在中学数学教材中，没有深刻讨论一元二次方程根的问题，但在本文论中主要研究了实系数的一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，实数根符号的讨论等有关问题和复系数的一元二次方程根的情况.我们知道一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0 ）有实根的充分必要条件是b2 -4ac0其实根的表达式（求根公式）是x=
　　1. 实系数的一元二次方程根的判别式
　　一元二次方程有没有实数根，关键在于 b2 -4ac（也是《Δ 》DeLta）是否小于零.
　　（1）当Δ>0 时，一元二次方程有互不相等的两个实数根x1≠x2
　　（2）当Δ=0时，一元二次方程有相等的两个实数根x1= x2
　　（3）当Δ<0时，一元二次方程无实数根
　　实系数的一元二次方程根的判别时，必须注意几个点：
　　（1）原方程整理为一般形式后再讨论
　　2. 实系数的一元二次方程根的判别用多种方法来讨论.
　　⑴ 用配方法讨论方程的根
　　例2 求证方程（m2-1）x2-2mx+（m2+4）=0无实数根.
　　证 原方程为m2x2+（x-m） 2+4=0
　　但m2x2+（x-m） 2+440
　　原方程无实数根.
　　⑵用因式分解法讨论方程的根
　　例3 已知K为非负实数，关于x的方程x2-（4k +2）x + 8k=0.
　　试证方程有两个非负实数根，并求出这两个实数.
　　解 变形原方程为 x（x-4k）-2（x-4k）=0，得（x-4k）（x-2） =0
　　x1=4k x2=2 k≥0 x1≥0
　　即方程有两个非负实数根.
　　.
　　3. 实系数的一元二次方程根与系数的关系.
　　一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学占有重要位置.本论文讨论了实系数的一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，实数根符号的讨论等有关问题和复系数的一元二次方程根的情况.初步加深了学生有关一元二次方程根的理解，提高解题速度，思维能力和兴趣，讨论实系数的一元二次方程根和复系数的一元二次方程根等有关问题，提高学生独立分析解决问题的能力，又可以有效帮助学生提高思维能力，遇到有关一元二次方程的根的问题的时候，巧妙的应用上述性来解决问题.