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摘要：对于对流与传热问题进行数值计算的第一步是生成网格. 本文主要介绍了网格生成的多面方法，编制了多面法网格生成程序，生成了飞机机翼表面附近的网格. 该法利用插值公式建立起计算平面与物理平面之间点对应的关系，方法简便，同时能在一定范围内控制网格的形状与分布密度.
关键词：网格生成；多面法；数值计算；naca633418翼型
Study on the Multisurface Method for Structured Grid Generation
Abstract：The first step of simulation of convection and heat transfer problem is grid generation. In this article the multisurface method is studied. The computation codes of the method is programmed to generate the grids around aerofoil. By establishing the correspondence relationship between the points on the computation plane and physical plane, this method can control the shape and distribution density of grids in an easy way.
Key word: grid generation; multisurface method; Numerical computation; naca633418 airfoil
生成结构化网格的多面法研究
1 引言
网格生成技术广泛应用于计算流体力学中，是制约该领域发展的关键因素之一. 对流与传热问题[1]进行数值计算的第一步是生成网格，这里的网格有别于CAD等在计算机科学上的意义，它是着眼于网格的节点或单元的特征量的离散数据，所以又称为数值网格生成(Numerical Grid Generation). 即要对空间上连续的计算区域进行剖分，把它划分成许多个子区域，并确定每个区域中的节点. 由于工程上所遇到的对流与传热问题大多发生在复杂区域内，因而不规则区域内网格的生成是计算流体力学与传热学中的一个十分重要的研究领域. 对流与传热问题数值计算结果的最终的精度及计算过程的效率，主要取决于生成的网格所采用的算法，各种网格生成方法在一定的条件下都有其优越性及弱点. 而且，网格质量的好坏，生成的简易程度和自动化、智能化程度较大的影响了数值结果的好坏.
自从1974年Thompson等三人提出适体坐标的方法以来，网格生成技术[2]在流體力学及传热学中的作用日益被研究者认识到[3]. 目前国内外网格生成技术大致分为结构化网格、非结构化网格[4]两大类. 结构化网格主要是指对每一个网格节点，其对邻接的其他节点的连接数是一定的或有规则的. 非结构化网格是指每一个网格节点与其他节点的连接关系是不确定的或不规则的. 在有些情况下，整个网格的一部分可以是结构化的，而另一部分又是非结构化的.一般数值计算中正交与非正交曲线坐标系中生成的网格都是结构化网格[5].
生成适体坐标的方法原则上都是一些特定的变换，即把物理空间上的一些不规则区域变换成为计算空间上的规则区域.而其中代数法生成网格时是利用各种插值公式建立起计算平面与物理平面之间节点的对应关系，网格生成实际上是复杂形状的的物理区域和简单形状的计算区域之间的一种坐标变换.即笛卡尔坐标 、 和曲线坐标 、 之间的一种变换关系,网格生成的提法有两种:一是以 、 为应变量,以 、 为自变量（正问题）,二是以 、 为应变量,以 、 为自变量（反问题）. 从网格生成的目的来看,应采用反问题的提法,这样得出的结果就是计算网格点的笛卡尔坐标.
多面法网格生成是一种代数插值的过程,不需求解偏微分方程或进行复杂的变换. 可以利用中间界面来加强对网格正交性与分布的控制. 采用多面法是控制边界上及计算区域内部网格分布的有效办法.
2 多面插值法
2.1多面法的思想
假设两固定边界 （内边界）和 （外边界）之间生成一系列辅助表面，且互不相交，每个表面上的参数 由 变化到 ，是相邻面 到 的，且与 相切的矢量，就形成了的一连续折线，如图1所示：
这样在每一条折线上可生成 个离散的矢量. 它们与表面 的矢量 之间的关系为
(2.1)
其中 为待确定参数.
方向上是有限个辅助表面（中间界面），通过插值，生成对 及 均为连续的矢量场
(2.2)
式中， 为插值函数.
图1说明多面法的图示
对于(2.2) 式中的 ，若
(1)，则插值基函数 和 不在同一几何区域内（由相邻两表面所围成的区域），此时 ；
(2)，则 .
当 与 从 变化到 时，矢量 就确定了整个计算区域内网格结点的位置， 为控制纵向网格点的参变量， ，在内边界 ，外边界 ，根据 的构成方式，显然有
(2.3)
对上式从 到 积分，则
(2.4)
其中 ，记 ，
不难证明，为此有 ，则(2.4)式可以改写为
(2.5)
此式即为多面法中网格生成的通用表达式，其中插值函数 一般采用 阶关于 的多项式.
2.2 中间面的生成
取 时讨论：
(1)时，此时没有中间界面（辅助面），插值界函数 的阶数为0，即为一常数，由式(2.5)可得此时网格生成的方程式为
即(2.6)
将笛卡尔坐标 换为曲线坐标 ，即写成 ， 的表达式为
(2.7)
(2.8)
(2)时， 是关于 的一阶多项式
由 时， ； 时，可推出 ；
由 时， ； 时，可推出
带入(2.5)式后得网格生成方程
(2.9)
写成关于 ， 的形式为：
(2.10)
(2.11)
(3)时， 是关于 的二阶多项式，有两个中间界面
， ，
由 ， ； ， ； ，
推出 ；
由 ， ； ， ； ，
推出 ；
由 ，， ； ，
推出 ；
将 带入(2.5)式可得网格生成方程为
(2.12)
上式同样可以写成关于 ， 的形式，即为
(2.13)
(2.14)
其中
， .
针对 的情况，在下文中做了算例，其生成的网格正交性很好.
2.3 多面法的优点
在多面法中辅助表面（中间界面）不必是内部网格结点所在的平面，它的作用主要在于生成一簇半离散的矢量.
在多面法中插值主要是对一簇半离散的矢量进行的，而不像其他代数法那样是对结点坐标进行的. 此插值法的好处是，可以利用中间界面来加强对网格正交性与分布的控制.
3 网格生成算例
利用多面法，选用 的情况对其进行坐标变换(利用2.13式和2.14式)，针对naca633418翼型设计网格结点生成程序， 为径线，取97条， 为包围翼型的周线，取50条，将翼型外形参数输入，得出数值结果，利用MATLAB软件编制程序绘制网格，得到网格分布如图2所示：
图2 时用多面法生成的网格
图2中网格结点选取较多，生成的网格较密集，将其中心和外部放大后的效果如图3和图4所示，可以看到正交性是良好的，翼型前缘、后缘附近的网格放大图示如图5和图6所示，可以注意到其后缘附近的径线并不是相交的.
图3中心放大网格图图4外部局部放大网格图
图5翼型前缘附近的网格 图6翼型后缘附近的网格
4 总结
在本文中，我们讨论了结构化网格生成方法中的多面法. 主要的目的在于提供一些必要的而且很实用的理论基础，其中包括了很多数学的背景知识和应用于编程实现的方法思想，从这些基本思想和方法中，提供一些实用并可行的方法对于特定区域加以分割，从而实现网格化区域的目的.在这些网格上，使得我们应用代数法的数值计算方法成为可能.
结构化网格具有规则的网格连接关系，所以可以用快速的网格生成算法来实现，并且其向量化或并行化处理非常的简单，需要的缓存也很有限. 但是在对于区域的分割处理上需要大量的人工时间来完成，所以现在对于复杂的区域情况，趋势是用非结构化的网格生成方法来代替.
参 考 文 献
[1]陈景仁. 湍流模型及有限元分析法[M]. 上海：上海交通大学出版社，1989.
[2]齐学义，杨帆，齐冲. 贴体坐标网格生成技术的研究[J]. 工程熱物理学报：2001，22(S1):29-32.
[3]Peter R.Eiseman. Grid generation for fluid mechanics computations[J]. Annual Review of Fluid Mech,1985,17:487-522.
[4]刘晶. 结构与非结构网格的生成、转化及应用[D]. 南京：南京理工大学，2006.
[5]杨国伟，鄂秦，李凤蔚. 一种复杂外形贴体正交网格生成方法[J]. 西北工业大学学报：1996,14(3):357-360.
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。
关键词：网格生成；多面法；数值计算；naca633418翼型
Study on the Multisurface Method for Structured Grid Generation
Abstract：The first step of simulation of convection and heat transfer problem is grid generation. In this article the multisurface method is studied. The computation codes of the method is programmed to generate the grids around aerofoil. By establishing the correspondence relationship between the points on the computation plane and physical plane, this method can control the shape and distribution density of grids in an easy way.
Key word: grid generation; multisurface method; Numerical computation; naca633418 airfoil
生成结构化网格的多面法研究
1 引言
网格生成技术广泛应用于计算流体力学中，是制约该领域发展的关键因素之一. 对流与传热问题[1]进行数值计算的第一步是生成网格，这里的网格有别于CAD等在计算机科学上的意义，它是着眼于网格的节点或单元的特征量的离散数据，所以又称为数值网格生成(Numerical Grid Generation). 即要对空间上连续的计算区域进行剖分，把它划分成许多个子区域，并确定每个区域中的节点. 由于工程上所遇到的对流与传热问题大多发生在复杂区域内，因而不规则区域内网格的生成是计算流体力学与传热学中的一个十分重要的研究领域. 对流与传热问题数值计算结果的最终的精度及计算过程的效率，主要取决于生成的网格所采用的算法，各种网格生成方法在一定的条件下都有其优越性及弱点. 而且，网格质量的好坏，生成的简易程度和自动化、智能化程度较大的影响了数值结果的好坏.
自从1974年Thompson等三人提出适体坐标的方法以来，网格生成技术[2]在流體力学及传热学中的作用日益被研究者认识到[3]. 目前国内外网格生成技术大致分为结构化网格、非结构化网格[4]两大类. 结构化网格主要是指对每一个网格节点，其对邻接的其他节点的连接数是一定的或有规则的. 非结构化网格是指每一个网格节点与其他节点的连接关系是不确定的或不规则的. 在有些情况下，整个网格的一部分可以是结构化的，而另一部分又是非结构化的.一般数值计算中正交与非正交曲线坐标系中生成的网格都是结构化网格[5].
生成适体坐标的方法原则上都是一些特定的变换，即把物理空间上的一些不规则区域变换成为计算空间上的规则区域.而其中代数法生成网格时是利用各种插值公式建立起计算平面与物理平面之间节点的对应关系，网格生成实际上是复杂形状的的物理区域和简单形状的计算区域之间的一种坐标变换.即笛卡尔坐标 、 和曲线坐标 、 之间的一种变换关系,网格生成的提法有两种:一是以 、 为应变量,以 、 为自变量（正问题）,二是以 、 为应变量,以 、 为自变量（反问题）. 从网格生成的目的来看,应采用反问题的提法,这样得出的结果就是计算网格点的笛卡尔坐标.
多面法网格生成是一种代数插值的过程,不需求解偏微分方程或进行复杂的变换. 可以利用中间界面来加强对网格正交性与分布的控制. 采用多面法是控制边界上及计算区域内部网格分布的有效办法.
2 多面插值法
2.1多面法的思想
假设两固定边界 （内边界）和 （外边界）之间生成一系列辅助表面，且互不相交，每个表面上的参数 由 变化到 ，是相邻面 到 的，且与 相切的矢量，就形成了的一连续折线，如图1所示：
这样在每一条折线上可生成 个离散的矢量. 它们与表面 的矢量 之间的关系为
(2.1)
其中 为待确定参数.
方向上是有限个辅助表面（中间界面），通过插值，生成对 及 均为连续的矢量场
(2.2)
式中， 为插值函数.
图1说明多面法的图示
对于(2.2) 式中的 ，若
(1)，则插值基函数 和 不在同一几何区域内（由相邻两表面所围成的区域），此时 ；
(2)，则 .
当 与 从 变化到 时，矢量 就确定了整个计算区域内网格结点的位置， 为控制纵向网格点的参变量， ，在内边界 ，外边界 ，根据 的构成方式，显然有
(2.3)
对上式从 到 积分，则
(2.4)
其中 ，记 ，
不难证明，为此有 ，则(2.4)式可以改写为
(2.5)
此式即为多面法中网格生成的通用表达式，其中插值函数 一般采用 阶关于 的多项式.
2.2 中间面的生成
取 时讨论：
(1)时，此时没有中间界面（辅助面），插值界函数 的阶数为0，即为一常数，由式(2.5)可得此时网格生成的方程式为
即(2.6)
将笛卡尔坐标 换为曲线坐标 ，即写成 ， 的表达式为
(2.7)
(2.8)
(2)时， 是关于 的一阶多项式
由 时， ； 时，可推出 ；
由 时， ； 时，可推出
带入(2.5)式后得网格生成方程
(2.9)
写成关于 ， 的形式为：
(2.10)
(2.11)
(3)时， 是关于 的二阶多项式，有两个中间界面
， ，
由 ， ； ， ； ，
推出 ；
由 ， ； ， ； ，
推出 ；
由 ，， ； ，
推出 ；
将 带入(2.5)式可得网格生成方程为
(2.12)
上式同样可以写成关于 ， 的形式，即为
(2.13)
(2.14)
其中
， .
针对 的情况，在下文中做了算例，其生成的网格正交性很好.
2.3 多面法的优点
在多面法中辅助表面（中间界面）不必是内部网格结点所在的平面，它的作用主要在于生成一簇半离散的矢量.
在多面法中插值主要是对一簇半离散的矢量进行的，而不像其他代数法那样是对结点坐标进行的. 此插值法的好处是，可以利用中间界面来加强对网格正交性与分布的控制.
3 网格生成算例
利用多面法，选用 的情况对其进行坐标变换(利用2.13式和2.14式)，针对naca633418翼型设计网格结点生成程序， 为径线，取97条， 为包围翼型的周线，取50条，将翼型外形参数输入，得出数值结果，利用MATLAB软件编制程序绘制网格，得到网格分布如图2所示：
图2 时用多面法生成的网格
图2中网格结点选取较多，生成的网格较密集，将其中心和外部放大后的效果如图3和图4所示，可以看到正交性是良好的，翼型前缘、后缘附近的网格放大图示如图5和图6所示，可以注意到其后缘附近的径线并不是相交的.
图3中心放大网格图图4外部局部放大网格图
图5翼型前缘附近的网格 图6翼型后缘附近的网格
4 总结
在本文中，我们讨论了结构化网格生成方法中的多面法. 主要的目的在于提供一些必要的而且很实用的理论基础，其中包括了很多数学的背景知识和应用于编程实现的方法思想，从这些基本思想和方法中，提供一些实用并可行的方法对于特定区域加以分割，从而实现网格化区域的目的.在这些网格上，使得我们应用代数法的数值计算方法成为可能.
结构化网格具有规则的网格连接关系，所以可以用快速的网格生成算法来实现，并且其向量化或并行化处理非常的简单，需要的缓存也很有限. 但是在对于区域的分割处理上需要大量的人工时间来完成，所以现在对于复杂的区域情况，趋势是用非结构化的网格生成方法来代替.
参 考 文 献
[1]陈景仁. 湍流模型及有限元分析法[M]. 上海：上海交通大学出版社，1989.
[2]齐学义，杨帆，齐冲. 贴体坐标网格生成技术的研究[J]. 工程熱物理学报：2001，22(S1):29-32.
[3]Peter R.Eiseman. Grid generation for fluid mechanics computations[J]. Annual Review of Fluid Mech,1985,17:487-522.
[4]刘晶. 结构与非结构网格的生成、转化及应用[D]. 南京：南京理工大学，2006.
[5]杨国伟，鄂秦，李凤蔚. 一种复杂外形贴体正交网格生成方法[J]. 西北工业大学学报：1996,14(3):357-360.
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。