不知道为什么奇偶性是这样定义的，更不能理解定义与对称性之间的“翻译”关系。
《普通高中数学课程标准（修订稿）》指出：数学抽象就是舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。徐利治认为，抽象是达到数学模式简易性目标的必要手段和过程，数学抽象主要有四个步骤：观察实例、抓住共性、提出概念、构建系统或框架（理论）。将徐先生的观点与新课标提出的数学抽象相比较，不难发现二者之间的相似性和联系。下面我们结合徐先生的理论，以“函数的奇偶性“这一内容的教学设计为例，说明数学抽象的渗透与培养。
二、案例研究
（一）情境引入，激发学生的探究欲望
大家都知道函数 f（x）=x2，x∈R 的图象关于 y 轴对称，谁知道函数 f（x）=x3+sinx，x∈R 的图象关于什么对称？为什么？
〖设计意图〗学生对学过的简单函数问题是比较熟悉的，但是对像 f（x）=x3+sinx，x∈R 这种复杂函数，并不知道如何通过函数解析式分析函数的对称关系。这就是本节课要教会学生的能力。通过设计问题情境，激发学生探究欲望，最后通过利用学过的知识解决这个复杂的问题，让学生感受數学的魅力。
（二）观察实例：课前准备（前一天布置）
布置学生用“列表—描点—连线”的方法，在不同坐标系中画出下列两组函数的图象，并观察、归纳它们的异同点。
第一组 ：f（x）=x-1，f（x）=x，f（x）=x3;
第二组：f（x）=x-2，f（x）=x2，f（x）=x4;
〖设计意图〗本案例从熟悉的两组函数的图象出发，感知函数次数奇偶关系与函数的对称之间的关系。
（三）抓住共性：引入课题
检查展示学生前一天布置的作图情况（借助几何画板演示），分小组合作完成。
1.提问：第一组函数解析式有什么特点？它们的图象的特点是什么？
〖分析〗（应该细致明了些）先引导学生观察、归纳：都是 x 的奇数次方;再引导学生观察、归纳：函数图象关于原点对称。
〖设计意图〗让学生明白：从“ x 的奇数次方”联想到“函数图象关于原点对称”。
2.提问：第二组函数解析式有什么特点？它们的图象的特点是什么？
〖分析〗先引导学生观察、归纳：都是 x 的偶数次方;再引导学生观察、归纳：函数图象关于 y 轴对称。
〖设计意图〗让学生明白：“ x 的偶数次方”联想到“函数图象关于 y 轴对称”。
3.提问：函数这样的性质我们应该称之为什么性质呢？
像奇（偶）次幂的幂函数具备的这种性质，关于原点对称或关于 y 轴对称，我们称之为奇偶性。引入课题：函数的奇偶性。
〖设计意图〗通过上述提问，驱动学生思考、观察、归纳，让学生明白研究函数的奇偶性实际上是研究函数的对称性。最重要的是让学生明白为什么称之为“奇偶性”，“奇”的含义是什么？“偶”的含义是什么？让学生参与知识的发生、发展过程，以促进数学理解。
（四）得出概念：探究新知
1.提问：如何把“函数图象关于原点对称”用数学符号的形式表达出来？ 结合上图拖动改变 B 的位置，引导学生观察函数值的变化，归纳得出“函数图象关于原点对称”的符号表达为“对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=-f（x）”，从而推出“奇函数”的定义：一般地，对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=-f（x），那么 f（x）就叫做奇函数。
〖设计意图〗从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。这是数学抽象的内涵，利用数形结合思想通过把“函数图象关于原点对称”的图形特点“数学符号化”，教师提供图象引导学生观察、识图，根据图形描述，捕捉信息，发现函数图象的点运动过程中对称点的函数值的变化情况，并引导学生能够用自然语言表述函数对称性，完成对函数对称性的第一次认识。
辨析：下面的函数是否关于原点对称？为什么？能否用定义加以解释？如何解释？
〖分析〗因为 f（-1）≠-f（1），不满足条件：对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=-f（x）。
教师总结：定义关键词，任意一个 x，都有 f（-x）=-f（x）。
2.提问：类似的，如何把“函数图象关于 y 轴对称”用数学符号的形式表达出来？
类比问题 1 的解决，结合上图拖动改变 B 的位置，引导学生观察函数值的变化，归纳得出“函数图象关于原点对称的符号”表达为“对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=-f（x）”，从而推出“偶函数”定义：一般地，对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=f（x），那么 f（x）就叫做偶函数。
辨析：下面的函数是否关于原点对称？为什么？能否用定义加以解释？如何解释？
〖分析〗因为 f（-1）≠f（1），不满足条件：对于函数 f（x） 的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=f（x）。
教师总结：定义关键词，任意一个 x，都有。
3.延伸提问：我们为什么要把这两种对称性质“符号化”？
教师引导：上到高中之后，我们遇到的函数越来越多，二者越来越复杂，今后我们判断函数的对称性时，不可能都作出图象，如 f（x）=x4+cosx 呢？在不作出函数图象的情况下，如何判断函数的对称性，这是我们学习本节内容的主要目的。
〖设计意图〗在函数的奇偶性性教学中，结合图象直观性，让学生理解学习奇偶性定义的必要性，理解符号与图象之间的相互依存和互补关系，以便能够在图象不方便作出的时候可以通过解析式判断函数的对称性。
（五）构建系统框架或理论
1.概念辨析
〖例 1〗试判断下列函数图象的对称性（即奇偶性）
（1）f（x）=x3+x;（奇函数）
（2）f（x）=0;（既奇又偶函数）
（3）;（偶函数）
（4）f（x）=x2，x∈（1，-2）。（非奇非偶函数）
〖设计意图〗让学生进一步辨析奇偶性定义中的关键词：定义域内、任意、都有，同时归纳判断定义域的步骤。
上例中第（4）式学生通常会判断错误，教师要结合图象进行解释并引导：为什么不是偶函数呢？
如果改为：f（x）=x2，x∈（-1，3）呢？怎样修改定义域才是偶函数？
引导学生：f（x）=x2，x∈（-1，1），会得出怎样的结论。
最终得出如下结论：
（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;
（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则-x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。即在 f（-x）=f（x），f（-x）=-f（x）式子中的隐含条件是：f（-x）与 f（x）要同时存在（有意义）。
〖例 2〗试判断下列函数图象的奇偶性
（1）;（非奇非偶函数）
（2）。（既奇又偶函數）
〖设计意图〗让学生明确：为什么判断奇偶性的第一步为“先求函数的定义域”。学生一般容易停留在对概念表面意义的局部理解上，或过多关注数学对象的非本质属性，这也是阻碍数学理解的一个重要原因，需要教师进行变式教学。
2.概念内化
〖总结〗利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;
（2）确定 f（-x）与 f（x）的关系;
若 f（-x）= f（x）或 f（-x）-f（x）= 0，则 f（x）是偶函数;
若 f（-x）=-f（x）或 f（-x）+f（x）= 0，则 f（x）是奇函数。
得出相应结论：具有奇偶性的函数的图象的特征如下。
偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
奇偶性的作用？（讲解课本 P35 思考）练习：课本 P36。
〖设计意图〗进一步强化对称性与奇偶性的关联，培养学生数形结合的意识。
（六）学以致用
解决课前提出的问题：函数 f（x）=x3+sinx，x∈R 关于什么对称？为什么？
∵ f（-x）=（-x）3+sin（-x）=-x3-sinx=-（x3+sinx）=-f（x），
∴ f（x）为奇函数，
∴ f（x）的图象关于原点对称。（可以通过几何画板作图加以验证）
很多学生之所以感觉数学难学，主要是无法通过观察、分析，撇开事物表象的、外部的、偶然的东西，抽象出事物本质的、内在的、必然的东西，进而从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和规律。这需要通过老师在平时的教学中不断渗透抽象的素养，学生在这种潜移默化的过程中逐步形成这种能综合运用数学知识、观念、方法解决实际问题所表现出来的关键能力与必备品格，才能学好数学。因此，教师要把核心素养根植到自己的每一节课中。本文通过一个案例，试图起到抛砖引玉的作用。
【参考文献】
[1]方厚良.谈数学核心素养之数学抽象与培养[J].中学数学，2016（7）
（责编 卢建龙）
【关键词】核心素养 数学抽象 奇偶性 几何画板
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）03B-0076-03
数学核心素养是指学生通过数学的学习而形成的正确的价值观念、必备品格和关键能力，而指向数学核心素养的教学设计则是育人为本、转识成智与情境嵌入的教学设计。本文从洞察知识三重意蕴：知识内容、知识形式、知识旨趣，践行深度教学的路径进行阐述。
在 2015 广西暑期高中新课改培训中，授课专家问道：“有谁知道‘函数的奇偶性’中的‘奇’和‘偶’是什么意思吗？”问毕，全场几百名高中数学老师集体失声，举手表示知道的也是寥寥无几。认真想想，自己已听过无数次示范课、公开课、培训课，竟然没有一人讲过“函数的奇偶性”中的“奇”和“偶”是什么意思。从表面看，上述现象似乎只表明一些数学教师忽视了一些概念，没有什么大不了的。但从深处想想，上述现象足以说明，大量数学教师尽管知其然，也知其所以然，但是并不知何以所以然。很多老师知道要教给学生“奇偶性”，但因为不知道缘何叫做“奇偶性”，所以不知道从旧知识中的“奇次偶次”的角度分析研究“奇偶性”。数学知识一般都是按照螺旋上升的方式设计教学内容的，很多新知识都能够在以前学过的知识中找到他们的“影子”。其实函数的奇偶性这一节课程的设计是想通过奇次偶次的幂函数图象的性质阐述函数的对称性。为此，笔者拟以“函数的奇偶性”的教学为例，尝试在教学过程中渗透数学抽象的核心素养，以期引起广大数学教师对培养学生核心素养的重视。
一、数学抽象在概念教学中不可或缺
由于受狭隘的知识观的消极影响，有些教学设计过于注重知识内容（概念、命题与理论）的呈现，而相对忽略乃至无视知识内容背后所蕴含的知识形式（方法、思想与思维）与知识旨趣（人文情怀与科学精神）。倘若无视知识内容背后所蕴含的知识形式与知识旨趣，那么学生即使记住了所学的知识内容，也难以真正理解慨念、命题与理论为什么是这样的，从而使知识教学异化为不教“为什么”的知识灌输。以奇偶性的学习为例，很多学生虽然都能够记住了奇偶性的定义，但并不知道为何称之为奇偶性，更不知道为什么奇偶性是这样定义的，更不能理解定义与对称性之间的“翻译”关系。
《普通高中数学课程标准（修订稿）》指出：数学抽象就是舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。徐利治认为，抽象是达到数学模式简易性目标的必要手段和过程，数学抽象主要有四个步骤：观察实例、抓住共性、提出概念、构建系统或框架（理论）。将徐先生的观点与新课标提出的数学抽象相比较，不难发现二者之间的相似性和联系。下面我们结合徐先生的理论，以“函数的奇偶性“这一内容的教学设计为例，说明数学抽象的渗透与培养。
二、案例研究
（一）情境引入，激发学生的探究欲望
大家都知道函数 f（x）=x2，x∈R 的图象关于 y 轴对称，谁知道函数 f（x）=x3+sinx，x∈R 的图象关于什么对称？为什么？
〖设计意图〗学生对学过的简单函数问题是比较熟悉的，但是对像 f（x）=x3+sinx，x∈R 这种复杂函数，并不知道如何通过函数解析式分析函数的对称关系。这就是本节课要教会学生的能力。通过设计问题情境，激发学生探究欲望，最后通过利用学过的知识解决这个复杂的问题，让学生感受數学的魅力。
（二）观察实例：课前准备（前一天布置）
布置学生用“列表—描点—连线”的方法，在不同坐标系中画出下列两组函数的图象，并观察、归纳它们的异同点。
第一组 ：f（x）=x-1，f（x）=x，f（x）=x3;
第二组：f（x）=x-2，f（x）=x2，f（x）=x4;
〖设计意图〗本案例从熟悉的两组函数的图象出发，感知函数次数奇偶关系与函数的对称之间的关系。
（三）抓住共性：引入课题
检查展示学生前一天布置的作图情况（借助几何画板演示），分小组合作完成。
1.提问：第一组函数解析式有什么特点？它们的图象的特点是什么？
〖分析〗（应该细致明了些）先引导学生观察、归纳：都是 x 的奇数次方;再引导学生观察、归纳：函数图象关于原点对称。
〖设计意图〗让学生明白：从“ x 的奇数次方”联想到“函数图象关于原点对称”。
2.提问：第二组函数解析式有什么特点？它们的图象的特点是什么？
〖分析〗先引导学生观察、归纳：都是 x 的偶数次方;再引导学生观察、归纳：函数图象关于 y 轴对称。
〖设计意图〗让学生明白：“ x 的偶数次方”联想到“函数图象关于 y 轴对称”。
3.提问：函数这样的性质我们应该称之为什么性质呢？
像奇（偶）次幂的幂函数具备的这种性质，关于原点对称或关于 y 轴对称，我们称之为奇偶性。引入课题：函数的奇偶性。
〖设计意图〗通过上述提问，驱动学生思考、观察、归纳，让学生明白研究函数的奇偶性实际上是研究函数的对称性。最重要的是让学生明白为什么称之为“奇偶性”，“奇”的含义是什么？“偶”的含义是什么？让学生参与知识的发生、发展过程，以促进数学理解。
（四）得出概念：探究新知
1.提问：如何把“函数图象关于原点对称”用数学符号的形式表达出来？ 结合上图拖动改变 B 的位置，引导学生观察函数值的变化，归纳得出“函数图象关于原点对称”的符号表达为“对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=-f（x）”，从而推出“奇函数”的定义：一般地，对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=-f（x），那么 f（x）就叫做奇函数。
〖设计意图〗从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。这是数学抽象的内涵，利用数形结合思想通过把“函数图象关于原点对称”的图形特点“数学符号化”，教师提供图象引导学生观察、识图，根据图形描述，捕捉信息，发现函数图象的点运动过程中对称点的函数值的变化情况，并引导学生能够用自然语言表述函数对称性，完成对函数对称性的第一次认识。
辨析：下面的函数是否关于原点对称？为什么？能否用定义加以解释？如何解释？
〖分析〗因为 f（-1）≠-f（1），不满足条件：对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=-f（x）。
教师总结：定义关键词，任意一个 x，都有 f（-x）=-f（x）。
2.提问：类似的，如何把“函数图象关于 y 轴对称”用数学符号的形式表达出来？
类比问题 1 的解决，结合上图拖动改变 B 的位置，引导学生观察函数值的变化，归纳得出“函数图象关于原点对称的符号”表达为“对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=-f（x）”，从而推出“偶函数”定义：一般地，对于函数 f（x）的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=f（x），那么 f（x）就叫做偶函数。
辨析：下面的函数是否关于原点对称？为什么？能否用定义加以解释？如何解释？
〖分析〗因为 f（-1）≠f（1），不满足条件：对于函数 f（x） 的定义域内的任意一个 x，都有 f（-x）=f（x）。
教师总结：定义关键词，任意一个 x，都有。
3.延伸提问：我们为什么要把这两种对称性质“符号化”？
教师引导：上到高中之后，我们遇到的函数越来越多，二者越来越复杂，今后我们判断函数的对称性时，不可能都作出图象，如 f（x）=x4+cosx 呢？在不作出函数图象的情况下，如何判断函数的对称性，这是我们学习本节内容的主要目的。
〖设计意图〗在函数的奇偶性性教学中，结合图象直观性，让学生理解学习奇偶性定义的必要性，理解符号与图象之间的相互依存和互补关系，以便能够在图象不方便作出的时候可以通过解析式判断函数的对称性。
（五）构建系统框架或理论
1.概念辨析
〖例 1〗试判断下列函数图象的对称性（即奇偶性）
（1）f（x）=x3+x;（奇函数）
（2）f（x）=0;（既奇又偶函数）
（3）;（偶函数）
（4）f（x）=x2，x∈（1，-2）。（非奇非偶函数）
〖设计意图〗让学生进一步辨析奇偶性定义中的关键词：定义域内、任意、都有，同时归纳判断定义域的步骤。
上例中第（4）式学生通常会判断错误，教师要结合图象进行解释并引导：为什么不是偶函数呢？
如果改为：f（x）=x2，x∈（-1，3）呢？怎样修改定义域才是偶函数？
引导学生：f（x）=x2，x∈（-1，1），会得出怎样的结论。
最终得出如下结论：
（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;
（2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则-x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。即在 f（-x）=f（x），f（-x）=-f（x）式子中的隐含条件是：f（-x）与 f（x）要同时存在（有意义）。
〖例 2〗试判断下列函数图象的奇偶性
（1）;（非奇非偶函数）
（2）。（既奇又偶函數）
〖设计意图〗让学生明确：为什么判断奇偶性的第一步为“先求函数的定义域”。学生一般容易停留在对概念表面意义的局部理解上，或过多关注数学对象的非本质属性，这也是阻碍数学理解的一个重要原因，需要教师进行变式教学。
2.概念内化
〖总结〗利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;
（2）确定 f（-x）与 f（x）的关系;
若 f（-x）= f（x）或 f（-x）-f（x）= 0，则 f（x）是偶函数;
若 f（-x）=-f（x）或 f（-x）+f（x）= 0，则 f（x）是奇函数。
得出相应结论：具有奇偶性的函数的图象的特征如下。
偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
奇偶性的作用？（讲解课本 P35 思考）练习：课本 P36。
〖设计意图〗进一步强化对称性与奇偶性的关联，培养学生数形结合的意识。
（六）学以致用
解决课前提出的问题：函数 f（x）=x3+sinx，x∈R 关于什么对称？为什么？
∵ f（-x）=（-x）3+sin（-x）=-x3-sinx=-（x3+sinx）=-f（x），
∴ f（x）为奇函数，
∴ f（x）的图象关于原点对称。（可以通过几何画板作图加以验证）
很多学生之所以感觉数学难学，主要是无法通过观察、分析，撇开事物表象的、外部的、偶然的东西，抽象出事物本质的、内在的、必然的东西，进而从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和规律。这需要通过老师在平时的教学中不断渗透抽象的素养，学生在这种潜移默化的过程中逐步形成这种能综合运用数学知识、观念、方法解决实际问题所表现出来的关键能力与必备品格，才能学好数学。因此，教师要把核心素养根植到自己的每一节课中。本文通过一个案例，试图起到抛砖引玉的作用。
【参考文献】
[1]方厚良.谈数学核心素养之数学抽象与培养[J].中学数学，2016（7）
（责编 卢建龙）