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【摘 要】以“圆柱侧面积与体积的关系”教学为例，对教材中的一道习题进行深入挖掘研究，引导学生提出猜想，检验猜想，论证猜想，让学生经历完整的科学探究过程，帮助学生发现圆柱侧面积和体积之间的联系，使学生对数学知识之间的内在关联和本质属性有一种更深的理解与领悟。
【关键词】一题一课；侧面积体积知识；关联
一、教学内容及设计构想
人教版教材六年级下册第30页有一道关于圆柱的综合性习题：下面4个图形的面积都是36dm2。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？
针对这样的综合性题型，教师一般会这样处理：独立思考—汇报交流—归纳概括—巩固练习。应该说以上的“四步”教学线索已然成为一线教师习题教学的一种“典范”。如果沿用以上的教学“四部曲”来解决这道习题，其成效就是直接趋向问题的解决，既省时又省力，似乎没有什么破绽可言。 然而，这样的教学没有落实数学的思维方法、数学的精神和着眼点等，因此，我们对这道题进行深入研究，挖掘其内在的学习线索，并科学、合理、有序地组织学生进行相关的数学探索活动，从而将这一道题拓展成一节课，让它承载更多的教育价值。
我们对这道题涉及的知识内容进行拓展延伸，设计了“圆柱侧面积与体积的关系”这一数学复习课例。基本教学思路：第一，延长习题外延，简要梳理复习圆柱的知识内容，巩固前期所学；第二，以问题驱动为导向、圆柱体积计算为载体组织探究活动，让学生自主发现圆柱侧面积和体积的关系并理解这种关系背后的原理，使学生对数学知识之间的内在关联和本质属性有一种更深的理解与领悟；第三，在探究活动中积累数学活动经验，渗透极限等数学思想方法，从而发展学生的空间想象、归纳和推理等数学能力。
二、教学目标
1.理解长方形与所围成圆柱之间的结构关系，掌握根据圆柱的侧面展开图求圆柱体积的方法。
2.经历“猜想—实验—验证—观察—探索”的过程来发现圆柱侧面积和体积的关系，探索挖掘关系背后的原理，体会极限等数学思想，发展学生归纳推理的能力。
3.在解决问题的过程中，学会与他人合作，能有条不紊地表达自己的想法。
三、教学实践
（一）复习铺垫，激疑引入
1.复习铺垫
师出示一个圆柱并提问：看到它你能想到哪些关于它的知识？
生：圆柱的体积=底面积×高（板书：V=Sh=[π]r2h）。
生：圆柱的侧面积=底面周长×高（板书：S侧=Ch=2[π]rh）。
......
生：如果把一个圆柱沿着高剪开会得到一个长方形，这个长方形的宽就是圆柱的高，长方形的长是圆柱的底面周长。
2.激疑引入
课件出示4个不同形状的长方形。
师：这里有4个圆柱的侧面展开图，请你仔细观察，它们有什么相同和不同之处？
生：它们的面积都相等，是36dm2。
生：它们的形状不相同。
生：它们的边长各不相同。
师：如果我们将这4个长方形重新卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？为什么？
生：第①个长方形卷成的圆柱体积最小，第四个正方形卷成的圆柱体积最大。因为第①个长方形围成的圆柱半径最大，第④个正方形围成的圆柱半径最小。
生：第①个长方形卷成的圆柱体积最大，第四个正方形卷成的圆柱体积最小。因为第④个正方形围成的圆柱高最大，第①个长方形围成的圆柱高最小。
师：在侧面积相等的情况下，圆柱的体积到底跟什么有关呢？让我们带着自己的猜想一起去验證吧！
【设计意图】上课伊始，组织学生复习圆柱的相关知识，能有效激活已有的知识经验，从认知结构中提取相关知识点，顺利搭建旧知识到新问题的桥梁，为探索新问题提供认知基础。同时，教师引导学生对新问题进行先猜想再验证，可以激发学生的探索欲望，为学生的后续学习注入热情。
（二）合作探究，发现规律
1.任务驱动，整合关键数据
活动要求：
（1）四人小组成员分工计算出每个长方形围成的圆柱体积。（π取3）
（2）计算完成后，由组长将计算方法和结果汇总到表格中。
（3）观察表格中的数据，说一说有什么发现，想一想为什么会这样。
2. 追本溯源，探寻数据背后的真相
师：让我们将目光聚焦到这张表格上，你发现了什么？
生：在侧面积相等的情况下，圆柱底面半径越大，体积越大。
生：在侧面积相等的情况下，圆柱底面周长越大，体积越大。
生：在侧面积相等的情况下，高越小，体积越大。
师：在侧面积相等的情况下，虽然半径增大了，但是高却变小了，为什么体积会变大呢？
生：因为计算圆柱的体积时，半径是要平方的，高只要乘一次，所以半径对体积的影响比较大。
生：半径和高的乘积始终是6，但是在计算体积的时候还要乘一个半径。
师：老师把你们的思路整理一下。
板书：V=[π]r2h=[π]rh·r
师：在这里rh的乘积一定，那么[π]rh的乘积也一定，你们知道这个表示什么吗？（圆柱侧面积的[12]）因为圆柱侧面积一定，所以它的[12]必然也是……（一定的）所以这个时候，是什么决定了圆柱的体积呢？
生：半径。
教师总结：在侧面积相等的情况下，底面半径越长，圆柱的体积越大。
【设计意图】让学生带着猜想去进行计算，来验证自己的观点，然后从数据中发现圆柱侧面积和体积的关系，进而引导学生去探寻这种关系背后的原理。学生经历这样一个完整的探究过程，感悟了前后知识点之间的内在关联和本质属性，体会到严谨、科学的治学态度。通过自己的探索和学习，从旧识中获得新知，学生一定也收获数学学习的成就感。 （三）深入剖析，内化规律
1.深入剖析，引发学生的联想
师：如果面积不变，还有卷成圆柱体积更大的长方形吗？
生：长为36cm，宽为1cm。
生：长为72cm，宽为0.5cm。
生：长为360cm，宽为0.1cm。
……
板书：长 36 360 3600……
师：请你想象一下，保持长方形的面积不变，如果长方形的长越来越长，圆柱会发生什么变化呢？如果长方形的长越来越短，圆柱又会怎样呢？
生：当长方形的长越来越长时，圆柱体积越来越大，但是高越来越小，所以底面积会越来越大，最终会无限接近一个大圆。
师：能变成圆吗？
生：不能，因为高不能为0。
生：当长方形的长越来越短时，圆柱体积越来越小，但是高越来越大，所以底面积会越来越小，最终会无限接近一条长长的细线。
2.视频展示，验证学生的猜想
师：是不是真如同学们所想的那样呢？我们一起拭目以待吧！
【设计意图】通过适当的问题驱动，引领学生动态思考和空间想象，不仅顺其自然地促使學生将问题解决所需的数据采集从整数向小数延伸，让学生的思维由局部走向开放，还发展了学生的空间观念，感受数学的极限思想。正如苏格拉底所说，教师好似“助产师”，教学行进过程中应不断助推学生的学习走向深处。
（四）学以致用，解决问题
已知圆柱的侧面展开是平行四边形（见右图），它的体积最大是多少立方厘米？
【设计意图】数学学习中的方法迁移很重要，尤其是对于这样一节以探带练的探究性复习课，学生方法掌握的情况如何，关键还是要看学生自主实践中的运用情况，设计这样一道具有探究性的变式题型来进行反馈很有必要。
（五）回顾所学，学法提炼
师：这一节课已经结束了，你能给这节课起个课题吗？（教师根据学生的回答进行概括并形成最终课题：圆柱侧面积与体积的关系）
师：请你回顾一下，这节课我们是怎么进行学习的呢？
生：先计算四个长方形围成圆柱的体积，然后观察数据发现侧面积一定的情况下，圆柱体积的变化，进而探索发生这种变化的原因，最后根据这个变化规律去想象：如果长方形继续变化，所围成的圆柱会怎么变。（板书：特殊→一般）
师：如果以后在解决问题时遇到困难，不妨试着举一个特例。
【设计意图】学生在探究圆柱侧面积和体积关系的过程中，有了充足的活动体验。回顾研究过程，不仅巩固了本课的学习内容，还提炼出了“从特殊到一般”的科学的数学学习方法。
四、教学反思
是否可以围绕“一题”将所有的知识点都串联起来，将这“一题”的教学价值最大化，而不仅仅是训练学生掌握解题的方法与技能，这些正是我们数学一线教师要去思考的。
（一）让数学复习课多些探究味
一般复习课的练习更多的是指向原知识的再现、梳理、巩固与强化，突出的是以知识点的训练为主要目标，由点到线，由线到面，使知识“见木又见林”，这是值得倡导的。但也会暴露出一些不足，因为学生对旧知比较熟悉，会有些厌倦感。因此，本“一题一课”教学更多的是以探索的形式来驱动学生对一类问题的结论性探究，边探索边整理，这样使课堂更具有挑战性。传统教学一般是“出题—练习—讲评—矫正”，过程比较单调乏味。而“一题一课”设计是从一个结论的可能性开始探索，经历“计算—观察—发现—探究—运用”的过程，学生经历探索的过程，其实也是知识练习与思维整理的过程，这样的过程对学生来说更具挑战性与趣味性。
（二）别让学生厌倦数学复习课
在实际教学中，教师往往把复习课上成是简单的一些练习题的“叠加”，学生在练习中唤醒的仅仅是对一些知识的再认识，进行的是对原技能的再训练，虽然也会引发学生参与学习的热情，但时间长了学生厌学的情绪就容易萌生，这是复习课值得关注的问题。因此，“一题一课”的教学研究在兴趣方面更需多些关注，力争有一定突破，践行“兴趣是学习动力”之理论。
（三）数学活动经验的积累是一个漫长过程
“一题一课”的教学关注学生数学活动经验的积累，关注学生内驱力的激活与调整，关注学生的持续性发展。没有经历数学活动，就不可能获得数学活动经验。引导学生进行结论性探索需要经历“举例—观察—发现—结论”这样不完全归纳的过程，为学法的形成起到画龙点睛的作用。这样一些数学活动经验，不是一朝一夕所能形成的，需要教师在平时教学中有意识地进行训练与引导，须如滴水穿石般坚持，这个过程是漫长的，也需要教师的教学智慧。
（浙江省杭州市萧山区临江新城实验小学 311228）
【关键词】一题一课；侧面积体积知识；关联
一、教学内容及设计构想
人教版教材六年级下册第30页有一道关于圆柱的综合性习题：下面4个图形的面积都是36dm2。用这些图形分别卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？你有什么发现？
针对这样的综合性题型，教师一般会这样处理：独立思考—汇报交流—归纳概括—巩固练习。应该说以上的“四步”教学线索已然成为一线教师习题教学的一种“典范”。如果沿用以上的教学“四部曲”来解决这道习题，其成效就是直接趋向问题的解决，既省时又省力，似乎没有什么破绽可言。 然而，这样的教学没有落实数学的思维方法、数学的精神和着眼点等，因此，我们对这道题进行深入研究，挖掘其内在的学习线索，并科学、合理、有序地组织学生进行相关的数学探索活动，从而将这一道题拓展成一节课，让它承载更多的教育价值。
我们对这道题涉及的知识内容进行拓展延伸，设计了“圆柱侧面积与体积的关系”这一数学复习课例。基本教学思路：第一，延长习题外延，简要梳理复习圆柱的知识内容，巩固前期所学；第二，以问题驱动为导向、圆柱体积计算为载体组织探究活动，让学生自主发现圆柱侧面积和体积的关系并理解这种关系背后的原理，使学生对数学知识之间的内在关联和本质属性有一种更深的理解与领悟；第三，在探究活动中积累数学活动经验，渗透极限等数学思想方法，从而发展学生的空间想象、归纳和推理等数学能力。
二、教学目标
1.理解长方形与所围成圆柱之间的结构关系，掌握根据圆柱的侧面展开图求圆柱体积的方法。
2.经历“猜想—实验—验证—观察—探索”的过程来发现圆柱侧面积和体积的关系，探索挖掘关系背后的原理，体会极限等数学思想，发展学生归纳推理的能力。
3.在解决问题的过程中，学会与他人合作，能有条不紊地表达自己的想法。
三、教学实践
（一）复习铺垫，激疑引入
1.复习铺垫
师出示一个圆柱并提问：看到它你能想到哪些关于它的知识？
生：圆柱的体积=底面积×高（板书：V=Sh=[π]r2h）。
生：圆柱的侧面积=底面周长×高（板书：S侧=Ch=2[π]rh）。
......
生：如果把一个圆柱沿着高剪开会得到一个长方形，这个长方形的宽就是圆柱的高，长方形的长是圆柱的底面周长。
2.激疑引入
课件出示4个不同形状的长方形。
师：这里有4个圆柱的侧面展开图，请你仔细观察，它们有什么相同和不同之处？
生：它们的面积都相等，是36dm2。
生：它们的形状不相同。
生：它们的边长各不相同。
师：如果我们将这4个长方形重新卷成圆柱，哪个圆柱的体积最小？哪个圆柱的体积最大？为什么？
生：第①个长方形卷成的圆柱体积最小，第四个正方形卷成的圆柱体积最大。因为第①个长方形围成的圆柱半径最大，第④个正方形围成的圆柱半径最小。
生：第①个长方形卷成的圆柱体积最大，第四个正方形卷成的圆柱体积最小。因为第④个正方形围成的圆柱高最大，第①个长方形围成的圆柱高最小。
师：在侧面积相等的情况下，圆柱的体积到底跟什么有关呢？让我们带着自己的猜想一起去验證吧！
【设计意图】上课伊始，组织学生复习圆柱的相关知识，能有效激活已有的知识经验，从认知结构中提取相关知识点，顺利搭建旧知识到新问题的桥梁，为探索新问题提供认知基础。同时，教师引导学生对新问题进行先猜想再验证，可以激发学生的探索欲望，为学生的后续学习注入热情。
（二）合作探究，发现规律
1.任务驱动，整合关键数据
活动要求：
（1）四人小组成员分工计算出每个长方形围成的圆柱体积。（π取3）
（2）计算完成后，由组长将计算方法和结果汇总到表格中。
（3）观察表格中的数据，说一说有什么发现，想一想为什么会这样。
2. 追本溯源，探寻数据背后的真相
师：让我们将目光聚焦到这张表格上，你发现了什么？
生：在侧面积相等的情况下，圆柱底面半径越大，体积越大。
生：在侧面积相等的情况下，圆柱底面周长越大，体积越大。
生：在侧面积相等的情况下，高越小，体积越大。
师：在侧面积相等的情况下，虽然半径增大了，但是高却变小了，为什么体积会变大呢？
生：因为计算圆柱的体积时，半径是要平方的，高只要乘一次，所以半径对体积的影响比较大。
生：半径和高的乘积始终是6，但是在计算体积的时候还要乘一个半径。
师：老师把你们的思路整理一下。
板书：V=[π]r2h=[π]rh·r
师：在这里rh的乘积一定，那么[π]rh的乘积也一定，你们知道这个表示什么吗？（圆柱侧面积的[12]）因为圆柱侧面积一定，所以它的[12]必然也是……（一定的）所以这个时候，是什么决定了圆柱的体积呢？
生：半径。
教师总结：在侧面积相等的情况下，底面半径越长，圆柱的体积越大。
【设计意图】让学生带着猜想去进行计算，来验证自己的观点，然后从数据中发现圆柱侧面积和体积的关系，进而引导学生去探寻这种关系背后的原理。学生经历这样一个完整的探究过程，感悟了前后知识点之间的内在关联和本质属性，体会到严谨、科学的治学态度。通过自己的探索和学习，从旧识中获得新知，学生一定也收获数学学习的成就感。 （三）深入剖析，内化规律
1.深入剖析，引发学生的联想
师：如果面积不变，还有卷成圆柱体积更大的长方形吗？
生：长为36cm，宽为1cm。
生：长为72cm，宽为0.5cm。
生：长为360cm，宽为0.1cm。
……
板书：长 36 360 3600……
师：请你想象一下，保持长方形的面积不变，如果长方形的长越来越长，圆柱会发生什么变化呢？如果长方形的长越来越短，圆柱又会怎样呢？
生：当长方形的长越来越长时，圆柱体积越来越大，但是高越来越小，所以底面积会越来越大，最终会无限接近一个大圆。
师：能变成圆吗？
生：不能，因为高不能为0。
生：当长方形的长越来越短时，圆柱体积越来越小，但是高越来越大，所以底面积会越来越小，最终会无限接近一条长长的细线。
2.视频展示，验证学生的猜想
师：是不是真如同学们所想的那样呢？我们一起拭目以待吧！
【设计意图】通过适当的问题驱动，引领学生动态思考和空间想象，不仅顺其自然地促使學生将问题解决所需的数据采集从整数向小数延伸，让学生的思维由局部走向开放，还发展了学生的空间观念，感受数学的极限思想。正如苏格拉底所说，教师好似“助产师”，教学行进过程中应不断助推学生的学习走向深处。
（四）学以致用，解决问题
已知圆柱的侧面展开是平行四边形（见右图），它的体积最大是多少立方厘米？
【设计意图】数学学习中的方法迁移很重要，尤其是对于这样一节以探带练的探究性复习课，学生方法掌握的情况如何，关键还是要看学生自主实践中的运用情况，设计这样一道具有探究性的变式题型来进行反馈很有必要。
（五）回顾所学，学法提炼
师：这一节课已经结束了，你能给这节课起个课题吗？（教师根据学生的回答进行概括并形成最终课题：圆柱侧面积与体积的关系）
师：请你回顾一下，这节课我们是怎么进行学习的呢？
生：先计算四个长方形围成圆柱的体积，然后观察数据发现侧面积一定的情况下，圆柱体积的变化，进而探索发生这种变化的原因，最后根据这个变化规律去想象：如果长方形继续变化，所围成的圆柱会怎么变。（板书：特殊→一般）
师：如果以后在解决问题时遇到困难，不妨试着举一个特例。
【设计意图】学生在探究圆柱侧面积和体积关系的过程中，有了充足的活动体验。回顾研究过程，不仅巩固了本课的学习内容，还提炼出了“从特殊到一般”的科学的数学学习方法。
四、教学反思
是否可以围绕“一题”将所有的知识点都串联起来，将这“一题”的教学价值最大化，而不仅仅是训练学生掌握解题的方法与技能，这些正是我们数学一线教师要去思考的。
（一）让数学复习课多些探究味
一般复习课的练习更多的是指向原知识的再现、梳理、巩固与强化，突出的是以知识点的训练为主要目标，由点到线，由线到面，使知识“见木又见林”，这是值得倡导的。但也会暴露出一些不足，因为学生对旧知比较熟悉，会有些厌倦感。因此，本“一题一课”教学更多的是以探索的形式来驱动学生对一类问题的结论性探究，边探索边整理，这样使课堂更具有挑战性。传统教学一般是“出题—练习—讲评—矫正”，过程比较单调乏味。而“一题一课”设计是从一个结论的可能性开始探索，经历“计算—观察—发现—探究—运用”的过程，学生经历探索的过程，其实也是知识练习与思维整理的过程，这样的过程对学生来说更具挑战性与趣味性。
（二）别让学生厌倦数学复习课
在实际教学中，教师往往把复习课上成是简单的一些练习题的“叠加”，学生在练习中唤醒的仅仅是对一些知识的再认识，进行的是对原技能的再训练，虽然也会引发学生参与学习的热情，但时间长了学生厌学的情绪就容易萌生，这是复习课值得关注的问题。因此，“一题一课”的教学研究在兴趣方面更需多些关注，力争有一定突破，践行“兴趣是学习动力”之理论。
（三）数学活动经验的积累是一个漫长过程
“一题一课”的教学关注学生数学活动经验的积累，关注学生内驱力的激活与调整，关注学生的持续性发展。没有经历数学活动，就不可能获得数学活动经验。引导学生进行结论性探索需要经历“举例—观察—发现—结论”这样不完全归纳的过程，为学法的形成起到画龙点睛的作用。这样一些数学活动经验，不是一朝一夕所能形成的，需要教师在平时教学中有意识地进行训练与引导，须如滴水穿石般坚持，这个过程是漫长的，也需要教师的教学智慧。
（浙江省杭州市萧山区临江新城实验小学 311228）