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“研究性学习”是我国当前新课程改革的一大亮点，在“研究性学习”方式中，我们究竟应该向学生展示什么样的数学？
一、从贴近学生生活的实际问题中挖掘数学问题，引导学生用数学的眼光看待周围的世界。
“研究性学习”是与传统的“接受性学习”相对的一个概念，要使学生摆脱传统的“接受性学习”的被动学习方式，教师必须选择能激发学生学习兴趣和学习需要的素材，从贴近学生生活的实际问题中挖掘数学问题，营造一种能激励学生主动探索的问题情景，引导学生用数学的眼光看待周围的世界。
问题一：张华同学家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯（如图1），另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4cm，杯深8cm（如图2），称之为抛物线酒杯。一次，张华在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球都不可能触及酒杯杯底。但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻璃球能触及酒杯底部。张华想用所学数学知识研究一下，当玻璃球的半径r为多大值时，玻璃球一定会触及酒杯底部。你能帮助张华解决这个问题吗？
略解一：如图，以杯底中心为原点，建立直角坐标系，由题意得抛物线方程为x = y。
设圆心在y轴正半轴上且过原点的圆方程为x +（y-r） =r ，
将之代入抛物线方程，消去x得，y +（ -2r）y=0
∴y =0，y =2r- ，
若要使玻璃球在杯中能触及杯底，
则要y =2r- ≤0。
即当0＜r≤ 时，玻璃球一定会触及杯底。
略解二：设抛物线上动点P的坐标为（a，2a ），过原点的圆方程为x +（y-r） =r 。
若要使玻璃球在杯中能触及杯底，
则P到圆心（0，r）的距离要恒大于或等于r，
即a +（2a -r） ≥r 恒成立，
即r≤a + 恒成立，
∴0＜r≤ 。
即当0＜r≤ ，玻璃球一定会触及杯底。
问题二：张华在酒店里又见到了一种轴截面近似椭圆的椭圆酒杯，测量后得知杯口宽4cm，杯深为9cm，中间最宽处距杯底为5cm（如图3），请你帮助张华研究一下，如果将一个玻璃球放入杯中，玻璃球的半径r多大时，玻璃球一定会触及这种椭圆酒杯的杯底？
评注：对学生来说，问题一是一个全新的问题情景，因此，教学的重心是能否引导学生将实际问题转化为数学问题，能否引导学生探索到解决问题的途径，至于一题多解则是学生积极探索、师生积极交流互动的自然结果。当问题一解决以后，问题二的提出是一种自然的推广和联想，而其解决方法则已退化成模仿性和巩固性的练习，因此可以作为作业留待学生课后完成。
二、引导学生以研究者的眼光看待数学问题，让学生在自觉应用数学的过程中体会数学的价值。
数学是我们人类认识自然的强有力的工具，它既能帮助我们深刻地揭示自然规律，同时又为我们解决现实生活中的问题提供了广阔的可能。但传统的“接受性学习”往往将数学异化成纯粹的数学习题，而淡化了数学作为科学工具的作用。“研究性学习”可以引导学生以研究者的眼光看待数学问题，而不仅仅是以学习者、应试者的眼光看待数学问题，在研究过程中可以突出学生的自主性、探索性学习，从而让学生在自觉应用数学的过程中体会数学的价值。
问题三：设想在张华家中的抛物线酒杯中，放入一根粗细均匀，长度为2cm的细棒，假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯杯中的位置如何？
评注：注意到细棒的粗细均匀，因此，细棒的平衡状态也就是细棒的中点（即细棒的重心）处于最低位置的状态。显然，答案就是问题三的结果，当细棒通过抛物线酒杯的焦点时，细棒将达到平衡状态。进而，我们就可以提出一个更一般的问题：如果细棒的长度为l，那么对于不同的l值，细棒的平衡状态有差异吗？
本问题的教学重心是引导学生能否为一个抽象的数学问题找到一个形象的实际背景，为此教师可以先和学生一起做一些试验。在这个师生一起构造的实际问题中，学生可以体会到正是由于数学的抽象性特征，才使得数学能够揭示丰富和深刻的自然规律，正如伽利略所言：“自然这一巨著是用数学符号写成的。”还可以引导学生将问题四中的抛物线酒杯推广到其他形状的酒杯，进而提出问题。
三、挖掘数学问题中的数学史素材，对学生进行数学文化的熏陶。
《新大纲》把数学看作是人类文化的结晶，“它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分”。挖掘数学问题中的数学史素材，向学生展示数学人性化的发展历程，是对学生进行数学文化的熏陶的一个重要方面。借此机会可以向学生介绍问题六实际上是古希腊数学家普洛克拉斯（410年—485年）提出并解决的普洛克拉斯轨迹问题的一个特例。普洛克拉斯轨迹问题是：
在一条固定直线上标有三个点，其中两个点沿一个直角的两条边滑动，问第三个点的轨迹是什么？
利用解析几何这个工具，这个问题可以很容易得到解决。
如图，设∠xOy是直角，建立直角坐标系，设A、B两点分别在Oy、Ox上滑动，第三个点为C，并设CA=a，CB=b，AB=c，显然，c=|a±b|，当点C在AB间时，c=a+b；当点C在AB外时，c=|a-b|。
再设C点坐标为（x，y），AB与xO所成的角为θ，则x=acosθy=bsinθ。
∴ + =1
∴点C的轨迹为以直角边为对称轴，以a、b为半轴的椭圆。
数学作为人类文明史中最古老的一门学科，蕴涵着独特的文化魅力，从以上问题引出的普洛克拉斯轨迹问题和范•施古登轨迹问题可以帮助学生更好地理解数学艰辛的发展历程，更深刻地理解解析法思想的价值所在。与单纯向学生传授“教学的数学”甚至“应试的数学”相比，作为“文化的数学”显然具有更迷人的人性色彩，具有更丰富和更生动的育人功能。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、从贴近学生生活的实际问题中挖掘数学问题，引导学生用数学的眼光看待周围的世界。
“研究性学习”是与传统的“接受性学习”相对的一个概念，要使学生摆脱传统的“接受性学习”的被动学习方式，教师必须选择能激发学生学习兴趣和学习需要的素材，从贴近学生生活的实际问题中挖掘数学问题，营造一种能激励学生主动探索的问题情景，引导学生用数学的眼光看待周围的世界。
问题一：张华同学家中有两种酒杯，一种酒杯的轴截面是等腰直角三角形，称之为直角酒杯（如图1），另一种酒杯的轴截面近似一条抛物线，杯口宽4cm，杯深8cm（如图2），称之为抛物线酒杯。一次，张华在游戏中注意到一个现象，若将一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，则任何玻璃球都不可能触及酒杯杯底。但若将这些玻璃球放入抛物线酒杯中，则有些小玻璃球能触及酒杯底部。张华想用所学数学知识研究一下，当玻璃球的半径r为多大值时，玻璃球一定会触及酒杯底部。你能帮助张华解决这个问题吗？
略解一：如图，以杯底中心为原点，建立直角坐标系，由题意得抛物线方程为x = y。
设圆心在y轴正半轴上且过原点的圆方程为x +（y-r） =r ，
将之代入抛物线方程，消去x得，y +（ -2r）y=0
∴y =0，y =2r- ，
若要使玻璃球在杯中能触及杯底，
则要y =2r- ≤0。
即当0＜r≤ 时，玻璃球一定会触及杯底。
略解二：设抛物线上动点P的坐标为（a，2a ），过原点的圆方程为x +（y-r） =r 。
若要使玻璃球在杯中能触及杯底，
则P到圆心（0，r）的距离要恒大于或等于r，
即a +（2a -r） ≥r 恒成立，
即r≤a + 恒成立，
∴0＜r≤ 。
即当0＜r≤ ，玻璃球一定会触及杯底。
问题二：张华在酒店里又见到了一种轴截面近似椭圆的椭圆酒杯，测量后得知杯口宽4cm，杯深为9cm，中间最宽处距杯底为5cm（如图3），请你帮助张华研究一下，如果将一个玻璃球放入杯中，玻璃球的半径r多大时，玻璃球一定会触及这种椭圆酒杯的杯底？
评注：对学生来说，问题一是一个全新的问题情景，因此，教学的重心是能否引导学生将实际问题转化为数学问题，能否引导学生探索到解决问题的途径，至于一题多解则是学生积极探索、师生积极交流互动的自然结果。当问题一解决以后，问题二的提出是一种自然的推广和联想，而其解决方法则已退化成模仿性和巩固性的练习，因此可以作为作业留待学生课后完成。
二、引导学生以研究者的眼光看待数学问题，让学生在自觉应用数学的过程中体会数学的价值。
数学是我们人类认识自然的强有力的工具，它既能帮助我们深刻地揭示自然规律，同时又为我们解决现实生活中的问题提供了广阔的可能。但传统的“接受性学习”往往将数学异化成纯粹的数学习题，而淡化了数学作为科学工具的作用。“研究性学习”可以引导学生以研究者的眼光看待数学问题，而不仅仅是以学习者、应试者的眼光看待数学问题，在研究过程中可以突出学生的自主性、探索性学习，从而让学生在自觉应用数学的过程中体会数学的价值。
问题三：设想在张华家中的抛物线酒杯中，放入一根粗细均匀，长度为2cm的细棒，假设细棒的端点与酒杯壁之间的摩擦可以忽略不计，那么当细棒最后达到平衡状态时，细棒在酒杯杯中的位置如何？
评注：注意到细棒的粗细均匀，因此，细棒的平衡状态也就是细棒的中点（即细棒的重心）处于最低位置的状态。显然，答案就是问题三的结果，当细棒通过抛物线酒杯的焦点时，细棒将达到平衡状态。进而，我们就可以提出一个更一般的问题：如果细棒的长度为l，那么对于不同的l值，细棒的平衡状态有差异吗？
本问题的教学重心是引导学生能否为一个抽象的数学问题找到一个形象的实际背景，为此教师可以先和学生一起做一些试验。在这个师生一起构造的实际问题中，学生可以体会到正是由于数学的抽象性特征，才使得数学能够揭示丰富和深刻的自然规律，正如伽利略所言：“自然这一巨著是用数学符号写成的。”还可以引导学生将问题四中的抛物线酒杯推广到其他形状的酒杯，进而提出问题。
三、挖掘数学问题中的数学史素材，对学生进行数学文化的熏陶。
《新大纲》把数学看作是人类文化的结晶，“它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分”。挖掘数学问题中的数学史素材，向学生展示数学人性化的发展历程，是对学生进行数学文化的熏陶的一个重要方面。借此机会可以向学生介绍问题六实际上是古希腊数学家普洛克拉斯（410年—485年）提出并解决的普洛克拉斯轨迹问题的一个特例。普洛克拉斯轨迹问题是：
在一条固定直线上标有三个点，其中两个点沿一个直角的两条边滑动，问第三个点的轨迹是什么？
利用解析几何这个工具，这个问题可以很容易得到解决。
如图，设∠xOy是直角，建立直角坐标系，设A、B两点分别在Oy、Ox上滑动，第三个点为C，并设CA=a，CB=b，AB=c，显然，c=|a±b|，当点C在AB间时，c=a+b；当点C在AB外时，c=|a-b|。
再设C点坐标为（x，y），AB与xO所成的角为θ，则x=acosθy=bsinθ。
∴ + =1
∴点C的轨迹为以直角边为对称轴，以a、b为半轴的椭圆。
数学作为人类文明史中最古老的一门学科，蕴涵着独特的文化魅力，从以上问题引出的普洛克拉斯轨迹问题和范•施古登轨迹问题可以帮助学生更好地理解数学艰辛的发展历程，更深刻地理解解析法思想的价值所在。与单纯向学生传授“教学的数学”甚至“应试的数学”相比，作为“文化的数学”显然具有更迷人的人性色彩，具有更丰富和更生动的育人功能。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”