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平面解析几何：通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间、曲线与方程之间的一一对应关系，使形与数统一起来，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题.
求解解几问题的三大步骤为：
1.明确研究对象.在众多信息中提炼出问题的核心所在，或是一个动点、一条直线、一个变量等等.
2.构造数量关系.或将几何特征转换成数量关系，或通过中间量将已知与未知取得联系，或明确两个变量所满足的约束条件等等.
3.利用关系解题.将构造的方程或函数或不等式或恒等式进行运算推理，从而解决问题.
直线与圆是解析几何的重要组成部分，是对学生进行“解几思想”启蒙的最佳素材，是高考命题的热点.直线与圆的位置关系有相交、相切、相离，根据图形的几何特性（特别是对称性），构造三角形（特别是直角三角形），使得相应的一些基本量（线段长、角度、面积等）之间的关系得以明确.
1.直线与圆相交
基本量有：
半径ON，半弦PN，弦心距OP，圆心角∠MON等，在Rt△OPN中有：
ON2=PN2+OP2， cos∠PON=OPON，sin∠PON=PNON等关系.
所有图形元素关于直线OP对称.
2.直线与圆相切
基本量有：
半径ON，切线长PN，点到圆心的距离OP，圆心角∠MON等，在Rt△OPN中有：
OP2=PN2+ON2，cos∠PON=ONOP，sin∠PON=PNOP等关系.
四边形PMON的外接圆直径为线段OP，与圆O的公共弦为MN，且MN⊥OP.
所有图形元素关于直线OP对称.
3.直线与圆相离
圆上到直线距离最小的点为M，到直线距离最大的点为N，M,O,N三点共线，且所在直线与已知直线垂直.
在求解解几问题时本着“能见则见，不见就算”的原则，即通过观察尽量利用图形的性质，将基本量之间的关系进行转化，尤其是一些最大、最小值的问题，充分利用图形的对称性，在运动变化中寻找最值所对应的特别状态.
例如：
已知圆M:(x－1)2+(y－1)2=4，直线l:x+y－6=0，A为直线l上一点，过点A作圆的切线MD,ME，切点分别为D,E.
(1)求MD•ME的最大值；
(2)求弦长DE的最小值；
(3)求四边形ADME面积的最小值；
(4)若圆M上存在两点B,C，使得∠BAC=60°，求点A横坐标的取值范围.
分析：
（1）MD•ME=|MD||ME|cos∠DME
=4cos∠DME=4(2cos2∠AME-1)
=4(2ME2MA2-1)=4(8MA2-1)
当MA⊥l时，MA最小为22，MD•ME的最大值为0.
(2)在△DME中，DE2=DM2+EM2-2DM•EMcos∠DME
=8-8(2cos2∠AME-1)=16-16ME2MA2=16-164MA2
当MA⊥l时，MA最小为22，弦长DE的最小值为22.
（3）在Rt△AME中：
S△AME=12AE•ME=12MA2-ME2•ME，
所以S四边形=2S△AME=MA2-ME2•ME=2MA2-4
当MA⊥l时，MA最小为22，四边形ADME的面积最小值为4.
（4）由题意得：∠DAE≥60°，即∠MAE≥30°，
∴sin∠MAE=MEMA≥12∴MA≤2AE=4
设点A(x,6-x)，由MA=(x-1)2+(6-x-1)2≤4，解得1≤x≤5.
总结：
第（1）（2）（3）题中的最大（小）值均是在MA⊥l即A为(3,3)点时取得，这是由图形的对称性所决定的，第（4）题中A点横坐标的取值范围也是关于(3,3)对称的.
对于一些复杂的问题，往往不能通过观察能得到结论，这就需要通过运算推理来得到解决.
例如：
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x+3)2+(y－1)2=4和圆C2:(x－4)2+(y－5)2=4，设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
分析：
设点P(m,n)，直线l1:y-n=k(x-m)，即kx-y-km+n=0；
直线l2:y-n=-1k(x-m)即x+ky-m-kn=0
由题意得圆心C1(-3,1)、C2(4,5)到直线l1、l2的距离
d1=|-3k-1-km+n|k2+1=d2=|4+5k-m-kn|k2+1
化简得-3k-1-km+n=4+5k-m-kn或-3k-1-km+n=-(4+5k-m-kn).
令-3-m=5-n,-1+n=4-m, 或-3-m=-5+n,-1+n=-4+m,
得m=-32,n=132, 或m=52,n=-12.
所以满足条件的点P的坐标为(-32,132)或(52,-12)．
再思考：
所求得的P点在线段C1C2的垂直平分线上，四点围成正方形P1C1P2C2，整个图形关于线段C1C2的垂直平分线对称.
以上两例均与圆有直接关系，由圆的性质延伸开来，可以解决一些与圆相关的问题.
例如：
过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y的正半轴于A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程.
分析：
除了用常规的解析法，通过计算来求解之外，也可以充分利用圆的性质解题.
由于OA⊥OB，MA⊥MB，所以O,A,M,B四点共圆，直径为AB，
由题意得Rt△ABORt△ABM(或者Rt△ABORt△BAM).
由平面几何知识可得直线AB为线段OM的垂直平分线，或者四边形OAMB为矩形，由此易得直线AB的方程.
所以，求解关于直线与圆的解几问题，可以充分应用平几性质，将问题化归，从而打开解题思路，也可以作为一种检验的办法，来验证用解析法求得的结果是否正确.
（作者:封明晨,苏州大学附属中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
求解解几问题的三大步骤为：
1.明确研究对象.在众多信息中提炼出问题的核心所在，或是一个动点、一条直线、一个变量等等.
2.构造数量关系.或将几何特征转换成数量关系，或通过中间量将已知与未知取得联系，或明确两个变量所满足的约束条件等等.
3.利用关系解题.将构造的方程或函数或不等式或恒等式进行运算推理，从而解决问题.
直线与圆是解析几何的重要组成部分，是对学生进行“解几思想”启蒙的最佳素材，是高考命题的热点.直线与圆的位置关系有相交、相切、相离，根据图形的几何特性（特别是对称性），构造三角形（特别是直角三角形），使得相应的一些基本量（线段长、角度、面积等）之间的关系得以明确.
1.直线与圆相交
基本量有：
半径ON，半弦PN，弦心距OP，圆心角∠MON等，在Rt△OPN中有：
ON2=PN2+OP2， cos∠PON=OPON，sin∠PON=PNON等关系.
所有图形元素关于直线OP对称.
2.直线与圆相切
基本量有：
半径ON，切线长PN，点到圆心的距离OP，圆心角∠MON等，在Rt△OPN中有：
OP2=PN2+ON2，cos∠PON=ONOP，sin∠PON=PNOP等关系.
四边形PMON的外接圆直径为线段OP，与圆O的公共弦为MN，且MN⊥OP.
所有图形元素关于直线OP对称.
3.直线与圆相离
圆上到直线距离最小的点为M，到直线距离最大的点为N，M,O,N三点共线，且所在直线与已知直线垂直.
在求解解几问题时本着“能见则见，不见就算”的原则，即通过观察尽量利用图形的性质，将基本量之间的关系进行转化，尤其是一些最大、最小值的问题，充分利用图形的对称性，在运动变化中寻找最值所对应的特别状态.
例如：
已知圆M:(x－1)2+(y－1)2=4，直线l:x+y－6=0，A为直线l上一点，过点A作圆的切线MD,ME，切点分别为D,E.
(1)求MD•ME的最大值；
(2)求弦长DE的最小值；
(3)求四边形ADME面积的最小值；
(4)若圆M上存在两点B,C，使得∠BAC=60°，求点A横坐标的取值范围.
分析：
（1）MD•ME=|MD||ME|cos∠DME
=4cos∠DME=4(2cos2∠AME-1)
=4(2ME2MA2-1)=4(8MA2-1)
当MA⊥l时，MA最小为22，MD•ME的最大值为0.
(2)在△DME中，DE2=DM2+EM2-2DM•EMcos∠DME
=8-8(2cos2∠AME-1)=16-16ME2MA2=16-164MA2
当MA⊥l时，MA最小为22，弦长DE的最小值为22.
（3）在Rt△AME中：
S△AME=12AE•ME=12MA2-ME2•ME，
所以S四边形=2S△AME=MA2-ME2•ME=2MA2-4
当MA⊥l时，MA最小为22，四边形ADME的面积最小值为4.
（4）由题意得：∠DAE≥60°，即∠MAE≥30°，
∴sin∠MAE=MEMA≥12∴MA≤2AE=4
设点A(x,6-x)，由MA=(x-1)2+(6-x-1)2≤4，解得1≤x≤5.
总结：
第（1）（2）（3）题中的最大（小）值均是在MA⊥l即A为(3,3)点时取得，这是由图形的对称性所决定的，第（4）题中A点横坐标的取值范围也是关于(3,3)对称的.
对于一些复杂的问题，往往不能通过观察能得到结论，这就需要通过运算推理来得到解决.
例如：
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x+3)2+(y－1)2=4和圆C2:(x－4)2+(y－5)2=4，设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
分析：
设点P(m,n)，直线l1:y-n=k(x-m)，即kx-y-km+n=0；
直线l2:y-n=-1k(x-m)即x+ky-m-kn=0
由题意得圆心C1(-3,1)、C2(4,5)到直线l1、l2的距离
d1=|-3k-1-km+n|k2+1=d2=|4+5k-m-kn|k2+1
化简得-3k-1-km+n=4+5k-m-kn或-3k-1-km+n=-(4+5k-m-kn).
令-3-m=5-n,-1+n=4-m, 或-3-m=-5+n,-1+n=-4+m,
得m=-32,n=132, 或m=52,n=-12.
所以满足条件的点P的坐标为(-32,132)或(52,-12)．
再思考：
所求得的P点在线段C1C2的垂直平分线上，四点围成正方形P1C1P2C2，整个图形关于线段C1C2的垂直平分线对称.
以上两例均与圆有直接关系，由圆的性质延伸开来，可以解决一些与圆相关的问题.
例如：
过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x，y的正半轴于A，B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB的方程.
分析：
除了用常规的解析法，通过计算来求解之外，也可以充分利用圆的性质解题.
由于OA⊥OB，MA⊥MB，所以O,A,M,B四点共圆，直径为AB，
由题意得Rt△ABORt△ABM(或者Rt△ABORt△BAM).
由平面几何知识可得直线AB为线段OM的垂直平分线，或者四边形OAMB为矩形，由此易得直线AB的方程.
所以，求解关于直线与圆的解几问题，可以充分应用平几性质，将问题化归，从而打开解题思路，也可以作为一种检验的办法，来验证用解析法求得的结果是否正确.
（作者:封明晨,苏州大学附属中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文