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摘 要：数学素养是学生发展必须具备的关键品格和能力，这是一种数学需要的基本特征，不仅有益于人一生的发展，而且也是适应社会发展所必需的关键素养能力。培养学生的数学核心素养是高中数学教学中探讨的热点问题。本文以“圆的标准方程”教学设计为例，分析如何在教学中培养学生的数学核心素养。
关键词：数学素养;圆的标准方程;教学设计
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2019）28-0083-03
引 言
数学素养集中体现了数学课程中的关键目标，这种素养是在数学学习中逐步形成的。教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学素养的核心要素定义为数学的抽象过程、推理过程、建模过程、想象及运算分析过程[1]。要想培养学生数学素养，教师需要以上述核心要素为根本，精心设计教学环节，进而以数学的核心要素为依托，开展数学教学活动。
当前，如何在学生数学学习的过程中培养学生的数学核心素养成为热点问题，被高中数学教学工作者们热议。培养学生数学素养的重要途径之一就是数学课堂教学。在课堂教学的过程中，教师可以充分发掘教材的育人功能，将课本中的数学知识生动形象地讲述给学生，将其中的数学思想进行抽象化展示[2]。而实现这一目标的关键在于，在依托课程标准及教学大纲的基础上设计好每个教学环节。本文以“圆的标准方程”的教学设计为例，谈谈如何提升学生的数学核心素养。
一、内容分析
1.教材分析
圆作为曲线，是解析几何中的重要内容，学生在掌握直线和方程的基础上，了解如何在直角坐标系中以建立方程的方式来研究圆这种曲线的性质[3]。在这一过程中，学生学习并运用圆形的性质知识。学生在深入学习中可以体会到数形结合的重要思想，培养自身应用代数方法来处理几何问题的能力。进一步来说，这一过程能使学生发展数学抽象、逻辑推理、建模、想象及直观运算等数学素养。
2.学情分析
圆作为特殊曲线，是解析几何中重要的内容。初中有关平面几何的数学学习已经对圆的基本性质做了较为系统全面的介绍，本节之前学生又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定了必要的基础。经过必修一、必修二的学习，高一学生对高中数学的基本学习方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。通过五种直线方程的学习，学生对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。
3.教法分析
为了充分调动学生的学习积极性，本节课采用自主探究的教学法，通过探究几何法和代数法，确保教师站在学生思维的最近发展区上，启发学生思考问题、理解问题、解决问题，从而培养学生数与形的数学抽象素养。
二、教学目标
1.知识与技能
（1）学习并了解如何推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程如何计算。
（2）可熟練掌握通过给定的圆心坐标、半径等信息写出圆的标准方程。
2.过程与方法
培养学生掌握解决分析与解析几何有关问题的方法，以数形结合来解决问题的思想，培养学生几何直观与数学抽象思维能力，通过圆的标准方程推导实际应用问题，培养学生的数学逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养。
3.情感态度与价值观
通过课堂教学活动，学生能够利用已有和新学习的知识分析问题，并能进一步解决问题，享受解决问题过程中的成就感，激发自身自信心和自豪感，进而提高对数学学习的热情与兴趣。
三、教学重点与难点
重点：理解并推导圆的标准方程和掌握圆的标准方程特征。
难点：根据已知条件求相应的圆的标准方程;点和圆位置关系的判定。
四、教学过程
1.情境设置
教师用多媒体播放实际生活中圆的模型，引导学生从中抽象出圆的几何图形，引出毕达哥拉斯学派：“一切平面图形中，圆形是最美的图形，一切空间图形中，球形是最美图形。”并导入课题：在直角坐标系中，如何判断是否是直线？根据什么要素确定给定的图形是直线？如何判断是否是曲线？圆形作为一种特殊的曲线，其判断标准是什么？什么样的曲线称之为圆？在直角坐标系中，所有的直线都可以通过一个一元二次方程来表示，曲线是否可以用一个一元二次方程来表示？圆可以吗？如果可以的话，方程应该具备什么特征？
【设计意图】通过引入生活中的圆，使学生明白，数学源于生活，服务于生活。抽象出圆的定义，通过这种方式培养并提高学生的抽象想象能力，通过与现实的联系，培养学生的类比分析推理能力。
2.探索研究
图1
探究：圆心坐标为C（a，b），半径为r的圆的标准方程。
如图1，圆的基本条件有圆心和半径，设圆的圆心坐标为C（a，b），半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M（x，y）是圆上的任意一点，那么该点M满足的条件是什么？（该问题引导学生答出）P={M||MC|=r}，让学生根据两点间的距离公式写出点M条件应为①
通过化简得出：②
引导学生自己证明为圆的方程，得出所需结论。
方程②就是圆心为C （a，b），半径为r的圆的方程，我们把它叫作圆的标准方程。
方程特征：
（1）二元二次方程，x，y的系数均为1; （2）含有a，b，r三个参数;
（3）圆心（a，b），半径为r。
【设计意图】通过圆的标准方程的推导，培育并提高学生数学的逻辑推理、运算、建模等数学素养。
3.知识应用与解题研究
例1.（I）写出下列各圆的方程。
（1）圆心在C（3，4），半径是
（2）经过点P（5，1），圆心在点C（8，-3）
（II）求下列圆的圆心和半径。
（1）（x-1）2+y2=6
（2）（x+1）2+（y-2）2=9
（3）（x+a）2+y2=a2
【设计意图】通过例题的简单应用使学生熟悉圆的标准方程，掌握分类讨论思想。
探究：写出圆心为，半径为5的圆的方程，并判断是否在这个圆上。
探究分析：可从以计算点到圆心的距离为切入点。
结论：点与圆的关系的判断方法：
（1）>r2，点在圆外;
（2）=r2，点在圆上;
（3） 练习：点P（1，5）与圆x2+y2=25的位置关系（ ）。
A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆上或圆外
变式1.点P（m，5）与圆x2+y2=25的位置关系（ ）。
A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆上或圆外
【设计意图】通过探究点与圆的位置关系，使学生掌握几何法和代数法两种方法，通过这两种方法培养学生的数学运算、几何想象、推理能力。
例2.?ABC的三个顶点的坐标是A（5，1），B（7，-3）， C（2，-8），求它的外接圆的方程。
解法1（代数法）：设所求的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，因为点A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）都在圆上，它们的坐标都满足方程（x-a）2+（y-b）2=r2，于是
解此方程组得
所以?ABC的外接圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=25。
解法2（几何法）：（引导学生画图分析，如图2）已知线段AB中点的坐标是（6，-1），斜率是-2，因此线段AB的垂直平分线的方程为y+1=（x-6）。①
同理线段AC的中点坐标为（3.5，-3.5），斜率为3，所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3（x-3.5）。 ②
解①②组成的方程组得x=2，y=-3，所以圆心坐标为（2，-3），半径r==5，
所以?ABC的外接圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=25。
图2
点评：?ABC外接圆的圆心是?ABC的外心，外心是?ABC三边垂直平分线的交点，到三顶点的距离相等，也就是圆的半径，几何图形的额外知识点可以拓宽学生思路。
【设计意图】通过几何法和代数法求已知三点求外接圆的方程，通过这两种方法培育并提高学生数学运算、抽象想象、逻辑推理等数学素养。
例3.已知点P在圆，O为坐标原点|OP|，求的最大值和最小值。
解：圆心C（3，-4），半径r=2， |OP|max=|OC|+r =5+2=7
|OP|min=|OC|-r =5-2=3
变式2.若实数x，y满足（x+5）2+（y-12）2=225，求：
（1）的最小值;（2）的最大值。
解：（1）圆心C（-5，12），半径R=15，最小值=R-|OC|=15-13=2;
（2）因为表示求圆心C（-5，12）与点A（-1，9）之间的距离的平方，所以的最大值=（|AC|+R）2=（5+15）2=400。
【设计意图】通过例3和变式训练，培养学生的数形结合思想，进而培养学生的几何逻辑推理能力、数学运算能力等数学核心素养。
4.思维提升
（1）四点A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），D（5，-7）共圆吗？若共圆求出圆心坐标及其半径。
（2）圆的标准的方程形式是，该式展开后形式是什么？展开后的形式都表示圆吗？
【设计意图】通过设置这两个问题，培养学生运用知识的迁移能力和预习自学能力，进而培养学生的数学综合应用能力。
5.课堂小结
（1）知识：①理解并掌握圆的标准方程;②判定点与圆的位置关系;③求解圆的标准方程方法：待定系数法和几何法。
（2）思想：数形结合的思想。
6.布置作业
必做题：P124习题4.1中A组第2，3，4题;选做题：P124习题4.1A组第5题。
【设计意图】多样化设计的作业，满足知识掌握程度不同的学生学习和培养数学核心素养的需要，复习旧知识，巩固新知识，进一步培育并提高学生运算、推理、抽象化思想等核心素养。
华罗庚说过：“焉能分作两边飞，数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休切莫忘，几何代数统一体永远联系莫分离。[4]”数学素养中以数形结合的抽象化想象能力需要学生在数学教学活动中深入探究。
高中数学课中基本概念理论教学要以核心要素培养为主方向，通过培养学生直观想象、推理等多个核心能力，引导学生在实践中一同交流探究，使之更为深刻地理解相关数学概念和理论。本教学设计以学生已学习掌握的知识为基础，以培养学生核心素养为主线方向，主要做了以下几方面探究。
第一，从生活中圆和直线的关系入手，提升学生的直观分析、形象化理解、推理等能力。
第二，引导学生了解并主动探究圆的标准方程，教会学生用曲线方程的一般方法，以及用坐标的方法解决几何问题，将数形结合和等价转换等思想应用于解题中。通过方程化简，提升学生的推理与运算等数学素养。
第三，通过典型例题的解析，引导学生分析圆的标准方程形式特点，判断出其与其他方程的区别，学会应用新知识解决问题，通过实际例题的实践巩固学生对知识的掌握和理解。
第四，通过变式及思维提升问题，培养学生从数学角度思考问题的方法，找出解题中的关键点和难点，多角度培养学生解题的思维方式，挖掘并培养数学核心素养。
结 语
数学学科的核心素养包括数学的抽象过程、推理过程、建模过程、想象及运算分析过程，数学核心要素之间既相对独立，又相互联系。在课程安排中，某些课程侧重点可能只有一个核心要素，但有些可能包含的核心要素较全面，教师在制订教学设计时，要结合教学内容，有目的地进行设计，从而使学生的思维能力和创新实践能力得到提升。
[参考文献]
中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.
王志刚.阮飞.从一道数学试题的命制过程分析数学核心素养的考査方法[J].数学教学通讯：下旬，2016（33）：6-8.
張先龙，肖凌戆.基于数学核心素养的教学设计——以函数的单调性新授课为例[J].中学数学教学参考：上旬，2017（01）：16-19.
刘子武.基于数学核心素养导向的教学设计——以“椭圆的标准方程（1）”为例[J].中学数学教学参考（下旬），2018（05）：18-31.
作者简介：邓京凤（1980.3—），女，广西桂林人，硕士学位，高级教师，市级骨干教师。
关键词：数学素养;圆的标准方程;教学设计
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2019）28-0083-03
引 言
数学素养集中体现了数学课程中的关键目标，这种素养是在数学学习中逐步形成的。教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学素养的核心要素定义为数学的抽象过程、推理过程、建模过程、想象及运算分析过程[1]。要想培养学生数学素养，教师需要以上述核心要素为根本，精心设计教学环节，进而以数学的核心要素为依托，开展数学教学活动。
当前，如何在学生数学学习的过程中培养学生的数学核心素养成为热点问题，被高中数学教学工作者们热议。培养学生数学素养的重要途径之一就是数学课堂教学。在课堂教学的过程中，教师可以充分发掘教材的育人功能，将课本中的数学知识生动形象地讲述给学生，将其中的数学思想进行抽象化展示[2]。而实现这一目标的关键在于，在依托课程标准及教学大纲的基础上设计好每个教学环节。本文以“圆的标准方程”的教学设计为例，谈谈如何提升学生的数学核心素养。
一、内容分析
1.教材分析
圆作为曲线，是解析几何中的重要内容，学生在掌握直线和方程的基础上，了解如何在直角坐标系中以建立方程的方式来研究圆这种曲线的性质[3]。在这一过程中，学生学习并运用圆形的性质知识。学生在深入学习中可以体会到数形结合的重要思想，培养自身应用代数方法来处理几何问题的能力。进一步来说，这一过程能使学生发展数学抽象、逻辑推理、建模、想象及直观运算等数学素养。
2.学情分析
圆作为特殊曲线，是解析几何中重要的内容。初中有关平面几何的数学学习已经对圆的基本性质做了较为系统全面的介绍，本节之前学生又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定了必要的基础。经过必修一、必修二的学习，高一学生对高中数学的基本学习方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。通过五种直线方程的学习，学生对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。
3.教法分析
为了充分调动学生的学习积极性，本节课采用自主探究的教学法，通过探究几何法和代数法，确保教师站在学生思维的最近发展区上，启发学生思考问题、理解问题、解决问题，从而培养学生数与形的数学抽象素养。
二、教学目标
1.知识与技能
（1）学习并了解如何推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程如何计算。
（2）可熟練掌握通过给定的圆心坐标、半径等信息写出圆的标准方程。
2.过程与方法
培养学生掌握解决分析与解析几何有关问题的方法，以数形结合来解决问题的思想，培养学生几何直观与数学抽象思维能力，通过圆的标准方程推导实际应用问题，培养学生的数学逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养。
3.情感态度与价值观
通过课堂教学活动，学生能够利用已有和新学习的知识分析问题，并能进一步解决问题，享受解决问题过程中的成就感，激发自身自信心和自豪感，进而提高对数学学习的热情与兴趣。
三、教学重点与难点
重点：理解并推导圆的标准方程和掌握圆的标准方程特征。
难点：根据已知条件求相应的圆的标准方程;点和圆位置关系的判定。
四、教学过程
1.情境设置
教师用多媒体播放实际生活中圆的模型，引导学生从中抽象出圆的几何图形，引出毕达哥拉斯学派：“一切平面图形中，圆形是最美的图形，一切空间图形中，球形是最美图形。”并导入课题：在直角坐标系中，如何判断是否是直线？根据什么要素确定给定的图形是直线？如何判断是否是曲线？圆形作为一种特殊的曲线，其判断标准是什么？什么样的曲线称之为圆？在直角坐标系中，所有的直线都可以通过一个一元二次方程来表示，曲线是否可以用一个一元二次方程来表示？圆可以吗？如果可以的话，方程应该具备什么特征？
【设计意图】通过引入生活中的圆，使学生明白，数学源于生活，服务于生活。抽象出圆的定义，通过这种方式培养并提高学生的抽象想象能力，通过与现实的联系，培养学生的类比分析推理能力。
2.探索研究
图1
探究：圆心坐标为C（a，b），半径为r的圆的标准方程。
如图1，圆的基本条件有圆心和半径，设圆的圆心坐标为C（a，b），半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M（x，y）是圆上的任意一点，那么该点M满足的条件是什么？（该问题引导学生答出）P={M||MC|=r}，让学生根据两点间的距离公式写出点M条件应为①
通过化简得出：②
引导学生自己证明为圆的方程，得出所需结论。
方程②就是圆心为C （a，b），半径为r的圆的方程，我们把它叫作圆的标准方程。
方程特征：
（1）二元二次方程，x，y的系数均为1; （2）含有a，b，r三个参数;
（3）圆心（a，b），半径为r。
【设计意图】通过圆的标准方程的推导，培育并提高学生数学的逻辑推理、运算、建模等数学素养。
3.知识应用与解题研究
例1.（I）写出下列各圆的方程。
（1）圆心在C（3，4），半径是
（2）经过点P（5，1），圆心在点C（8，-3）
（II）求下列圆的圆心和半径。
（1）（x-1）2+y2=6
（2）（x+1）2+（y-2）2=9
（3）（x+a）2+y2=a2
【设计意图】通过例题的简单应用使学生熟悉圆的标准方程，掌握分类讨论思想。
探究：写出圆心为，半径为5的圆的方程，并判断是否在这个圆上。
探究分析：可从以计算点到圆心的距离为切入点。
结论：点与圆的关系的判断方法：
（1）>r2，点在圆外;
（2）=r2，点在圆上;
（3）
A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆上或圆外
变式1.点P（m，5）与圆x2+y2=25的位置关系（ ）。
A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆上或圆外
【设计意图】通过探究点与圆的位置关系，使学生掌握几何法和代数法两种方法，通过这两种方法培养学生的数学运算、几何想象、推理能力。
例2.?ABC的三个顶点的坐标是A（5，1），B（7，-3）， C（2，-8），求它的外接圆的方程。
解法1（代数法）：设所求的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，因为点A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）都在圆上，它们的坐标都满足方程（x-a）2+（y-b）2=r2，于是
解此方程组得
所以?ABC的外接圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=25。
解法2（几何法）：（引导学生画图分析，如图2）已知线段AB中点的坐标是（6，-1），斜率是-2，因此线段AB的垂直平分线的方程为y+1=（x-6）。①
同理线段AC的中点坐标为（3.5，-3.5），斜率为3，所以线段AC的垂直平分线的方程为y+3.5=3（x-3.5）。 ②
解①②组成的方程组得x=2，y=-3，所以圆心坐标为（2，-3），半径r==5，
所以?ABC的外接圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=25。
图2
点评：?ABC外接圆的圆心是?ABC的外心，外心是?ABC三边垂直平分线的交点，到三顶点的距离相等，也就是圆的半径，几何图形的额外知识点可以拓宽学生思路。
【设计意图】通过几何法和代数法求已知三点求外接圆的方程，通过这两种方法培育并提高学生数学运算、抽象想象、逻辑推理等数学素养。
例3.已知点P在圆，O为坐标原点|OP|，求的最大值和最小值。
解：圆心C（3，-4），半径r=2， |OP|max=|OC|+r =5+2=7
|OP|min=|OC|-r =5-2=3
变式2.若实数x，y满足（x+5）2+（y-12）2=225，求：
（1）的最小值;（2）的最大值。
解：（1）圆心C（-5，12），半径R=15，最小值=R-|OC|=15-13=2;
（2）因为表示求圆心C（-5，12）与点A（-1，9）之间的距离的平方，所以的最大值=（|AC|+R）2=（5+15）2=400。
【设计意图】通过例3和变式训练，培养学生的数形结合思想，进而培养学生的几何逻辑推理能力、数学运算能力等数学核心素养。
4.思维提升
（1）四点A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），D（5，-7）共圆吗？若共圆求出圆心坐标及其半径。
（2）圆的标准的方程形式是，该式展开后形式是什么？展开后的形式都表示圆吗？
【设计意图】通过设置这两个问题，培养学生运用知识的迁移能力和预习自学能力，进而培养学生的数学综合应用能力。
5.课堂小结
（1）知识：①理解并掌握圆的标准方程;②判定点与圆的位置关系;③求解圆的标准方程方法：待定系数法和几何法。
（2）思想：数形结合的思想。
6.布置作业
必做题：P124习题4.1中A组第2，3，4题;选做题：P124习题4.1A组第5题。
【设计意图】多样化设计的作业，满足知识掌握程度不同的学生学习和培养数学核心素养的需要，复习旧知识，巩固新知识，进一步培育并提高学生运算、推理、抽象化思想等核心素养。
华罗庚说过：“焉能分作两边飞，数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休切莫忘，几何代数统一体永远联系莫分离。[4]”数学素养中以数形结合的抽象化想象能力需要学生在数学教学活动中深入探究。
高中数学课中基本概念理论教学要以核心要素培养为主方向，通过培养学生直观想象、推理等多个核心能力，引导学生在实践中一同交流探究，使之更为深刻地理解相关数学概念和理论。本教学设计以学生已学习掌握的知识为基础，以培养学生核心素养为主线方向，主要做了以下几方面探究。
第一，从生活中圆和直线的关系入手，提升学生的直观分析、形象化理解、推理等能力。
第二，引导学生了解并主动探究圆的标准方程，教会学生用曲线方程的一般方法，以及用坐标的方法解决几何问题，将数形结合和等价转换等思想应用于解题中。通过方程化简，提升学生的推理与运算等数学素养。
第三，通过典型例题的解析，引导学生分析圆的标准方程形式特点，判断出其与其他方程的区别，学会应用新知识解决问题，通过实际例题的实践巩固学生对知识的掌握和理解。
第四，通过变式及思维提升问题，培养学生从数学角度思考问题的方法，找出解题中的关键点和难点，多角度培养学生解题的思维方式，挖掘并培养数学核心素养。
结 语
数学学科的核心素养包括数学的抽象过程、推理过程、建模过程、想象及运算分析过程，数学核心要素之间既相对独立，又相互联系。在课程安排中，某些课程侧重点可能只有一个核心要素，但有些可能包含的核心要素较全面，教师在制订教学设计时，要结合教学内容，有目的地进行设计，从而使学生的思维能力和创新实践能力得到提升。
[参考文献]
中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.
王志刚.阮飞.从一道数学试题的命制过程分析数学核心素养的考査方法[J].数学教学通讯：下旬，2016（33）：6-8.
張先龙，肖凌戆.基于数学核心素养的教学设计——以函数的单调性新授课为例[J].中学数学教学参考：上旬，2017（01）：16-19.
刘子武.基于数学核心素养导向的教学设计——以“椭圆的标准方程（1）”为例[J].中学数学教学参考（下旬），2018（05）：18-31.
作者简介：邓京凤（1980.3—），女，广西桂林人，硕士学位，高级教师，市级骨干教师。