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一、填空题
1.函数y=x－x2的定义域是.
2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,12)，则f(14)= .
3.已知直线y=ex是f(x)=ex的切线，则切点坐标为.
4.若a=log132,b=log23,c=(12)0.3，则a,b,c的大小关系为.
5.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a= .
6.函数f(x)=2x+3x的零点所在区间为(n－1,n),n∈N，则n= .
7. 函数f(x)=2－x,x≤1log81x,x>1 ，则满足f(x)=14的x的值为 .
8.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)=f(x+2)且f(1)=2，则f(2011)－f(2010)=.
9.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)= .
10.已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x3－4x，且f(x)的图象过点(0,－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x=
11. 设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N，则当|MN|达到最小时t的值为
12.已知函数f(x)=13x3+x2+(2a－1)x+a2－a+1，若f′(x)=0在(1,3］上有解，则实数a的取值范围是
13.已知函数f(x)=|x2－2|，若f(a)≥f(b)，且0≤a≤b，则满足条件的点(a,b)所围成区域的面积为
14. 在直角坐标平面内两点P,Q满足条件：
①P,Q都在函数f(x)的图象上；
②P,Q关于原点对称，则称点(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”（点对(P,Q)与点对(Q,P)看作同一个“友好点对”），
已知函数f(x)=2x2+4x+1,x<02ex,x≥0 ，则f(x)的“友好点对”有 个．
二、解答题
15. 已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,－1)，且在x=1处的切线方程为2x+y－2=0，求y=f(x)的表达式．
16. 某商场预计2012年1月份起前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)（单位：件）与x的关系近似地满足p(x)=12x(x+1)(39－2x),(x∈N，且x≤12) ．
该商品第x月的进货单价q(x)（单位：元）与x的近似关系是
q(x)=150+2x,(x∈N,1≤x≤6)185－160x,(x∈N,7≤x≤12)
（Ⅰ）写出2012年第x月的需求量f(x)（单位：件）与x的函数关系式；
（Ⅱ）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2012年第几月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？
17. 已知函数f(x)=ax2+bx+1,F(x)=f(x),x>0－f(x),x<0 ．
（1）若f(－1)=0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
（2）设m>0,n<0,m+n>0,a>0，f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0．
18. 设f(x)是定义在［－1,1］上的奇函数，函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(0,1］时，g(x)=lnx－ax2．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若对于区间(0,1］上任意的x，都有|f(x)|≥1成立，求实数a的取值范围．
19.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线斜率为－3．若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
20.对定义在区间D上的函数f(x)和g(x)，如果对于任意x∈D，都有|f(x)－g(x)|≤1成立，那么称函数f(x)在区间D上可被函数g(x)替代．
（1）若f(x)=x2－1x,g(x)=lnx，试判断在区间［1,e］上f(x)能否被g(x)替代；
（2）记f(x)=x,g(x)=lnx，证明f(x)在(1m,m)(m>1)上不能被g(x)替代；
（3）设f(x)=alnx－ax,g(x)=－12x2+x，若f(x)在区间［1,e］上能被g(x)替代，求实数a的范围．
参考答案
一、填空题
1. ［0,1］；
2. 2
3. (1,e)
4. a1
5. 0
6. 0
7. 3
8. 2 提示：周期为5，f(2010)=f(0)=0
9.－1 提示：f′(x)=2f′(1)+1x
10. 0 提示：f(x)=x4－2x2－5，f(0)=－5
11. 22 提示：|MN|=t2－lnt，即利用导数求y=t2－lnt取得最小值时t的值
12. －7≤a<－1
13. π2
14. 2 假设f(x)=2x2+4x+1,x<02ex,x≥0图象上存在“友好点对”，则方程
2e-x+2x2+4x+1=0必有实根，即得2ex+2x2+4x+1=0
有实数根，令g(x)=2ex,h(x)=-(2x2+4x+1),
在直角坐标系中画出g(x),h(x)的图象.
∵g(-1)=2e-1<1,h(-1)=1,结合图形知g(x)和h(x)有两个交点，即可得方程
2ex+2x2+4x+1=0有两个实数根，即f(x)有两个“友好点对”.
二、解答题
15. 解：因f(x)是偶函数，得f(－x)=f(x)，则b=d=0，故f(x)=ax4+cx2+e．
由函数f(x)的图象A(0,－1)，得e=－1，则f(x)=ax4+cx2－1．f′(x)=4ax3+2cx，
又因在x=1处的切线方程为2x+y－2=0，则f′(1)=4a+2c=－2，且f(1)=a+c－1=0，解得a=－2,c=3，故f(x)=－2x4+3x2－1．
16. 解：（Ⅰ）当x=1时，f(1)=p(1)=37．当2≤x≤12，且x∈N时，f(x)=p(x)－p(x－1)
=12x(x+1)(39－2x)－12(x－1)x(41－2x)=－3x2+40x．验证x=1也符合f(x)=－3x2+40x，故f(x)=－3x2+40x，(x∈Z，且1≤x≤12)
（Ⅱ）该商场预计第x月销售该商品的月利润为g(x)=(－3x2+40x)(35－2x),1≤x≤6(－3x2+40x)•160x,7≤x≤12
即g(x)=6x3－185x2+1400x,1≤x≤6－480x+6400,7≤x≤12 ．
当1≤x≤6时，g′(x)=18x2－370x+1400=0，解得x=5或x=1409（舍去），
易得当x=5时，g(x)max=g(5)=3125；
当7≤x≤12时，g(x)单调递减，g(x)max=g(7)=3040．
综上，商场2012年第5月份的月利润最大，最大利润为3125元．
17. 解析：（1）由f(－1)=0得b=a+1．由f(x)≥0恒成立，得Δ=b2－4a=(a+1)2－4a=(a－1)2≤0，则a=1．故F(x)=(x+1)2,x>0－(x+1)2,x<0 ．
1.函数y=x－x2的定义域是.
2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,12)，则f(14)= .
3.已知直线y=ex是f(x)=ex的切线，则切点坐标为.
4.若a=log132,b=log23,c=(12)0.3，则a,b,c的大小关系为.
5.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a= .
6.函数f(x)=2x+3x的零点所在区间为(n－1,n),n∈N，则n= .
7. 函数f(x)=2－x,x≤1log81x,x>1 ，则满足f(x)=14的x的值为 .
8.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－3)=f(x+2)且f(1)=2，则f(2011)－f(2010)=.
9.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)= .
10.已知函数f(x)的导数为f′(x)=4x3－4x，且f(x)的图象过点(0,－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x=
11. 设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N，则当|MN|达到最小时t的值为
12.已知函数f(x)=13x3+x2+(2a－1)x+a2－a+1，若f′(x)=0在(1,3］上有解，则实数a的取值范围是
13.已知函数f(x)=|x2－2|，若f(a)≥f(b)，且0≤a≤b，则满足条件的点(a,b)所围成区域的面积为
14. 在直角坐标平面内两点P,Q满足条件：
①P,Q都在函数f(x)的图象上；
②P,Q关于原点对称，则称点(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”（点对(P,Q)与点对(Q,P)看作同一个“友好点对”），
已知函数f(x)=2x2+4x+1,x<02ex,x≥0 ，则f(x)的“友好点对”有 个．
二、解答题
15. 已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,－1)，且在x=1处的切线方程为2x+y－2=0，求y=f(x)的表达式．
16. 某商场预计2012年1月份起前x个月，顾客对某商品的需求总量p(x)（单位：件）与x的关系近似地满足p(x)=12x(x+1)(39－2x),(x∈N，且x≤12) ．
该商品第x月的进货单价q(x)（单位：元）与x的近似关系是
q(x)=150+2x,(x∈N,1≤x≤6)185－160x,(x∈N,7≤x≤12)
（Ⅰ）写出2012年第x月的需求量f(x)（单位：件）与x的函数关系式；
（Ⅱ）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2012年第几月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？
17. 已知函数f(x)=ax2+bx+1,F(x)=f(x),x>0－f(x),x<0 ．
（1）若f(－1)=0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式；
（2）设m>0,n<0,m+n>0,a>0，f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0．
18. 设f(x)是定义在［－1,1］上的奇函数，函数g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(0,1］时，g(x)=lnx－ax2．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若对于区间(0,1］上任意的x，都有|f(x)|≥1成立，求实数a的取值范围．
19.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线斜率为－3．若过点A(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
20.对定义在区间D上的函数f(x)和g(x)，如果对于任意x∈D，都有|f(x)－g(x)|≤1成立，那么称函数f(x)在区间D上可被函数g(x)替代．
（1）若f(x)=x2－1x,g(x)=lnx，试判断在区间［1,e］上f(x)能否被g(x)替代；
（2）记f(x)=x,g(x)=lnx，证明f(x)在(1m,m)(m>1)上不能被g(x)替代；
（3）设f(x)=alnx－ax,g(x)=－12x2+x，若f(x)在区间［1,e］上能被g(x)替代，求实数a的范围．
参考答案
一、填空题
1. ［0,1］；
2. 2
3. (1,e)
4. a
5. 0
6. 0
7. 3
8. 2 提示：周期为5，f(2010)=f(0)=0
9.－1 提示：f′(x)=2f′(1)+1x
10. 0 提示：f(x)=x4－2x2－5，f(0)=－5
11. 22 提示：|MN|=t2－lnt，即利用导数求y=t2－lnt取得最小值时t的值
12. －7≤a<－1
13. π2
14. 2 假设f(x)=2x2+4x+1,x<02ex,x≥0图象上存在“友好点对”，则方程
2e-x+2x2+4x+1=0必有实根，即得2ex+2x2+4x+1=0
有实数根，令g(x)=2ex,h(x)=-(2x2+4x+1),
在直角坐标系中画出g(x),h(x)的图象.
∵g(-1)=2e-1<1,h(-1)=1,结合图形知g(x)和h(x)有两个交点，即可得方程
2ex+2x2+4x+1=0有两个实数根，即f(x)有两个“友好点对”.
二、解答题
15. 解：因f(x)是偶函数，得f(－x)=f(x)，则b=d=0，故f(x)=ax4+cx2+e．
由函数f(x)的图象A(0,－1)，得e=－1，则f(x)=ax4+cx2－1．f′(x)=4ax3+2cx，
又因在x=1处的切线方程为2x+y－2=0，则f′(1)=4a+2c=－2，且f(1)=a+c－1=0，解得a=－2,c=3，故f(x)=－2x4+3x2－1．
16. 解：（Ⅰ）当x=1时，f(1)=p(1)=37．当2≤x≤12，且x∈N时，f(x)=p(x)－p(x－1)
=12x(x+1)(39－2x)－12(x－1)x(41－2x)=－3x2+40x．验证x=1也符合f(x)=－3x2+40x，故f(x)=－3x2+40x，(x∈Z，且1≤x≤12)
（Ⅱ）该商场预计第x月销售该商品的月利润为g(x)=(－3x2+40x)(35－2x),1≤x≤6(－3x2+40x)•160x,7≤x≤12
即g(x)=6x3－185x2+1400x,1≤x≤6－480x+6400,7≤x≤12 ．
当1≤x≤6时，g′(x)=18x2－370x+1400=0，解得x=5或x=1409（舍去），
易得当x=5时，g(x)max=g(5)=3125；
当7≤x≤12时，g(x)单调递减，g(x)max=g(7)=3040．
综上，商场2012年第5月份的月利润最大，最大利润为3125元．
17. 解析：（1）由f(－1)=0得b=a+1．由f(x)≥0恒成立，得Δ=b2－4a=(a+1)2－4a=(a－1)2≤0，则a=1．故F(x)=(x+1)2,x>0－(x+1)2,x<0 ．