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摘 要 分析了人教A版函数定义存在的几个问题：一是教材中函数定义违背了“定义要相称”的规则；二是定义中同一个符号或字母的意义不完全同一；三是教材中函数定义的叙述不够简明。针对这些问题，对函数定义提出了修订建议。
关键词 函数定义 下定义 修订
数学对于人思维培养最重要的作用在于培养人的理性思维（精神），而培养人的理性思維（精神）最根本的实现路径是培养人的逻辑思维。概念、判断和推理是逻辑思维的三大基本形式，其中概念是逻辑思维最基本的形式，可以说概念是逻辑思维的细胞。数学概念是数量关系和空间形式的本质属性或特征在人脑中的反应。函数作为研究变量之间关系的科学，在数学中占有极其重要的地位。“函数是数学的灵魂”（克莱因语）[1]。函数作为数学中最核心的基本概念之一，不仅是高中数学最重要的一条教学主线，而且是培养学生逻辑思维十分宝贵的教学素材。因此，函数定义具有较高的教育价值和研究价值。
对高中函数定义本身存在的逻辑问题，至今尚未看到相关的研究与文献。本文对函数定义本身存在的逻辑问题提出质疑，并作一些分析和探讨。为研究简单，以目前全国使用最多的人教A版高中数学教材（必修1）（以下简称教材）为例，对教材中函数定义存在的逻辑问题进行了分析，提出了修订意见。
一、函数定义存在的问题
教材中函数定义为：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域（range）[2]。
研究数学概念的一项重要工作是给概念下定义。按照逻辑学的要求，下定义必须遵守4条规则：“定义要相称，定义不得循环，定义要简明即简单、明确，定义一般不用否定形式”[3]。其中，定义要相称是指定义项的外延与被定义项的外延必须相等。十三院校协编组编写的《中学数学教材教法总论》（第二版）第121页也写了这4条规则，并对“定义应简明”作了解释，即“定义中不应列举非本质属性或者多余的词语”[4]。这4条规则是判断一个定义是否存在逻辑问题的重要标准。学科教学专家和中学一线教师在编写教材或使用教材时应该示范性地遵守下定义的4条规则。
笔者依据下定义必须遵循的规则，结合自己的思考发现，教材中函数定义违背下定义的两条规则，即违背了“定义要相称”和“定义要简单、明确”。由此推知，教材中函数定义存在三个问题：一是教材中函数定义违背了“定义要相称”的规则；二是定义中同一个符号或字母的意义不完全同一，具体表现在定义中有些相同字母的意义不尽同一或一致；三是教材中函数定义的叙述不简明。
1.教材中函数定义违背了“定义要相称”的规则
函数按自变量的个数分类，可以分为一元函数和多元函数，因此，“函数”概念的外延等于“一元函数”的外延加“多元函数”的外延。从函数定义的字面意义来看，被定义项是“函数”，而定义项是“一元函数”，因此，被定义项的外延不等于定义项的外延，这就违背了“定义要相称”的规则。被定义项是“函数”还意味着，这里的“函数”可以是“一元函数”也可以是“多元函数”，很显然，被定义项的外延扩大了。例如，z=x-2y或f（x，y）=x-2y是函数吗？这显然是一个二元函数，当然是函数。但如果用上述定义判断，z=x-2y不是函数，这显然是荒谬的。因为教材中函数定义实质上是“一元函数”的定义，而不是“多元函数”的定义。所以，荒谬是用“一元函数”的定义去判断二元函数造成的。因此，笔者建议，高中函数定义应指明：“那么就称f：A→B为从数集A到数集B的一个一元函数，简称为函数”，加上“一元”二字就保证了“定义要相称”。
2.定义中同一个符号或字母的意义不完全同一
按照逻辑学的要求，在一个定义中，同一个词语、同一个符号它们的意义（含义）必须保持同一性，也就是应该保持前后一致。
定义中x共出现了9次，其意义不完全同一或不完全一致。x第一次出现在“一个数x”或“任意一个数x”，这里的x是一个数；x第二次出现在“数f（x）”，这里的f（x）表示一个数，那么x也是数，但这里x的有多少个呢，情况是非常复杂的；第三、四次x出现在“y=f（x），x∈A”，这里的x是自变量。可以看出，x有时是一个数，有时是自变量。还需要思考的问题是，定义中x出现的次数能够减少吗？
字母A出现了7次。第一次出现在“设A、B是非空的数集”，第二次的表述变成“集合A”。很明显，第二次的“集合”比第一次的“数集”范围扩大了，造成这两次的表述不一致。笔者建议，将两次的表述都统一写成“数集”，也可以把第二次的表述“集合A”简化为“A”。还需要思考的问题是，定义中A出现的次数能够减少吗？
符号f（x）共出现了3次。第一次出现在“在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应”，这里的“数f（x）”中的f（x）是数；第二次出现在“记作y=f（x），x∈A”中，这里的f（x）是“函数”；第三次出现在“函数值的集合{y=f（x）|x∈A}叫做函数的值域”，这里的f（x）是集合的代表元，是函数值。总之，f（x）第一次是表示数、第二次表示函数、第三次表示函数值，它们的含义不尽相同。笔者建议，在函数定义第一学时的课中不需把符号{y=f（x）|x∈A}呈现出来，或在定义中根本就不出现符号{y=f（x）|x∈A}，这有利于分散教学难点，降低学习难度。还需要思考的问题是，定义中f（x）出现的次数能够减少吗？
3.教材中函数定义的叙述不简明且难懂
下面两则是其他文献对函数的定义：
给定非空实数集合X、Y，给定对应关系f，如果 X中每一个元素x，根据对应关系f，都有Y中唯一确定的元素f（x）与之对应，那么我们就把此对应关系f叫做集合X到集合Y的函数，或把f：X→Y或y=f（x）称为一个函数[5]。 1837年，德国数学家狄里克莱的定义是“如果对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数”[6]。
对应关系是函数的本质，描述对应关系的语句是函数定义的精髓。在叙述对应关系时一般有“如果X中每一个元素x，根据对应关系f，都有Y中唯一确定的元素f（x）与之对应” [5]，或“如果对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之对应”[6]，或“使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应”[2]等语句出现，这些语句一般分成两句或三句，最后几个字往往都能提取出相同或相近的说法“f（x）与之对应”“值与之对应”“f（x）和它对应”，这些叙述有点绕，容易产生歧义。以教材中函数定义为例来分析，“f（x）和它对应”中的“它”显然是指x，就是说f（x）和x对应。由此问题就出来了是“f（x）对应x”呢？还是“x对应f（x）”呢？按“f（x）和它对应”的字面意思，应理解为“f（x）对应x”，但定义的本意是“x对应f（x）”。因此，笔者建议，把“使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应”改为：“使A中的任意一个数都对应着B中唯一确定的数”，也可以改为“使A中的每一个数都对应着B中唯一确定的数”，这样表述就简洁、顺畅了。
按照“定义应简明，即定义中不应列举非本质属性或者多余的词语”[4]的要求，定义中不应列举非本质属性的词语、字母、符号，应尽可能地减少同一个词语或字母或符号出现的次数。教材的函数定义中，x共出现了9次、字母A出现了7次、符号f（x）出现了3次。同一个字母或符号多次出现，就远远达不到“定义应简明”的要求。怎样才能达到“定义应简明”的要求呢？一个简单的做法是，尽可能地减少同一个字母或符号或词语出现的次数，可要可不要的字母或符号或词语就一定不要让它出现。同一个字母或符号或词语出现的次数越少，定义的叙述就越简明，且同一个字母或符号或词语的含义就越能保持同一性。
二、函数定义的修订建议
针对上述问题，在给函数下定义时应注意以下几点：一是高中函数定义应指明是一元函数，并简称为函数；二是减少x、 A、f（x）等符号出现的次数；三是文字叙述不能有歧义；四是必须遵循下定义的4条规则；五是要注意定义中同一词语意义的同一性，相同符号含义的一致性，语言表述的准确性和简单性等。基于此，对函数定义提出修订建议。
函数定义（修订建议）：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使A中的每一个数都对应着B中唯一确定的数，那么就称f：A→B为一个一元函数，简称为函数，记作y=f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，A叫做函数的定义域，与自变量的取值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
在该函数定義中，x出现了2次， A出现了4次，f（x）只出现1次。利用该函数定义，函数的本质可简述为：自变量在定义域中的每一个值都对应并且只对应一个函数值，即自变量在定义域中的每一个值都有且只有一个函数值。认识这一本质，函数就容易理解了。
参考文献
[1] 卡茨.数学史通论[M]（第二版）. 李文林， 邹建成，胥鸣伟，译.北京：高等教育出版社，2004.
[2] 刘邵学，等.普通高中课程标准实验教科书数学必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2004.
[3] 翁凯庆. 数学教育概论[M]. 成都：四川大学出版社，2007.
[4] 十三院校协编组.中学数学教材教法总论[M]（第二版）. 北京：高等教育出版社，1987.
[5] 武锡环，郭宗明.数学史与数学教育[M].西安：电子科技出版社，2003.
[6] 彭林，童纪元. 借助函数概念的发展史引入函数概念[J]. （人大复印）初中数学教与学，2011，（9）.
【责任编辑 郭振玲】
关键词 函数定义 下定义 修订
数学对于人思维培养最重要的作用在于培养人的理性思维（精神），而培养人的理性思維（精神）最根本的实现路径是培养人的逻辑思维。概念、判断和推理是逻辑思维的三大基本形式，其中概念是逻辑思维最基本的形式，可以说概念是逻辑思维的细胞。数学概念是数量关系和空间形式的本质属性或特征在人脑中的反应。函数作为研究变量之间关系的科学，在数学中占有极其重要的地位。“函数是数学的灵魂”（克莱因语）[1]。函数作为数学中最核心的基本概念之一，不仅是高中数学最重要的一条教学主线，而且是培养学生逻辑思维十分宝贵的教学素材。因此，函数定义具有较高的教育价值和研究价值。
对高中函数定义本身存在的逻辑问题，至今尚未看到相关的研究与文献。本文对函数定义本身存在的逻辑问题提出质疑，并作一些分析和探讨。为研究简单，以目前全国使用最多的人教A版高中数学教材（必修1）（以下简称教材）为例，对教材中函数定义存在的逻辑问题进行了分析，提出了修订意见。
一、函数定义存在的问题
教材中函数定义为：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域（range）[2]。
研究数学概念的一项重要工作是给概念下定义。按照逻辑学的要求，下定义必须遵守4条规则：“定义要相称，定义不得循环，定义要简明即简单、明确，定义一般不用否定形式”[3]。其中，定义要相称是指定义项的外延与被定义项的外延必须相等。十三院校协编组编写的《中学数学教材教法总论》（第二版）第121页也写了这4条规则，并对“定义应简明”作了解释，即“定义中不应列举非本质属性或者多余的词语”[4]。这4条规则是判断一个定义是否存在逻辑问题的重要标准。学科教学专家和中学一线教师在编写教材或使用教材时应该示范性地遵守下定义的4条规则。
笔者依据下定义必须遵循的规则，结合自己的思考发现，教材中函数定义违背下定义的两条规则，即违背了“定义要相称”和“定义要简单、明确”。由此推知，教材中函数定义存在三个问题：一是教材中函数定义违背了“定义要相称”的规则；二是定义中同一个符号或字母的意义不完全同一，具体表现在定义中有些相同字母的意义不尽同一或一致；三是教材中函数定义的叙述不简明。
1.教材中函数定义违背了“定义要相称”的规则
函数按自变量的个数分类，可以分为一元函数和多元函数，因此，“函数”概念的外延等于“一元函数”的外延加“多元函数”的外延。从函数定义的字面意义来看，被定义项是“函数”，而定义项是“一元函数”，因此，被定义项的外延不等于定义项的外延，这就违背了“定义要相称”的规则。被定义项是“函数”还意味着，这里的“函数”可以是“一元函数”也可以是“多元函数”，很显然，被定义项的外延扩大了。例如，z=x-2y或f（x，y）=x-2y是函数吗？这显然是一个二元函数，当然是函数。但如果用上述定义判断，z=x-2y不是函数，这显然是荒谬的。因为教材中函数定义实质上是“一元函数”的定义，而不是“多元函数”的定义。所以，荒谬是用“一元函数”的定义去判断二元函数造成的。因此，笔者建议，高中函数定义应指明：“那么就称f：A→B为从数集A到数集B的一个一元函数，简称为函数”，加上“一元”二字就保证了“定义要相称”。
2.定义中同一个符号或字母的意义不完全同一
按照逻辑学的要求，在一个定义中，同一个词语、同一个符号它们的意义（含义）必须保持同一性，也就是应该保持前后一致。
定义中x共出现了9次，其意义不完全同一或不完全一致。x第一次出现在“一个数x”或“任意一个数x”，这里的x是一个数；x第二次出现在“数f（x）”，这里的f（x）表示一个数，那么x也是数，但这里x的有多少个呢，情况是非常复杂的；第三、四次x出现在“y=f（x），x∈A”，这里的x是自变量。可以看出，x有时是一个数，有时是自变量。还需要思考的问题是，定义中x出现的次数能够减少吗？
字母A出现了7次。第一次出现在“设A、B是非空的数集”，第二次的表述变成“集合A”。很明显，第二次的“集合”比第一次的“数集”范围扩大了，造成这两次的表述不一致。笔者建议，将两次的表述都统一写成“数集”，也可以把第二次的表述“集合A”简化为“A”。还需要思考的问题是，定义中A出现的次数能够减少吗？
符号f（x）共出现了3次。第一次出现在“在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应”，这里的“数f（x）”中的f（x）是数；第二次出现在“记作y=f（x），x∈A”中，这里的f（x）是“函数”；第三次出现在“函数值的集合{y=f（x）|x∈A}叫做函数的值域”，这里的f（x）是集合的代表元，是函数值。总之，f（x）第一次是表示数、第二次表示函数、第三次表示函数值，它们的含义不尽相同。笔者建议，在函数定义第一学时的课中不需把符号{y=f（x）|x∈A}呈现出来，或在定义中根本就不出现符号{y=f（x）|x∈A}，这有利于分散教学难点，降低学习难度。还需要思考的问题是，定义中f（x）出现的次数能够减少吗？
3.教材中函数定义的叙述不简明且难懂
下面两则是其他文献对函数的定义：
给定非空实数集合X、Y，给定对应关系f，如果 X中每一个元素x，根据对应关系f，都有Y中唯一确定的元素f（x）与之对应，那么我们就把此对应关系f叫做集合X到集合Y的函数，或把f：X→Y或y=f（x）称为一个函数[5]。 1837年，德国数学家狄里克莱的定义是“如果对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数”[6]。
对应关系是函数的本质，描述对应关系的语句是函数定义的精髓。在叙述对应关系时一般有“如果X中每一个元素x，根据对应关系f，都有Y中唯一确定的元素f（x）与之对应” [5]，或“如果对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之对应”[6]，或“使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应”[2]等语句出现，这些语句一般分成两句或三句，最后几个字往往都能提取出相同或相近的说法“f（x）与之对应”“值与之对应”“f（x）和它对应”，这些叙述有点绕，容易产生歧义。以教材中函数定义为例来分析，“f（x）和它对应”中的“它”显然是指x，就是说f（x）和x对应。由此问题就出来了是“f（x）对应x”呢？还是“x对应f（x）”呢？按“f（x）和它对应”的字面意思，应理解为“f（x）对应x”，但定义的本意是“x对应f（x）”。因此，笔者建议，把“使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应”改为：“使A中的任意一个数都对应着B中唯一确定的数”，也可以改为“使A中的每一个数都对应着B中唯一确定的数”，这样表述就简洁、顺畅了。
按照“定义应简明，即定义中不应列举非本质属性或者多余的词语”[4]的要求，定义中不应列举非本质属性的词语、字母、符号，应尽可能地减少同一个词语或字母或符号出现的次数。教材的函数定义中，x共出现了9次、字母A出现了7次、符号f（x）出现了3次。同一个字母或符号多次出现，就远远达不到“定义应简明”的要求。怎样才能达到“定义应简明”的要求呢？一个简单的做法是，尽可能地减少同一个字母或符号或词语出现的次数，可要可不要的字母或符号或词语就一定不要让它出现。同一个字母或符号或词语出现的次数越少，定义的叙述就越简明，且同一个字母或符号或词语的含义就越能保持同一性。
二、函数定义的修订建议
针对上述问题，在给函数下定义时应注意以下几点：一是高中函数定义应指明是一元函数，并简称为函数；二是减少x、 A、f（x）等符号出现的次数；三是文字叙述不能有歧义；四是必须遵循下定义的4条规则；五是要注意定义中同一词语意义的同一性，相同符号含义的一致性，语言表述的准确性和简单性等。基于此，对函数定义提出修订建议。
函数定义（修订建议）：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使A中的每一个数都对应着B中唯一确定的数，那么就称f：A→B为一个一元函数，简称为函数，记作y=f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，A叫做函数的定义域，与自变量的取值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
在该函数定義中，x出现了2次， A出现了4次，f（x）只出现1次。利用该函数定义，函数的本质可简述为：自变量在定义域中的每一个值都对应并且只对应一个函数值，即自变量在定义域中的每一个值都有且只有一个函数值。认识这一本质，函数就容易理解了。
参考文献
[1] 卡茨.数学史通论[M]（第二版）. 李文林， 邹建成，胥鸣伟，译.北京：高等教育出版社，2004.
[2] 刘邵学，等.普通高中课程标准实验教科书数学必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2004.
[3] 翁凯庆. 数学教育概论[M]. 成都：四川大学出版社，2007.
[4] 十三院校协编组.中学数学教材教法总论[M]（第二版）. 北京：高等教育出版社，1987.
[5] 武锡环，郭宗明.数学史与数学教育[M].西安：电子科技出版社，2003.
[6] 彭林，童纪元. 借助函数概念的发展史引入函数概念[J]. （人大复印）初中数学教与学，2011，（9）.
【责任编辑 郭振玲】