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勾股定理及逆定理揭示了直角三角形中的三边之间的数量关系，号称“几何的基石” ，是从“形”到“数”的飞跃是几何计算、证明的重要工具，所以同学们一定要牢固掌握并熟练运用.下面就勾股定理及逆定理的主要考点作如下分析，希望能对你的复习有所帮助.
勾股定理及逆定理在2008年重点省市中考数学试卷中的考点分布情况统计表：
由上表可以看出，勾股定理是倍受命题者青睐的知识点，考查题型多种多样，有选择、填空和解答题，试题内容涉及面广、命题形式灵活、多样的特点，所占分值在5分到10分之间。
一、夯实基础——直接利用定理进行计算与证明
综观近几年的中考试题可以发现，有关勾股定理的简单应用主要体现在求三角形的边长、面积题,以及判断三角形的形状上.
点评：勾股定理是一个数形结合定理，所以在运用勾股定理时如果没有图形常先画图，以增强解题的直观性
例2 （2008年广东考题)已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（）.
A.30 B.60 C.78 D.不能确定
解析：因为52+122=132，所以△ABC为直角三角形，因而其面积为 ×5×12=30，故选A.
中考题型总结与预测：在2009年的中考试题中，对勾股定理的简单计算仍将是命题的重点，试题难度不大，主要通过求三角形边长、面积作为考查勾股定理的掌握程度.题型以选择、填空为主，针对这些命题趋势，同学们在复习时应夯实基础知识，提高计算能力，注重对勾股定理的理解和运用.
二、提升能力——定理的实际应用
勾股定理在初中数学知识体系中具有重要的应用价值，在现实生产、生活和其他学科中有着广泛的应用，在解决这些实际应用问题时，首先要将这此实际问题转化为数学问题，然后再利用勾股定理及逆定理来解决.在应用时要明确勾股定理的适应范围是直角三角形，如果没有直角三角形，常通过作高来构造直角三角形，从而创造利用勾股定理的条件.
【例题精析】
例3（2008黄冈考题）如图2是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm，BD=200 cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？
解析：如图2，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M，由垂径定理可知：MN为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC，
∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴AB∥CD．
∵AB=CD,∴四边形ABCD为矩形,
∴AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20 cm,
∴AG=GC= AC=100 cm．
设⊙O的圆心为R,由勾股定理得OA2=OG2+AG2,即R2=（R-20）2+1002,
解得R=260 cm,
∴MN=2R=520 cm.所以这个圆弧形门的最高点离地面的高度是520 cm．
点评：本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.
中考题型总结与预测：2009年的中考试题中仍将加大勾股定理的应用力度的考查，题型以填空和解答题为主，分值在5至8分之间.
三、归纳运用——定理应用中的思想方法
数学思想是解决问题的灵魂，在勾股定理的应用中常用到的数学思想方法主要有：
1.数形结合思想：抓住“数”与“形”之间的本质联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，把抽象问题转化为直观的形或把复杂的形转化为具体的数，从而避开烦琐运算，简捷解题.
2.方程思想：是指通过列方程（组）求解的一种思想方法，是解几何计算的重要策略.勾股定理实质是一个等式，其表达式中有三个量，当已知其中两个量求另一个量时，往往通过设未知数，通过构建方程来解决.
3.转化思想：转化思想就是把所要解决的的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题.例如，在解有关几何体上的路线问题时，常将其转化为平面上的路线问题，然后借助勾股定理来解决.
4.分类讨论思想：分类讨论思想就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行进行解决，从而达到解决整个问题的目的.例如，当题中没有具体说明已知边是直角边还是斜边的情况时，常进行分类讨论.
【例题精选】
例5（2008年新疆建议兵团考题）如图3，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走.当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．
解析：设经过x秒时两人相距85m，根据题意得：（4x）2+（50+3x）2=852 ，化简得：x2+12x-189=0，解得：x1=9，x2=-21（不符合实际情况，舍去），当x=9时，4x=36，50+3x=77，∴当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处．
例6（2008青海考题）如图4，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A 点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与 点相对的B 点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是______cm（结果用带根号和 的式子表示）．
解析：解此题的关键是把侧面展开，利用两点的连线中线段最短和勾股定理作答.如果说将圆柱体的侧面沿AC剪开铺平，如图5, 则ADBC为长方形，BD=20cm，AD=7πcm，∠D=90。，有勾股定理得AB= cm.
中考题型总结与预测：在2009年的中考试题中，将加大对数学思想方法的考查，难度有所加大，值得我们关注和重视，此类题将以计算题和图形操作题的形式出现，分值在5分左右.
四、融会贯通——勾股定理的拓展应用
勾股定理常应用于解决图形折叠、拼接问题以及在新情境下的探索性、开放性试题，这些试题起点低，但综合性强，能综合考查同学们对知识的融会贯通能力，相对较难.
【例题精选】
例7（2008年临沂考题）如图6，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝________.
点评：本题涉及等腰直角三角形的性质和勾股定理的知识，解此题的思路是：通过连续地运用勾股定理计算各个等腰直角三角形的斜边长，进而求得直角三角形的面积，然后从中发现面积规律，再归纳出第n个等到腰直角三角形的面积，较好地考查了由特殊到一般进行规律探索的能力.
中考题型总结与预测：在2009年的数学中考试题中，利用勾股定理探索线段长度规律、面积规律以及典型问题的探究将是中考试卷中一朵亮丽的“奇葩”，仍然是考查的重点和难点，命题形式多种多样，在填空题和解答题上将会重拳出击.
编辑/王宇
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
勾股定理及逆定理在2008年重点省市中考数学试卷中的考点分布情况统计表：
由上表可以看出，勾股定理是倍受命题者青睐的知识点，考查题型多种多样，有选择、填空和解答题，试题内容涉及面广、命题形式灵活、多样的特点，所占分值在5分到10分之间。
一、夯实基础——直接利用定理进行计算与证明
综观近几年的中考试题可以发现，有关勾股定理的简单应用主要体现在求三角形的边长、面积题,以及判断三角形的形状上.
点评：勾股定理是一个数形结合定理，所以在运用勾股定理时如果没有图形常先画图，以增强解题的直观性
例2 （2008年广东考题)已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（）.
A.30 B.60 C.78 D.不能确定
解析：因为52+122=132，所以△ABC为直角三角形，因而其面积为 ×5×12=30，故选A.
中考题型总结与预测：在2009年的中考试题中，对勾股定理的简单计算仍将是命题的重点，试题难度不大，主要通过求三角形边长、面积作为考查勾股定理的掌握程度.题型以选择、填空为主，针对这些命题趋势，同学们在复习时应夯实基础知识，提高计算能力，注重对勾股定理的理解和运用.
二、提升能力——定理的实际应用
勾股定理在初中数学知识体系中具有重要的应用价值，在现实生产、生活和其他学科中有着广泛的应用，在解决这些实际应用问题时，首先要将这此实际问题转化为数学问题，然后再利用勾股定理及逆定理来解决.在应用时要明确勾股定理的适应范围是直角三角形，如果没有直角三角形，常通过作高来构造直角三角形，从而创造利用勾股定理的条件.
【例题精析】
例3（2008黄冈考题）如图2是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20 cm，BD=200 cm，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？
解析：如图2，连接AC，作AC的中垂线交AC于G，交BD于N，交圆的另一点为M，由垂径定理可知：MN为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取MN的中点O，则O为圆心，连接OA、OC，
∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴AB∥CD．
∵AB=CD,∴四边形ABCD为矩形,
∴AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20 cm,
∴AG=GC= AC=100 cm．
设⊙O的圆心为R,由勾股定理得OA2=OG2+AG2,即R2=（R-20）2+1002,
解得R=260 cm,
∴MN=2R=520 cm.所以这个圆弧形门的最高点离地面的高度是520 cm．
点评：本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.
中考题型总结与预测：2009年的中考试题中仍将加大勾股定理的应用力度的考查，题型以填空和解答题为主，分值在5至8分之间.
三、归纳运用——定理应用中的思想方法
数学思想是解决问题的灵魂，在勾股定理的应用中常用到的数学思想方法主要有：
1.数形结合思想：抓住“数”与“形”之间的本质联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，把抽象问题转化为直观的形或把复杂的形转化为具体的数，从而避开烦琐运算，简捷解题.
2.方程思想：是指通过列方程（组）求解的一种思想方法，是解几何计算的重要策略.勾股定理实质是一个等式，其表达式中有三个量，当已知其中两个量求另一个量时，往往通过设未知数，通过构建方程来解决.
3.转化思想：转化思想就是把所要解决的的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题.例如，在解有关几何体上的路线问题时，常将其转化为平面上的路线问题，然后借助勾股定理来解决.
4.分类讨论思想：分类讨论思想就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行进行解决，从而达到解决整个问题的目的.例如，当题中没有具体说明已知边是直角边还是斜边的情况时，常进行分类讨论.
【例题精选】
例5（2008年新疆建议兵团考题）如图3，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走.当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．
解析：设经过x秒时两人相距85m，根据题意得：（4x）2+（50+3x）2=852 ，化简得：x2+12x-189=0，解得：x1=9，x2=-21（不符合实际情况，舍去），当x=9时，4x=36，50+3x=77，∴当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处．
例6（2008青海考题）如图4，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A 点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与 点相对的B 点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是______cm（结果用带根号和 的式子表示）．
解析：解此题的关键是把侧面展开，利用两点的连线中线段最短和勾股定理作答.如果说将圆柱体的侧面沿AC剪开铺平，如图5, 则ADBC为长方形，BD=20cm，AD=7πcm，∠D=90。，有勾股定理得AB= cm.
中考题型总结与预测：在2009年的中考试题中，将加大对数学思想方法的考查，难度有所加大，值得我们关注和重视，此类题将以计算题和图形操作题的形式出现，分值在5分左右.
四、融会贯通——勾股定理的拓展应用
勾股定理常应用于解决图形折叠、拼接问题以及在新情境下的探索性、开放性试题，这些试题起点低，但综合性强，能综合考查同学们对知识的融会贯通能力，相对较难.
【例题精选】
例7（2008年临沂考题）如图6，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn＝________.
点评：本题涉及等腰直角三角形的性质和勾股定理的知识，解此题的思路是：通过连续地运用勾股定理计算各个等腰直角三角形的斜边长，进而求得直角三角形的面积，然后从中发现面积规律，再归纳出第n个等到腰直角三角形的面积，较好地考查了由特殊到一般进行规律探索的能力.
中考题型总结与预测：在2009年的数学中考试题中，利用勾股定理探索线段长度规律、面积规律以及典型问题的探究将是中考试卷中一朵亮丽的“奇葩”，仍然是考查的重点和难点，命题形式多种多样，在填空题和解答题上将会重拳出击.
编辑/王宇
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”