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摘 要：探索性问题是开发和培养学生的创新思维及解题能力的好素材，是学生动手实践，自主探索学习数学的重要方式。对于学生主动去研究问题，不断提高其分析问题和解决问题的能力有重要的作用和意义。探索性问题已成为近年来各地中考命题的一个亮点。
关键词：探索类型；探索规律；知识能力；解题；策略
探索性数学问题的基本形式有：有结论反溯相应的条件；由题设探求相应的结论；存在探索性问题；通过阅读一段文字，找出其规律，探求解题方法等。本文就此介绍探索性问题的几种常见类型及解题方法。
一、探索结论型
这类试题的题设中给出明确的条件，要求判断猜测相应的结论；或变换某个题设条件，探索对结论的影响。解这类题时，要通过类比引申推广或归纳总结得出一般结论。
[例1]如图1，已知抛物线[y=x2 kx k-1。]
（1）求证：无论k取什么实数，抛物线经过x轴上一定点。
（2）抛物线与y轴有交点c，与x轴交点[A（x1，0）]，[B（x2，0）]两点，且满足[x1 分析：（1）抛物线如果经过x轴上一定点，那么在抛物线与x轴的两个交点中，有一个坐标应为常数，也就是与k值无关。可令y=0，求出x值，判断是否经过x轴一定点。
（2）由于抛物线是轴对称图形，A、B两点是关于抛物线对称轴的对称点，那么过A、B两点的圆的圆心一定在抛物线对称轴上，C点如果是抛物线的顶点，那么圆与抛物线就不会再有第四个交点了；如果C点不是抛物线顶点，那么根据对称性，必有一点与C对称，是圆与抛物线交点。因此，本题的关键是求出抛物线顶点、对称轴、C点坐标，比较它们的关系，另外，本题数形结合非常重要，分析与解答时，头脑中要时时有形的概念。
二、探索条件型
这类题型是给定结论去探求满足结论的条件，而满足结论的条件又未必唯一或是一定的范围。在解题时，要对结论、图形进行分类、归纳，利用有关性质和定理进行推理、计算从而获得符合条件的结论。
[例2]已知，如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A的切线与CB延长线交于E。
（1）求证：AB·DA=CD·BE。
（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BDC上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件可以使原结论成立？
分析，如图3：①只需证：△ABE∽△CDA；②当A在弧BD上运动时，[∠]ABE=[∠]D，要使结论成立，则需△ABE∽△CDA，还需[∠]BAE=[∠]DCA，即BF=AD，从而可找到结论成立的条件。在本题（2）中，其答案往往不是惟一的，在这里可找到使问题成立的直接答案：[∠]EAB=[∠]ACD，还可找到要使“[∠]EAB=[∠]ACD成立”需要具备的条件。
三、探索存在型
这类命题是指在某种条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在，解题时可先分析条件，通过数形结合，直接探求，或先假设其存在，并将其构造出来，再利用已知条件及有关性质，将其肯定或否定。
[例3]如图4，在△ABC中，BC=12，AC=8[2]，[∠]C=45[°]，P是BC边上一动点，过P作PD//AB交AC于D，连结AP，设线段BP=x、[S△APD]=y。
（1）求Y与X的函数关系式。
（2）是否存在点P，使[S△APD]=[S△ABP]，如果存在，找出BP的长，如果不存在，请说明理由。
分析：（1）由PD//AB，[S△APDS△ABP=PDAB=CPCB=12-X12]
又由[S△ABP=12BP·AH=4x]，所以[y=-13x2 4x（0 （2）是否存在点P，使[S△APD=13S△ABP]，可化归为方程[-x2·13 4x=13×4x]，是否有解即可。解得[x1=0（舍去）]，[x2=8]，所以存在点P，使得[S△APD=13S△ABP]，此时BP=8。
四、探索规律型
这类命题是在一定条件状态下探索发现有关数学对象具有的规律性或不变性，解题时通过仔细观察，分析要抓住特殊情况进行分析、比较、猜想、归纳、概括等思维活动，探索出一般规律。
[例4]如图5已知AB是[⊙O]直径，点[O1]、[O2]……[On]在线段AB上，分别以[O1]、[O2]……[On]为圆心，使[⊙O1]、[⊙O2]……[⊙On]均外切，且[⊙O1]、[⊙On]与[⊙O]内切，设[⊙O]的周长C，[⊙O1]、[⊙O2]……[⊙On]周长为[C1]、[C2]……[Cn]。问：当n取大于3任一自然数时，[C1] [C2 ]…… [Cn]与C的大小关系怎样？证明你的结论。分析：先由题意画出图形。可先从n=2，n=3，较少自然数入手，得出结论，然后根据这些特殊情况分析、比较、发现规律，归纳出一般规律，解略。
五、阅读理解型
这类命题着重考查学生阅读能力，观察分析能力，梳理信息和归纳总结的能力。通常在阅读基础上，理解其中内容，方法和思想，然后把握本质、在理解实质的基础上作出解答。
[例5]兰花公司收购了纯绿菜花140吨，经市场调查，每天至少能销售1吨且每吨利润1000元，经粗加工后销售每吨利润达1500元，经精加工后销售每吨利润增到2000元，该公司加工厂每天能粗加工16吨，精加工6吨，但两种加工不能同时进行，因受季节等条件限制，公司必须在15天时间将这批菜全部销售或加工，请你为公司设计几种可行方案，哪种方案获利最多？
分析：考虑公司以盈利为目的，设计的方案应使公司获得利润： ①将菜花全部在市场销售，或获得利润1000×140=140000（元）；②全部粗加工，可获利润1500×140=210000（元）；③尽可能多精加工，剩余的直接销售市场，可获利润2000×15×6 50×1000=230000元；④将一部分精加工，其余的粗加工，并恰好15元完成，可设精加工x天，则[6x 1615-x=140]，解得[x=10]，此时可获利润2000×10×6 80×1500=240000元，由此可知选择方案四获利最多，最多利润为24万元。
总之，探索性数学问题是近几年出现的一种新题型，其内容必将会越来越丰富，题目会越来越灵活，探索的最终目的就是创新发展。因此，努力培养学生的探索思维是我们数学教学的重要一环。
参考文献：
[1]全国中小学教师继续教育网组.初中数学新课程标准解读（2011版）[M].北京：中国轻工業出版社，2012.
[2]中学数学教育.2004，4（16）.
[3]数理化·初中版.2006（11）.
[4]中学课程辅导·教学研究.2015（6）.
关键词：探索类型；探索规律；知识能力；解题；策略
探索性数学问题的基本形式有：有结论反溯相应的条件；由题设探求相应的结论；存在探索性问题；通过阅读一段文字，找出其规律，探求解题方法等。本文就此介绍探索性问题的几种常见类型及解题方法。
一、探索结论型
这类试题的题设中给出明确的条件，要求判断猜测相应的结论；或变换某个题设条件，探索对结论的影响。解这类题时，要通过类比引申推广或归纳总结得出一般结论。
[例1]如图1，已知抛物线[y=x2 kx k-1。]
（1）求证：无论k取什么实数，抛物线经过x轴上一定点。
（2）抛物线与y轴有交点c，与x轴交点[A（x1，0）]，[B（x2，0）]两点，且满足[x1
（2）由于抛物线是轴对称图形，A、B两点是关于抛物线对称轴的对称点，那么过A、B两点的圆的圆心一定在抛物线对称轴上，C点如果是抛物线的顶点，那么圆与抛物线就不会再有第四个交点了；如果C点不是抛物线顶点，那么根据对称性，必有一点与C对称，是圆与抛物线交点。因此，本题的关键是求出抛物线顶点、对称轴、C点坐标，比较它们的关系，另外，本题数形结合非常重要，分析与解答时，头脑中要时时有形的概念。
二、探索条件型
这类题型是给定结论去探求满足结论的条件，而满足结论的条件又未必唯一或是一定的范围。在解题时，要对结论、图形进行分类、归纳，利用有关性质和定理进行推理、计算从而获得符合条件的结论。
[例2]已知，如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A的切线与CB延长线交于E。
（1）求证：AB·DA=CD·BE。
（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BDC上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件可以使原结论成立？
分析，如图3：①只需证：△ABE∽△CDA；②当A在弧BD上运动时，[∠]ABE=[∠]D，要使结论成立，则需△ABE∽△CDA，还需[∠]BAE=[∠]DCA，即BF=AD，从而可找到结论成立的条件。在本题（2）中，其答案往往不是惟一的，在这里可找到使问题成立的直接答案：[∠]EAB=[∠]ACD，还可找到要使“[∠]EAB=[∠]ACD成立”需要具备的条件。
三、探索存在型
这类命题是指在某种条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在，解题时可先分析条件，通过数形结合，直接探求，或先假设其存在，并将其构造出来，再利用已知条件及有关性质，将其肯定或否定。
[例3]如图4，在△ABC中，BC=12，AC=8[2]，[∠]C=45[°]，P是BC边上一动点，过P作PD//AB交AC于D，连结AP，设线段BP=x、[S△APD]=y。
（1）求Y与X的函数关系式。
（2）是否存在点P，使[S△APD]=[S△ABP]，如果存在，找出BP的长，如果不存在，请说明理由。
分析：（1）由PD//AB，[S△APDS△ABP=PDAB=CPCB=12-X12]
又由[S△ABP=12BP·AH=4x]，所以[y=-13x2 4x（0
四、探索规律型
这类命题是在一定条件状态下探索发现有关数学对象具有的规律性或不变性，解题时通过仔细观察，分析要抓住特殊情况进行分析、比较、猜想、归纳、概括等思维活动，探索出一般规律。
[例4]如图5已知AB是[⊙O]直径，点[O1]、[O2]……[On]在线段AB上，分别以[O1]、[O2]……[On]为圆心，使[⊙O1]、[⊙O2]……[⊙On]均外切，且[⊙O1]、[⊙On]与[⊙O]内切，设[⊙O]的周长C，[⊙O1]、[⊙O2]……[⊙On]周长为[C1]、[C2]……[Cn]。问：当n取大于3任一自然数时，[C1] [C2 ]…… [Cn]与C的大小关系怎样？证明你的结论。分析：先由题意画出图形。可先从n=2，n=3，较少自然数入手，得出结论，然后根据这些特殊情况分析、比较、发现规律，归纳出一般规律，解略。
五、阅读理解型
这类命题着重考查学生阅读能力，观察分析能力，梳理信息和归纳总结的能力。通常在阅读基础上，理解其中内容，方法和思想，然后把握本质、在理解实质的基础上作出解答。
[例5]兰花公司收购了纯绿菜花140吨，经市场调查，每天至少能销售1吨且每吨利润1000元，经粗加工后销售每吨利润达1500元，经精加工后销售每吨利润增到2000元，该公司加工厂每天能粗加工16吨，精加工6吨，但两种加工不能同时进行，因受季节等条件限制，公司必须在15天时间将这批菜全部销售或加工，请你为公司设计几种可行方案，哪种方案获利最多？
分析：考虑公司以盈利为目的，设计的方案应使公司获得利润： ①将菜花全部在市场销售，或获得利润1000×140=140000（元）；②全部粗加工，可获利润1500×140=210000（元）；③尽可能多精加工，剩余的直接销售市场，可获利润2000×15×6 50×1000=230000元；④将一部分精加工，其余的粗加工，并恰好15元完成，可设精加工x天，则[6x 1615-x=140]，解得[x=10]，此时可获利润2000×10×6 80×1500=240000元，由此可知选择方案四获利最多，最多利润为24万元。
总之，探索性数学问题是近几年出现的一种新题型，其内容必将会越来越丰富，题目会越来越灵活，探索的最终目的就是创新发展。因此，努力培养学生的探索思维是我们数学教学的重要一环。
参考文献：
[1]全国中小学教师继续教育网组.初中数学新课程标准解读（2011版）[M].北京：中国轻工業出版社，2012.
[2]中学数学教育.2004，4（16）.
[3]数理化·初中版.2006（11）.
[4]中学课程辅导·教学研究.2015（6）.