摘要：本文运用亚纯函数的正规族理论证明了一个正规定则。
　　关键词：亚纯函数 正规族 微分多项式
　　一、引言及主要结果
　　设F是区域D内的亚纯函数族，如果从F中任一函数序列fn可选出一个子序列f■在区域D 上按球面距离内闭一致收敛于一个亚纯函数或∞，则称函数族在区域D内正规。
　　本文中，我们证明了以下定理。
　　定理1.1：设F是区域D内的亚纯函数族，n是一个正整数，a，b是两个常数满足a≠0，∞， b≠∞。若n≥2且对于F中任何一对函数f和g，f′-af-n与g′-ag-n 分担b， 则F在D内正规。
　　二、“定理1.1”的证明
　　假设F在D上不正规，则存在一个点z0，F在z0不正规，不失一般性，假定z0=0，由庞学诚正规引理，存在点列zj ∈△，zj→0，正实数列pj→0，函数列fj∈F，满足g■（？灼）=p■■f■（z■+p■？灼）在复平面C上按球面距离内闭一致收敛于g（？灼），g（？灼）是一个非常数亚纯函数，g（？灼）的级至多为2。
　　通过简单的讨论可得，g′（？灼）-ag-n（？灼）只有唯一一个零点。g不是多项式。
　　如果g是一个非多项式有理函数，同样令？鬃（？孜）=B■
　　（3.1）
　　B是一个常数。s≥1，t≥1，ui≥1（i=1，2，……s），vi≥1（i=1，2，……t）
　　令U=u1+u2+…+us （3.2）
　　V=v1+v2+…+vs （3.3）
　　？鬃′（？孜）=B■
　　=B■ （3.4）
　　其中h（？孜）p1（？孜）q1（？孜）是多项式。
　　因为？鬃′-a只有一个零点，令？鬃′-a=
　　C■
　　（3.5）
　　其中l是一个正整数，C是一个非零常数。
　　所以？鬃″=
　　C■（3.6）
　　其中p2（？孜）是一个多项式。
　　由（3.4）可得？鬃″=
　　■（3.7）
　　其中p3（？孜）是一个多项式。从（3.4）-（3.7），可得
　　deg（h）=s+t-1，deg（p1）≤（n+1）U+t-1，deg（q1）=（n+1）V+t （3.8）
　　从（3.5）和（3.6）可知，deg（p2）≤t s≤t
　　现在讨论两种情形，
　　（1）如果l≥（n+1）V+t，由（3.9）和（3.10）可知（n+1）V+t-1≤l-1≤deg（p3），由（3.10）（n+1）V+t-1≤l-1≤2s+2t-2，注意到V≥t，可得（n-2）t≤0，这与n≥2矛盾。
　　（2）如果l<（n+1）V+t，由（3.4）和（3.8）可得，deg（p1）=deg（q1） ，
　　所以（n+1）U+t-i=（n+1）V+t，所以U≠V，由（3.5）可得deg（h）=s+t-1，从而deg（p1）=（n+1）U+t-1，i=1因此（n+1）（U-V）=1，这与n≥2， U，V是整数矛盾。所以，这样的函数g不存在。所以F在D上正规。
　　参考文献：
　　[1]W.K. Hayman. Meromophic Function.Clarendon Press. Oxford. 1964.
　　[2]J.Schiff. Normal Families.Springer-verlag. Berlin.1993.
　　[3]L.Yang.Value Distribution. Springer-verlag. Berlin.1993.
　　[4]L. Zalcman， Normal families： New perspectives， Bull. Amer. Math. Soc. 35 （1998） 215-230.
　　西华师范大学科研启动项目资助
　　项目编号：08B034
　　（责编 张宇）