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08年江苏卷第10题：将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第行的从左至右的第3个数是_________.
这是一个以数阵为载体来考察数列相关知识的新题型，带有一定的创新色彩.学生在遇到这类题目的时候，往往会有一种复杂的感情，这些数阵中的数字排列很有规律性，但是在实际解题的过程中又不知如何下手，找不到突破口.现在，让我们不妨从这样一个真题实例入手，分析这样的数阵型数列有什么样的性质.
从直观的角度来看，学生易于发现这个数阵Ⅰ的一些显性特征，我们罗列如下：
①该数阵从外形上构成一个等腰三角形，自上而下数阵中的数在不断增大；
②该数阵自上而下依次排列，第一行有1个数，第二行有2个数，……以此类推，第行有个数；
③每一行的数是正整数的自然按序排列，即构成公差为1的一个等差数列.
直观观察是我们从数学对象的表面现象获取内在规律的第一步，也是极为重要的一步.从我们这第一步的观察中，我们已经得到了这个数阵的一个性质：
性质1数阵Ⅰ按正整数自然排序依次从上至下排列，数阵的第行有个正整数，第行的所有数字组成公差为1的等差数列.
然后，我们开始从研究数阵Ⅰ的角度出发，观察数阵Ⅰ的方式有很多种，解题的要求来看，是按照从上至下、从左至右的顺序.因此，我们最关心的是哪些位置上的数字呢？学生异口同声地说，每一行的第一个数，也有同学提出每一行的最后一个数.于是我们就此展开探究.
对前几行的观察，我们发现每一行的第一个数为一次为1，2，4，7，11，…，我们可以求出这个数列的通项公式.该数列的相邻两项之差成公差为1的等差数列，即，，…，，这时学生想到可以使用累加法求其通项，则，故.
性质2数阵Ⅰ第行的第1个数为.
由于有性质1的保证，我们不难发现该数阵中第行的最后一个数为
.
有了以上的结论，我们可以很方便快捷地求出数阵Ⅰ中任何一个位置的数.
性质3数阵Ⅰ第行的第个数为.
因此，原题中数阵Ⅰ中第行的从左至右的第3个数是.通过性质3，我们发现我们可以求出这个数阵中任何一个位置上的数字，反之，我们也能知道任何一个正整数位于该数阵中的哪个位置.例如求第2010行的第67个数字，就能运用公式；而要求出2010的位置时，可先估计，当时，有，当时，有，故2010在第63行第57个数.
如此，我们再看一个09年湖北高考卷的第10题：古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，如图所示，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）.
A.289 B.1024C.1225 D.1378
现在思考本题就十分直观了，参考性质2，满足三角形数的数实际上就是我们研究的数阵中每一行的最后一个数，应符合的形式.结合满足正方形数的形式为完全平方数，不难得出结论为选C.
根据上一题中提到的，如果我们继续关注每一行的最后一个正整数，其实还能发现它可以表示成一个组合数，那么由组合数的性质，我们还可以发现每一行的最后一个数字是该行的行数（或该行含有数字的个数）加上一行的最后一个数字.
推论数阵Ⅰ第行的最后一个数字可表示为.
我们继续探究下去，可以进一步去求出每一行的各项数字之和.由性质1，第行的数字组成以为首项、以1为公差的等差数列，则第行的数字之和为
.
性质4数阵Ⅰ第行的数字之和为.
进一步，学生提出是不是能够求出前行的数字之和？我们继续尝试，实际上前行的数字之和即为.
性质5数阵Ⅰ前行的数字之和为.
对于这个问题我们做了很多的探究，学生们也觉得很有成就感，毕竟他们运用了很多在学习等差数列中的知识.不过，我却并不满足，我向大家提出了一个思考：我们是不是改变一下数阵中数字的排列顺序？结论会不会发生变化？或者我们是不是可以改变数阵中原先位置上的数字，使其以另一种数列的形式出现？是否又会有新的结论？
学生们陷入了深深的思考，于是我首先提出了一个变式，我将原数阵变为如图所示的形状，形成数阵Ⅱ，学生们很快发现这个数阵其实和数阵Ⅰ没有本质的区别，应此所有性质都保持不变.
紧接着，就陆续有学生提出了经他们各自改良后的数阵，如图所示的数阵Ⅲ、数阵Ⅳ、数阵Ⅴ，通过我们的探究，数阵Ⅲ其实只是将原先的数阵Ⅰ斜侧45°角，其他的性质并没有改变.
数阵Ⅳ则发生了微小的改变，注意到每一行的数字并没有变化，但是除去第1行之外的奇数行的数字排序颠倒了.因此这些奇数行的首项变成了原数阵Ⅰ中的对应行的末项，即，第行的数字之和与前行的数字之和并没有变化.数阵Ⅴ的变化类似数阵Ⅲ，之于数阵Ⅳ只是做了斜侧45°角的变化.
然后，我又看到有同学提出了这样一个与众不同的数阵Ⅵ，如图所示.我不由眼前一亮，赶忙请大家一起来看，是不是能发现其中的规律.学生们都看出这时候所有的正整数以一种全新的方式重新排列了，易于发现第行含有个正整数，且每行的数字组成了公差为2的等差数列.此外，我们还能发现该数阵的奇数行只含有奇数，且第1行有1个奇数，第3行有3个奇数，…；偶数行只含有偶数，且第2行有2个偶数，第4行有4个偶数，….
性质1（2）数阵Ⅵ的第行含有个正偶数，第行含有个正奇数，且每行的数字组成了公差为2的等差数列.
如果仔细探究下去，我们还能发现第行的第一个数的规律.，，，…，，，…，故对奇数行和偶数行分别利用累加法可求出各行首项的通项，即当时，有
，
则，同理可求出偶数行的首项，于是我们有：
性质2（2）数阵Ⅵ的第行的第一个数为.
有了以上的结论，对于第行第行的数字和第行各个正整数之和、前行的所有正整数之和的结论，学生们都可以一一推导出来，在此就不再赘述.
也有同学提出了一个完全不同的变式，他说数阵的排列完全有可能跳出三角形的形状，于是他提出了如图所示的数阵Ⅶ.该数阵就面貌一新了，正整数的排列仍然按照一定的次序，但并不那么明显了.我赞扬了同学的想法，并顺势提出请大家找到第2行第8列的数字是什么.学生一下慌了神，找不到思路了.我提示大家既然数阵的形状发生了改变，我们也就需要变换一下思路，而不再是单纯地找每行每列的数字了.学生渐渐发现了这个数阵中的数字隐藏着块状的规律，而且与完全平方数有着密切的联系.
从第一行的数字来看，除去，在偶数列位置上的正整数都是正偶数的平方，如，，…，即有，该偶数列上的正整数自上而下组成公差为-1，项数为项的等差数列，至末项后从右到左又组成公差为-1，项数为项的等差数列.奇数列位置上的正整数为相邻前一列位置上的正整数加1，即，该奇数列上的正整数自上而下组成公差为1，项数为项的等差数列，至末项后从右到左又组成公差为1，项数为项的等差数列.类似的结论也完全可以从第一列的数字来看，排列规律一致，只是排列方向作相应改变.
因此，对于数阵Ⅶ，我们可以将数阵中的正整数按照（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），…的方式进行块状分组，第组有个正整数，根据推导，我们能比较快速地找到对应位置上的数字，如.
这一下学生们的思路都给打开了，他们提出了各种各样的情况，其中有一个同学写出了这样的一个数阵，如图所示，这个数阵Ⅷ中的正整数排列是从中心向四周呈现螺旋放射形状的.这个数阵设计地十分精妙，也可以提出很多的问题，我也请大家一起来开动脑筋，探索一下这个数阵中蕴含着怎样的奥妙！
看着大家高涨的热情，我又笔锋一转，对大家说，如果我们不改变原来数阵的形状，但是将原先位置上的数字改变一下，看看会有什么不同.例如，我现在在数阵Ⅰ的各个位置上放上一个等比数列试试看.学生们都瞪大了眼镜，也有几个机灵的同学赶紧拿起笔演算起来.现在让我们一起来看这个数阵Ⅸ，运用之前的方法再来探究它的一些性质.
性质1（3）数阵Ⅸ中的数字从上至下排列，第行有个正整数，第行的所有数字组成公比为2的等比数列.
对于每一行的首项，，，…，运用累乘法，可求得，则.
性质2（3）数阵Ⅸ第行的第1个数为.
性质3（3）数阵Ⅸ第行的第个数为.
性质4（3）数阵Ⅸ第行的数字之和为.
性质5（3）数阵Ⅸ前行的数字之和为.
这是一个以数阵为载体来考察数列相关知识的新题型，带有一定的创新色彩.学生在遇到这类题目的时候，往往会有一种复杂的感情，这些数阵中的数字排列很有规律性，但是在实际解题的过程中又不知如何下手，找不到突破口.现在，让我们不妨从这样一个真题实例入手，分析这样的数阵型数列有什么样的性质.
从直观的角度来看，学生易于发现这个数阵Ⅰ的一些显性特征，我们罗列如下：
①该数阵从外形上构成一个等腰三角形，自上而下数阵中的数在不断增大；
②该数阵自上而下依次排列，第一行有1个数，第二行有2个数，……以此类推，第行有个数；
③每一行的数是正整数的自然按序排列，即构成公差为1的一个等差数列.
直观观察是我们从数学对象的表面现象获取内在规律的第一步，也是极为重要的一步.从我们这第一步的观察中，我们已经得到了这个数阵的一个性质：
性质1数阵Ⅰ按正整数自然排序依次从上至下排列，数阵的第行有个正整数，第行的所有数字组成公差为1的等差数列.
然后，我们开始从研究数阵Ⅰ的角度出发，观察数阵Ⅰ的方式有很多种，解题的要求来看，是按照从上至下、从左至右的顺序.因此，我们最关心的是哪些位置上的数字呢？学生异口同声地说，每一行的第一个数，也有同学提出每一行的最后一个数.于是我们就此展开探究.
对前几行的观察，我们发现每一行的第一个数为一次为1，2，4，7，11，…，我们可以求出这个数列的通项公式.该数列的相邻两项之差成公差为1的等差数列，即，，…，，这时学生想到可以使用累加法求其通项，则，故.
性质2数阵Ⅰ第行的第1个数为.
由于有性质1的保证，我们不难发现该数阵中第行的最后一个数为
.
有了以上的结论，我们可以很方便快捷地求出数阵Ⅰ中任何一个位置的数.
性质3数阵Ⅰ第行的第个数为.
因此，原题中数阵Ⅰ中第行的从左至右的第3个数是.通过性质3，我们发现我们可以求出这个数阵中任何一个位置上的数字，反之，我们也能知道任何一个正整数位于该数阵中的哪个位置.例如求第2010行的第67个数字，就能运用公式；而要求出2010的位置时，可先估计，当时，有，当时，有，故2010在第63行第57个数.
如此，我们再看一个09年湖北高考卷的第10题：古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，如图所示，他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）.
A.289 B.1024C.1225 D.1378
现在思考本题就十分直观了，参考性质2，满足三角形数的数实际上就是我们研究的数阵中每一行的最后一个数，应符合的形式.结合满足正方形数的形式为完全平方数，不难得出结论为选C.
根据上一题中提到的，如果我们继续关注每一行的最后一个正整数，其实还能发现它可以表示成一个组合数，那么由组合数的性质，我们还可以发现每一行的最后一个数字是该行的行数（或该行含有数字的个数）加上一行的最后一个数字.
推论数阵Ⅰ第行的最后一个数字可表示为.
我们继续探究下去，可以进一步去求出每一行的各项数字之和.由性质1，第行的数字组成以为首项、以1为公差的等差数列，则第行的数字之和为
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性质4数阵Ⅰ第行的数字之和为.
进一步，学生提出是不是能够求出前行的数字之和？我们继续尝试，实际上前行的数字之和即为.
性质5数阵Ⅰ前行的数字之和为.
对于这个问题我们做了很多的探究，学生们也觉得很有成就感，毕竟他们运用了很多在学习等差数列中的知识.不过，我却并不满足，我向大家提出了一个思考：我们是不是改变一下数阵中数字的排列顺序？结论会不会发生变化？或者我们是不是可以改变数阵中原先位置上的数字，使其以另一种数列的形式出现？是否又会有新的结论？
学生们陷入了深深的思考，于是我首先提出了一个变式，我将原数阵变为如图所示的形状，形成数阵Ⅱ，学生们很快发现这个数阵其实和数阵Ⅰ没有本质的区别，应此所有性质都保持不变.
紧接着，就陆续有学生提出了经他们各自改良后的数阵，如图所示的数阵Ⅲ、数阵Ⅳ、数阵Ⅴ，通过我们的探究，数阵Ⅲ其实只是将原先的数阵Ⅰ斜侧45°角，其他的性质并没有改变.
数阵Ⅳ则发生了微小的改变，注意到每一行的数字并没有变化，但是除去第1行之外的奇数行的数字排序颠倒了.因此这些奇数行的首项变成了原数阵Ⅰ中的对应行的末项，即，第行的数字之和与前行的数字之和并没有变化.数阵Ⅴ的变化类似数阵Ⅲ，之于数阵Ⅳ只是做了斜侧45°角的变化.
然后，我又看到有同学提出了这样一个与众不同的数阵Ⅵ，如图所示.我不由眼前一亮，赶忙请大家一起来看，是不是能发现其中的规律.学生们都看出这时候所有的正整数以一种全新的方式重新排列了，易于发现第行含有个正整数，且每行的数字组成了公差为2的等差数列.此外，我们还能发现该数阵的奇数行只含有奇数，且第1行有1个奇数，第3行有3个奇数，…；偶数行只含有偶数，且第2行有2个偶数，第4行有4个偶数，….
性质1（2）数阵Ⅵ的第行含有个正偶数，第行含有个正奇数，且每行的数字组成了公差为2的等差数列.
如果仔细探究下去，我们还能发现第行的第一个数的规律.，，，…，，，…，故对奇数行和偶数行分别利用累加法可求出各行首项的通项，即当时，有
，
则，同理可求出偶数行的首项，于是我们有：
性质2（2）数阵Ⅵ的第行的第一个数为.
有了以上的结论，对于第行第行的数字和第行各个正整数之和、前行的所有正整数之和的结论，学生们都可以一一推导出来，在此就不再赘述.
也有同学提出了一个完全不同的变式，他说数阵的排列完全有可能跳出三角形的形状，于是他提出了如图所示的数阵Ⅶ.该数阵就面貌一新了，正整数的排列仍然按照一定的次序，但并不那么明显了.我赞扬了同学的想法，并顺势提出请大家找到第2行第8列的数字是什么.学生一下慌了神，找不到思路了.我提示大家既然数阵的形状发生了改变，我们也就需要变换一下思路，而不再是单纯地找每行每列的数字了.学生渐渐发现了这个数阵中的数字隐藏着块状的规律，而且与完全平方数有着密切的联系.
从第一行的数字来看，除去，在偶数列位置上的正整数都是正偶数的平方，如，，…，即有，该偶数列上的正整数自上而下组成公差为-1，项数为项的等差数列，至末项后从右到左又组成公差为-1，项数为项的等差数列.奇数列位置上的正整数为相邻前一列位置上的正整数加1，即，该奇数列上的正整数自上而下组成公差为1，项数为项的等差数列，至末项后从右到左又组成公差为1，项数为项的等差数列.类似的结论也完全可以从第一列的数字来看，排列规律一致，只是排列方向作相应改变.
因此，对于数阵Ⅶ，我们可以将数阵中的正整数按照（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），…的方式进行块状分组，第组有个正整数，根据推导，我们能比较快速地找到对应位置上的数字，如.
这一下学生们的思路都给打开了，他们提出了各种各样的情况，其中有一个同学写出了这样的一个数阵，如图所示，这个数阵Ⅷ中的正整数排列是从中心向四周呈现螺旋放射形状的.这个数阵设计地十分精妙，也可以提出很多的问题，我也请大家一起来开动脑筋，探索一下这个数阵中蕴含着怎样的奥妙！
看着大家高涨的热情，我又笔锋一转，对大家说，如果我们不改变原来数阵的形状，但是将原先位置上的数字改变一下，看看会有什么不同.例如，我现在在数阵Ⅰ的各个位置上放上一个等比数列试试看.学生们都瞪大了眼镜，也有几个机灵的同学赶紧拿起笔演算起来.现在让我们一起来看这个数阵Ⅸ，运用之前的方法再来探究它的一些性质.
性质1（3）数阵Ⅸ中的数字从上至下排列，第行有个正整数，第行的所有数字组成公比为2的等比数列.
对于每一行的首项，，，…，运用累乘法，可求得，则.
性质2（3）数阵Ⅸ第行的第1个数为.
性质3（3）数阵Ⅸ第行的第个数为.
性质4（3）数阵Ⅸ第行的数字之和为.
性质5（3）数阵Ⅸ前行的数字之和为.