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（扶沟县高级中学 河南 扶沟 461300）
在物理教学中，教师要善于利用专题导学案，进行专题复习。笔者结合教学实践，以“等时圆专题导学案”为例，说明如何把相似、相近、相仿的问题，进行总结规律，归纳解题词方法，开扩解题思路，从而达到提高学习效果的。
1. 等时圆概念的提出 问题设置：如图1所示，物体沿着位于同一竖直圆上与竖直方向夹角均为θ的光滑弦AB和CD由静止下滑，则从最高点A到达B和从C到达圆周最低点D的时间分别为：tAB=________，tCD=__________.
图1问题分析：如图所示，连接BD
由几何知识知BD垂直于AB。
由牛顿第二定律：mg·cosθ=ma ①
由几何关系：x=2R·cosθ ②
由运动学公式：x= 12atAB2 ③
联立①②③得：t=2 Rg
1.1 “等时圆”的概念。设一个圆O，A是圆O的最高点，X是圆上任意一点，一物体从A开始，沿AX下滑到X，所用的时间是相等的，都是从A自由落体到圆最低点用的时间。反之，若将圆O倒置，亦成立。
1.2 规律总结。
（1）物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间均相等，且为t= 2 Rg
（2）物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周上任意点时间均相等，且为t= 2 Rg
（3）运动时间与弦的倾角无关，仅与圆的半径有关。
1.3 “等时圆”模型的使用条件。
（1）解决竖直平面内物体运动的时间比较或计算问题时较为方便；
（2）从静止开始运动；
（3）运动过程从“等时圆”最高点开始或到最低点结束。
2. 实例分析 【例1】（2004年高考）如图2所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图2中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（ D ）
图3A. 2（R+r） g B. 2R g+2r g
C. 4（R+r） g D. 4R g+4r g
3. 等时圆变型训练 （1）若开始点O不是最高点d，而是偏向了最高点的一侧。
【例2】如图4所示，oa、ob、oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，o、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中o点无初速释放，用t1、t2 、t3、依次表示滑到a、b、c所用的时间，则（ B ）
图4A.t1=t2=t3 B.t1>t2>t3 C.t1t1>t2
分析与解答：从O点向下做竖直线，再分别做Oa、Ob、Oc的垂直平分线，分别相交于O1、O2、O3，则O1、O2、O3即是三个等时圆的圆心。从图中很容易看出，三个圆的半径关系是：R1>R2>R3，再由t=2 Rg 得： t1>t2>t3，故选B
（2）若结束点O不是最低点d，而是偏向了最低点的一侧。
【练习2】如图5所示，在竖直面内有一圆，圆内OD为水平线，圆周上有三根互成30°的光滑杆OA、OB、OC，每根杆上套着一个小球（图中未画出）。现让一个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到O，所用的时间分别为tA、tB、tC，则（ ）
图5A、tA=tB=tC B、tA C、tA >tB>tC D、无法确定
答案：B
4. 构建等时圆 在有些问题设置中，没有圆，但我们可以构建一个等时圆，从而达到快速解题的目的。
【例3】倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO = OB = 10m，在C点竖直地固定一长10 m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图6所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g = 10m/s2）
图6A.2s和2s B.2s 和 2s
C.2s 和4s D.4s 和 2s
分析与解答：由于CO = OB =OA ，故A、B、C三点共圆，O为圆心。又因直杆AO竖直，A点是该圆的最高点，如图7所示。两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。设钢绳AB和AC与竖直方向夹角分别为α1、α2，该圆半径为r，则对钢球均有2rcosα=12gcosα·t2
解得： t=4rg
图7钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角α无关，且都等于由A到D的自由落体运动时间。代入数值得t=2s，选项A正确。
【练习3】如图8所示，AB是一个倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，P与AB间的竖直距离为H，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？最短时间为多少？
图8分析与解答（如图9）：
以P点为最高点向下做竖直线，分别以O1、O2、O3、……为圆心做圆，使某个圆刚好与AB相切，这个相切的圆即是我们要构建的等时圆。连接切点与该圆的圆心O与最高点P，由几何关系可知：当管道与竖直方向的夹角为θ/2时，所用时间为最短。
图9由几何关系得： R+Rcosθ=H
整理： R=hcosθ1+cosθ
最短时间为： t=4hcosθg（1+cosθ）
【练习4】在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆内与圆心O同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道PM到大环上，如图10所示， OP=d 图10 分析与解答：以定点P为最高点，做出一系列半径不同圆，我们称之为“动态 ”等时圆，这些等时圆的半径各不相同，刚好与大环内侧相切的等时圆半径最小，如右图11所示。由几何关系可知：M、O、O，三点共线。
图11几何关系有
R=r+r2+d2
得 r=R2-d22R
则OM与水平面的夹角α满足tanα=rd=R2-d22dR，或者 α=arctanR2-d22dR
在物理教学中，教师要善于利用专题导学案，进行专题复习。笔者结合教学实践，以“等时圆专题导学案”为例，说明如何把相似、相近、相仿的问题，进行总结规律，归纳解题词方法，开扩解题思路，从而达到提高学习效果的。
1. 等时圆概念的提出 问题设置：如图1所示，物体沿着位于同一竖直圆上与竖直方向夹角均为θ的光滑弦AB和CD由静止下滑，则从最高点A到达B和从C到达圆周最低点D的时间分别为：tAB=________，tCD=__________.
图1问题分析：如图所示，连接BD
由几何知识知BD垂直于AB。
由牛顿第二定律：mg·cosθ=ma ①
由几何关系：x=2R·cosθ ②
由运动学公式：x= 12atAB2 ③
联立①②③得：t=2 Rg
1.1 “等时圆”的概念。设一个圆O，A是圆O的最高点，X是圆上任意一点，一物体从A开始，沿AX下滑到X，所用的时间是相等的，都是从A自由落体到圆最低点用的时间。反之，若将圆O倒置，亦成立。
1.2 规律总结。
（1）物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间均相等，且为t= 2 Rg
（2）物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周上任意点时间均相等，且为t= 2 Rg
（3）运动时间与弦的倾角无关，仅与圆的半径有关。
1.3 “等时圆”模型的使用条件。
（1）解决竖直平面内物体运动的时间比较或计算问题时较为方便；
（2）从静止开始运动；
（3）运动过程从“等时圆”最高点开始或到最低点结束。
2. 实例分析 【例1】（2004年高考）如图2所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图2中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（ D ）
图3A. 2（R+r） g B. 2R g+2r g
C. 4（R+r） g D. 4R g+4r g
3. 等时圆变型训练 （1）若开始点O不是最高点d，而是偏向了最高点的一侧。
【例2】如图4所示，oa、ob、oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，o、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c为最低点，每根杆上套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环都从图中o点无初速释放，用t1、t2 、t3、依次表示滑到a、b、c所用的时间，则（ B ）
图4A.t1=t2=t3 B.t1>t2>t3 C.t1t1>t2
分析与解答：从O点向下做竖直线，再分别做Oa、Ob、Oc的垂直平分线，分别相交于O1、O2、O3，则O1、O2、O3即是三个等时圆的圆心。从图中很容易看出，三个圆的半径关系是：R1>R2>R3，再由t=2 Rg 得： t1>t2>t3，故选B
（2）若结束点O不是最低点d，而是偏向了最低点的一侧。
【练习2】如图5所示，在竖直面内有一圆，圆内OD为水平线，圆周上有三根互成30°的光滑杆OA、OB、OC，每根杆上套着一个小球（图中未画出）。现让一个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到O，所用的时间分别为tA、tB、tC，则（ ）
图5A、tA=tB=tC B、tA C、tA >tB>tC D、无法确定
答案：B
4. 构建等时圆 在有些问题设置中，没有圆，但我们可以构建一个等时圆，从而达到快速解题的目的。
【例3】倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO = OB = 10m，在C点竖直地固定一长10 m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图6所示，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（取g = 10m/s2）
图6A.2s和2s B.2s 和 2s
C.2s 和4s D.4s 和 2s
分析与解答：由于CO = OB =OA ，故A、B、C三点共圆，O为圆心。又因直杆AO竖直，A点是该圆的最高点，如图7所示。两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件。设钢绳AB和AC与竖直方向夹角分别为α1、α2，该圆半径为r，则对钢球均有2rcosα=12gcosα·t2
解得： t=4rg
图7钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角α无关，且都等于由A到D的自由落体运动时间。代入数值得t=2s，选项A正确。
【练习3】如图8所示，AB是一个倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，P与AB间的竖直距离为H，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？最短时间为多少？
图8分析与解答（如图9）：
以P点为最高点向下做竖直线，分别以O1、O2、O3、……为圆心做圆，使某个圆刚好与AB相切，这个相切的圆即是我们要构建的等时圆。连接切点与该圆的圆心O与最高点P，由几何关系可知：当管道与竖直方向的夹角为θ/2时，所用时间为最短。
图9由几何关系得： R+Rcosθ=H
整理： R=hcosθ1+cosθ
最短时间为： t=4hcosθg（1+cosθ）
【练习4】在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆内与圆心O同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道PM到大环上，如图10所示， OP=d
图11几何关系有
R=r+r2+d2
得 r=R2-d22R
则OM与水平面的夹角α满足tanα=rd=R2-d22dR，或者 α=arctanR2-d22dR