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通性通法Tong Xing Tong Fa通性通法Tong Xing Tong Fa类型一空间中点线面位置关系的证明
【例1】如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=22．
求证：（1） PA⊥平面EBO；
（2） FG∥平面EBO．
分析（1） 可利用“线线垂直”来证明“线面垂直”。先证明OE⊥PA，BO⊥PA；
（2） 证明直线与平面平行常用的方法有：一是判定定理（线线平行推出线面平行）；二是面面平行的性质定理（面面平行推出线面平行）。
证明由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形．
（1） 因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
BO平面ABC，所以BO⊥平面PAC．
因为PA平面PAC，所以BO⊥PA，
在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，所以OE⊥PA，
又BO∩OE=O，所以PA⊥平面EBO.
（2） 连接AF交BE于Q，连接QO．
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，
所以AOOG=2，且Q是△PAB的重心，
于是AQQF=2=AOOG，所以FG∥QO.
因为FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO．
点拨要证“线面平行”，也可以转化为证“面面平行”，通过取PE的中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得。
类型二存在性问题
【例2】在长方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是AD,DD1的中点，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为403.
（1） 求A1A的长；
（2） 在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由.
分析(1) 求几何体ABCDA1C1D1的体积通过补形。
（2） ①存在性的问题，可通过分析——下结论——证明。
②若在线段BC1上存在点P，使A1P与C1D垂直。由三点D1,A1,P确定的平面交CC1于Q。由于C1D与A1D1垂直，只要C1D与D1Q垂直即可。
（3） 在直角梯形A1PQD1中可求线段A1P的长。
解（1） ∵VABCDA1C1D1=VABCDA1B1C1D1-VBA1B1C1
=2×2×AA1－13×12×2×2×AA1
=103AA1=403,∴AA1=4.
（2） 在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D.
因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D平面CC1D1D,∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB,CB∥A1D1,∴QP∥A1D1，
又∵A1D1∩D1Q=D1,∴C1D⊥平面A1PQD1，
且A1P平面A1PQD1,∴A1P⊥C1D.
∵△D1C1Q∽△C1CD,∴C1QCD=D1C1C1C,
∴C1Q=1,又∵PQ∥BC,∴PQ=14BC=12.
∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=5,∴A1P=2－122+5=292.
类型三立体几何中的最值问题
【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．
（1） 求证：AC⊥DE；
（2） 求四棱锥PABCD的体积．
分析（1） 要证明线线垂直即证明线面垂直，即证AC⊥平面PDB；
（2） 求四棱锥的体积，关键是求出高PD的长，可以通过△AEC面积的最小值是3转化求出。
证明(1)连接BD，设AC与BD相交于点F．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．
而PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PDB．
E为PB上任意一点，DE平面PDB，
所以AC⊥DE．
（2） 连接EF．由（1），知AC⊥平面PDB，EF平面PDB，所以AC⊥EF．
S△ACE＝12AC•EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．
S△ACE＝3，12×6×EF＝3，解得EF＝1．
由△PDB∽△FEB，得PDEF=PBFB．
由于EF＝1，FB＝4，PB=PD2+64，
所以PB＝4PD，即PD2+64=4PD．
解得PD＝81515．
VPABCD＝13SABCD•PD＝13×24×81515
＝641515．
牛刀小试
1. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.
（1） 设F是棱AB的中点,证明：直线EE1∥平面FCC1；
（2） 证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.
2. 已知正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直，AB⊥AD，AB∥CD，且AD=DC=2,AB=4.在线段PD上是否存在一点M，使得AM∥平面PBC.
3. 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角.
（1） 求证：C1点在平面ABC上的射影H在直线AB上；
（2） 求此三棱柱体积的最小值.
【参考答案】
1. （1） 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，
连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2,且AB∥CD，
所以CD
瘙 綊 A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，
又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1∥A1D，
所以CF1∥EE1，又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，
所以直线EE1∥平面FCC1.
（2） 连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2,
F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，
∠BCF=60°,△ACF为等腰三角形，
且∠ACF=30°，
所以AC⊥BC,又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,
所以AC⊥平面BB1C1C,而AC平面D1AC,
所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.
2. 假设PD上存在点M，使得AM∥平面PBC.
在平面PDC内过点M作MN∥DC交PC于N,连接BN,
则面AMNB∩面PBC=NB
AM∥面PBC
AM面PBCAM∥NB，
又MN∥CD
CD∥ABMN∥AB，
所以平面AMNB是平行四边形，
所以MN=AB.
这与MN 所以假设不成立，
即在线段PD上不存在一点M，使得AM∥平面PBC.
3. （1） 由棱柱性质，可知A1C1∥AC.
∵A1C1⊥BC1，∴AC⊥BC1，
又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC1，
又AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，在平面ABC1内，过C1作C1H⊥AB于H，则C1H⊥平面ABC，故点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.
（2） 连接HC，由（1）知C1H⊥平面ABC，
∴∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角，
∴∠C1CH=60°，C1H=CH•tan60°=3CH,
V棱柱=S△ABC•C1H=12AB×AC×C1H
=12×3×2×3CH=33CH.
∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，
∴棱柱体积最小值为33×2=63.
(作者：鲁锋，江苏省平潮高级中学)阶段测试Jie Duan Ce Shi阶段测试Jie Duan Ce Shi阶段测试(一)第1页
【例1】如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=22．
求证：（1） PA⊥平面EBO；
（2） FG∥平面EBO．
分析（1） 可利用“线线垂直”来证明“线面垂直”。先证明OE⊥PA，BO⊥PA；
（2） 证明直线与平面平行常用的方法有：一是判定定理（线线平行推出线面平行）；二是面面平行的性质定理（面面平行推出线面平行）。
证明由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，△ABC为等边三角形．
（1） 因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
BO平面ABC，所以BO⊥平面PAC．
因为PA平面PAC，所以BO⊥PA，
在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，所以OE⊥PA，
又BO∩OE=O，所以PA⊥平面EBO.
（2） 连接AF交BE于Q，连接QO．
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，
所以AOOG=2，且Q是△PAB的重心，
于是AQQF=2=AOOG，所以FG∥QO.
因为FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO．
点拨要证“线面平行”，也可以转化为证“面面平行”，通过取PE的中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得。
类型二存在性问题
【例2】在长方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是AD,DD1的中点，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为403.
（1） 求A1A的长；
（2） 在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由.
分析(1) 求几何体ABCDA1C1D1的体积通过补形。
（2） ①存在性的问题，可通过分析——下结论——证明。
②若在线段BC1上存在点P，使A1P与C1D垂直。由三点D1,A1,P确定的平面交CC1于Q。由于C1D与A1D1垂直，只要C1D与D1Q垂直即可。
（3） 在直角梯形A1PQD1中可求线段A1P的长。
解（1） ∵VABCDA1C1D1=VABCDA1B1C1D1-VBA1B1C1
=2×2×AA1－13×12×2×2×AA1
=103AA1=403,∴AA1=4.
（2） 在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D.
因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D平面CC1D1D,∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB,CB∥A1D1,∴QP∥A1D1，
又∵A1D1∩D1Q=D1,∴C1D⊥平面A1PQD1，
且A1P平面A1PQD1,∴A1P⊥C1D.
∵△D1C1Q∽△C1CD,∴C1QCD=D1C1C1C,
∴C1Q=1,又∵PQ∥BC,∴PQ=14BC=12.
∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高D1Q=5,∴A1P=2－122+5=292.
类型三立体几何中的最值问题
【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．
（1） 求证：AC⊥DE；
（2） 求四棱锥PABCD的体积．
分析（1） 要证明线线垂直即证明线面垂直，即证AC⊥平面PDB；
（2） 求四棱锥的体积，关键是求出高PD的长，可以通过△AEC面积的最小值是3转化求出。
证明(1)连接BD，设AC与BD相交于点F．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC．
而PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PDB．
E为PB上任意一点，DE平面PDB，
所以AC⊥DE．
（2） 连接EF．由（1），知AC⊥平面PDB，EF平面PDB，所以AC⊥EF．
S△ACE＝12AC•EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．
S△ACE＝3，12×6×EF＝3，解得EF＝1．
由△PDB∽△FEB，得PDEF=PBFB．
由于EF＝1，FB＝4，PB=PD2+64，
所以PB＝4PD，即PD2+64=4PD．
解得PD＝81515．
VPABCD＝13SABCD•PD＝13×24×81515
＝641515．
牛刀小试
1. 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.
（1） 设F是棱AB的中点,证明：直线EE1∥平面FCC1；
（2） 证明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.
2. 已知正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直，AB⊥AD，AB∥CD，且AD=DC=2,AB=4.在线段PD上是否存在一点M，使得AM∥平面PBC.
3. 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角.
（1） 求证：C1点在平面ABC上的射影H在直线AB上；
（2） 求此三棱柱体积的最小值.
【参考答案】
1. （1） 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点F1，
连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4，CD=2,且AB∥CD，
所以CD
瘙 綊 A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1∥A1D，
又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EE1∥A1D，
所以CF1∥EE1，又因为EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，
所以直线EE1∥平面FCC1.
（2） 连接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
所以CC1⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4，BC=2,
F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，
∠BCF=60°,△ACF为等腰三角形，
且∠ACF=30°，
所以AC⊥BC,又因为BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C,
所以AC⊥平面BB1C1C,而AC平面D1AC,
所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.
2. 假设PD上存在点M，使得AM∥平面PBC.
在平面PDC内过点M作MN∥DC交PC于N,连接BN,
则面AMNB∩面PBC=NB
AM∥面PBC
AM面PBCAM∥NB，
又MN∥CD
CD∥ABMN∥AB，
所以平面AMNB是平行四边形，
所以MN=AB.
这与MN
即在线段PD上不存在一点M，使得AM∥平面PBC.
3. （1） 由棱柱性质，可知A1C1∥AC.
∵A1C1⊥BC1，∴AC⊥BC1，
又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC1，
又AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，在平面ABC1内，过C1作C1H⊥AB于H，则C1H⊥平面ABC，故点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.
（2） 连接HC，由（1）知C1H⊥平面ABC，
∴∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角，
∴∠C1CH=60°，C1H=CH•tan60°=3CH,
V棱柱=S△ABC•C1H=12AB×AC×C1H
=12×3×2×3CH=33CH.
∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，
∴棱柱体积最小值为33×2=63.
(作者：鲁锋，江苏省平潮高级中学)阶段测试Jie Duan Ce Shi阶段测试Jie Duan Ce Shi阶段测试(一)第1页