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2011年高考成绩出来后,好多考生感觉数学成绩比原先自己参照答案预估的要低。在与一些参加过高考阅卷的老师交谈中，我得知了一些网上阅卷中的细节，也了解到一些学生因做题不够规范或是犯了一些想当然性质的错误，造成失分。为使众多考生引以为戒，牢记知识点，查缺补漏，现举例谈谈立体几何题的规范解答，一孔之见，权作抛砖。
【例1】（本题满分14分）（2011•江苏卷第16题）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.
求证：（1） 直线EF∥平面PCD；
（2） 平面BEF⊥平面PAD.
错解证明：(1) 在△PAD中，∵E,F分别是AP,AD的中点，
∴EF∥PD，2分
∴直线EF∥平面PCD.（定理条件不全，不给分）
(2) 连接BD.∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形.
∵F是AD的中点，
∴BF⊥AD.4分
∵平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，
∴BF⊥平面PAD.（定理条件不全，不给分）
∴平面BEF⊥平面PAD.（定理条件不全，不给分）
错因分析使用定理时条件不齐全而失去该得分步骤的所以得分。第一问中，线面平行的判定定理条件有3个，该考生只写了1个，漏写“EF平面PCD，PD平面PCD”；同理，在第二问中使用面面垂直的性质定理时漏写“平面PAD∩平面ABCD=AD”、使用面面垂直的判定定理时，漏写“BF平面BEF”。
正确解法证明：(1) 在△PAD中，∵E,F分别是AP,AD的中点，
∴EF∥PD，2分
又∵EF平面PCD，PD平面PCD，
∴直线EF∥平面PCD.6分
(2) 连接BD.∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形.
∵F是AD的中点，
∴BF⊥AD.8分
∵平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，
又∵平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BF⊥平面PAD.12分
又∵BF平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAD.14分
防错机制（1） 线面位置关系中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直各有自己的判定定理及性质定理，同学们要理解熟记每一个定理各自所需的条件，在解题过程中书写规范，使用定理时条件充足，正所谓“一个也不能少”。
（2） 平时养成严谨答题的好习惯，不要因赶时间而跳步骤，染上坏习惯后很难改正。
【例2】（本题满分8分）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
错解过M作MG∥BC交AB于G(如图),连接NG.
∵MG∥BC,BC平面BCE，MG平面BCE.
∴MG∥平面BCE.2分
又∵正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，
∴BGGA=CMMA=BNNF，∴GN∥AF.3分
而AF∥平面BCE,
∴GN∥平面BCE.(此处用了没有的错误的“定理”)
∵MG∩GN=G,∴平面MNG∥平面BCE.
又MN平面MNG,
∴MN∥平面BCE.
错因分析本类题主要考查空间中线面位置关系（平行）的判定，是每年高考不可避免的考查内容。上述解法的错误在于他使用了自己创造发明的“定理”：a∥b,b∥αa∥α。而线面平行没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行该平面；
有的考生由“MG∥BC，GN∥BE平面MNG∥平面BCE”,这种做法也会失分的。因为面面平行的判定定理是由线面平行推到面面平行，而这种做法是由线线平行直接得到面面平行，会因判定定理使用不对而失去本步骤的分数。
正确解法过M作MG∥BC交AB于G(如图),连接NG.
∵MG∥BC,BC平面BCE，MG平面BCE，
∴MG∥平面BCE.2分
又∵正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，
∴BGGA=CMMA=BNNF，
∴GN∥AF∥BE.3分
BE平面BCE，GN平面BCE，
∴GN∥平面BCE.5分
∵MG∩GN=G,
∴平面MNG∥平面BCE.7分
又MN平面MNG，
∴MN∥平面BCE.8分
注：本题亦可用线线平行推出线面平行.
防错机制一要熟练掌握所有判定与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行；二要掌握解题时由已知想性质、由求证想判定，即分析法与综合法相结合来寻找证明的思路；三要严格要求自己注意表述规范，推理严谨，只能用所学的判定与性质定理，避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论.即定理“一条也不能多”。
牛刀小试
（本小题满分15分）如图所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.
（1） 求证：B1D1∥面A1BD；
（2） 求证：MD⊥AC；
（3） 试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
【参考答案】
（1） 证明：由直四棱柱,得BB1∥DD1,
且BB1=DD1,
∴BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD.
3分
而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,
∴B1D1∥面A1BD.4分
（2） 证明：∵BB1⊥面ABCD,AC面ABCD，
∴BB1⊥AC.6分
又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B，
∴AC⊥面BB1D1D.8分
而MD面BB1D1D，∴MD⊥AC.9分
（3） 当点M为棱BB1的中点时,
平面DMC1⊥平面CC1D1D.10分
取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM.
∵N是DC的中点,BD=BC,∴BN⊥DC；
又∵DC是面ABCD与面DCC1D1的交线,而面ABCD⊥面DCC1D1,
∴BN⊥面DCC1D1.12分
又可证得,O是NN1的中点,∴BM∥ON,且BM=ON,即BMON是平行四边形,
∴BN∥OM,∴OM⊥平面CC1D1D,14分
∵OM面DMC1,
∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.15分
（作者：张彬，江苏省西亭高级中学）
（上接第64页）
由2θ+π4∈π4,5π4，此时OC∈(1,2+1］；
当A、B、C、D按逆时针方向时，如图所示，在△OBC中，
a2+1－2acosπ2－θ=OC2，
即OC=(2cosθ)2+1－2•2cosθ•sinθ
=4cos2θ+1－2sin2θ
=2cos2θ－2sin2θ+3
=－22sin2θ－π4+3，
由2θ－π4∈－π4,3π4，此时OC∈［2－1,5)，
综上所述，线段OC长度的最小值为2－1，最大值为2+1．
(作者：陈勇军，江苏省通州高级中学) 数学是一种目标明确的思维活动，是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度——克莱因（美国数学家）。为此，我们在解题时，要加强目标意识，在正确的目标引领下，进行有效的探求。为此，我们在整个教学活动中始终要明确“我要达到什么目标，怎样达到”及“如何选择适当的方法达到最佳效果”，以便少走弯路或不走弯路，从而提高学生学习的主动性和策略性，提高教学活动的效率。尤其在立体几何的复习中更要加强解题的目标意识。
【例1】如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，CD=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1.
（1） 求证：AB∥平面PCD；
（2） 求证：BC⊥平面PAC；
（3）若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．
分析（1） 由“线线平行线面平行面面平行”知，欲达到“线面平行”这一目标，应从“线线平行”或“面面平行”的角度去考察；
（2） 由“线线垂直线面垂直面面垂直”知，欲证BC⊥平面PAC，将目标转化为BC垂直于平面PAC内的两条相交的直线；
（3） 求三棱锥MACD的体积的目标转移为目标1——底面积ADC比较好求，而目标2——M到底面ADC的距离，应由M是PC的中点转化为P到面ADC距离的一半。
证明（1） 由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，
又AB平面PCD，CD平面PCD，
∴AB∥平面PCD.
（2） 在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC=1.
又AB=2,∴BE=1，
在Rt△ABC中，∠ABC=45°,
∴CE=BE=1,CB=2,∴AD=CE=1.
则AC=AD2+CD2=2，AC2+BC2=AB2,
∴BC⊥AC.
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC,
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC.
（3） ∵M是PC的中点，∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半，
VMACD=13S△ACD•12PA
=13×12×1×1×12=112.
点拨由“线线平行线面平行”及“线线垂直线面垂直”时，应注意满足的条件不可缺少。
总结：在证明“线面平行或垂直”时，要有化归的意识，利用好转化的方法，即应该利用好“线线平行线面平行面面平行”和“线线垂直线面垂直面面垂直”。
【例2】在四棱锥PABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC,O是AD上一点.
（1） 若CD∥面PBO,试指出O点的位置；
（2） 若面PAB⊥面PCD，试证明PD⊥面PAB.
分析（1） 由“线线平行线面平行面面平行”，将目标转化为“若CD∥BO，试指出O点的位置。”
（2） 由“线线垂直线面垂直面面垂直”知，欲证明PD⊥面PAB，则可转化为PD垂直于面PAB内两条相交的直线，而PD⊥AP易证。那么PD还垂直于哪条直线呢？条件：面PAB⊥面PCD如何转化呢？由平面与平面垂直的性质定理知，要得到“线面垂直”，必须在面PAB内找一条直线与这两平面的交线垂直。
证明（1） ∵CD∥面PBO,CD面ABCD，
又∵面PBO∩面ABCD=BO，∴CD∥BO.
又∵AD＝3BC，
∴点O在AD的三等分点上（靠近点D）.
（2） ∵侧面PAD⊥底面ABCD,∠BAD＝90°，面PAD∩面ABCD=AD，AB面ABCD，
∴AB⊥面PAD.
又∵PD面PAD，∴AB⊥PD.
延长AB，DC交于M点，连接PM，过点A作AH垂直于PM，垂足为H.
又∵面PAB⊥面PCD，面PAB∩面PCD=PM,
∴AH⊥面PCD，又∵PD面PCD，∴AH⊥PD.
又∵AB∩AH=A，AB、AH面PAB，
∴PD⊥面PAB.
点拨（1） 中最后的结果表示应说明：点O在AD的三等分点上（靠近点D处）；
（2） 注意条件面PAB⊥面PCD如何转化，没有现成的“线线垂直”，所以要构造新的“线线垂直”，结合条件面PAB⊥面PCD进行应用。
总结：这一题的第二问难度比较大，关键是平面与平面垂直的性质定理的应用，应该要满足什么条件，这个必须清楚，缺少现成条件的，要添加辅助条件，以帮助问题的解决。
牛刀小试
1. 如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
(1) 求证：CE⊥平面PAD；
(2) 若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥PABCD的体积．
2. 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.
（1） 若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；
（2） 若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；
（3） 在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.
3. 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点．
（1） 求证：BE∥平面PAD；
（2） 若AB⊥平面PAD，平面PBA⊥平面PBD，求证：PA⊥PD．
【参考答案】
1. (1) 证明：因为PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD，
所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD，CE∥AB，
所以CE⊥AD.
又PA∩AD＝A，
所以CE⊥平面PAD.
(2) 由(1)可知CE⊥AD.
在Rt△ECD中，DE＝CD•cos45°＝1，CE＝CD•sin45°＝1.
又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，
所以四边形ABCE为矩形．
所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD＝AB•AE＋12CE•DE＝1×2＋12×1×1＝52.
又PA⊥平面ABCD，PA＝1，
所以V四棱锥PABCD＝13S四边形ABCD•PA＝13×52×1＝56.
2. （1） 证明：因为底面ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
因为AC⊥PD，PD∩BD=D，
所以AC⊥平面PBD.
（2） 证明：由（1）可知AC⊥BD.
因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
BD平面ABCD，
所以BD⊥平面PAC.
因为PO平面PAC，
所以BD⊥PO.
因为底面ABCD是菱形，
所以BO=DO.
所以PB=PD.
（3） 不存在.下面用反证法说明.
假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD.
在菱形ABCD中，BC∥AD，
因为AD平面PAD，BC平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为BM平面PBC，BC平面PBC，
BC∩BM=B，
所以平面PBC∥平面PAD.
而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.
所以不存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD.
3. （1） 思路1：转化为线线平行，构造一个平行四边形ABEF（其中F为PD的中点）.
取PD的中点F，连接AF、EF，
则EF∥CD且EF=12CD.
又AB∥CD且AB=12CD.
∴四边形ABEF为平行四边形,∴BE∥AF.
∵BE面PAD，AF面PAD，∴BE∥面PAD；
思路2：转化为线线平行，延长DA、CB，交于点F，连接PF，易知BE∥PF.
思路3：转化为面面平行，取CD的中点F，易证平面BEF∥平面PAD.
（2） 在平面PBA内作AH⊥PB于H，
则AH⊥平面PBD，
从而AH⊥PD，又已知AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，
这样PD⊥平面PBA，故PA⊥PD．
（作者：张建，江苏省通州高级中学）
【例1】（本题满分14分）（2011•江苏卷第16题）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.
求证：（1） 直线EF∥平面PCD；
（2） 平面BEF⊥平面PAD.
错解证明：(1) 在△PAD中，∵E,F分别是AP,AD的中点，
∴EF∥PD，2分
∴直线EF∥平面PCD.（定理条件不全，不给分）
(2) 连接BD.∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形.
∵F是AD的中点，
∴BF⊥AD.4分
∵平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，
∴BF⊥平面PAD.（定理条件不全，不给分）
∴平面BEF⊥平面PAD.（定理条件不全，不给分）
错因分析使用定理时条件不齐全而失去该得分步骤的所以得分。第一问中，线面平行的判定定理条件有3个，该考生只写了1个，漏写“EF平面PCD，PD平面PCD”；同理，在第二问中使用面面垂直的性质定理时漏写“平面PAD∩平面ABCD=AD”、使用面面垂直的判定定理时，漏写“BF平面BEF”。
正确解法证明：(1) 在△PAD中，∵E,F分别是AP,AD的中点，
∴EF∥PD，2分
又∵EF平面PCD，PD平面PCD，
∴直线EF∥平面PCD.6分
(2) 连接BD.∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形.
∵F是AD的中点，
∴BF⊥AD.8分
∵平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，
又∵平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BF⊥平面PAD.12分
又∵BF平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAD.14分
防错机制（1） 线面位置关系中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直各有自己的判定定理及性质定理，同学们要理解熟记每一个定理各自所需的条件，在解题过程中书写规范，使用定理时条件充足，正所谓“一个也不能少”。
（2） 平时养成严谨答题的好习惯，不要因赶时间而跳步骤，染上坏习惯后很难改正。
【例2】（本题满分8分）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.
错解过M作MG∥BC交AB于G(如图),连接NG.
∵MG∥BC,BC平面BCE，MG平面BCE.
∴MG∥平面BCE.2分
又∵正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，
∴BGGA=CMMA=BNNF，∴GN∥AF.3分
而AF∥平面BCE,
∴GN∥平面BCE.(此处用了没有的错误的“定理”)
∵MG∩GN=G,∴平面MNG∥平面BCE.
又MN平面MNG,
∴MN∥平面BCE.
错因分析本类题主要考查空间中线面位置关系（平行）的判定，是每年高考不可避免的考查内容。上述解法的错误在于他使用了自己创造发明的“定理”：a∥b,b∥αa∥α。而线面平行没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行该平面；
有的考生由“MG∥BC，GN∥BE平面MNG∥平面BCE”,这种做法也会失分的。因为面面平行的判定定理是由线面平行推到面面平行，而这种做法是由线线平行直接得到面面平行，会因判定定理使用不对而失去本步骤的分数。
正确解法过M作MG∥BC交AB于G(如图),连接NG.
∵MG∥BC,BC平面BCE，MG平面BCE，
∴MG∥平面BCE.2分
又∵正方形ABCD和正方形ABEF全等，AM＝FN，
∴BGGA=CMMA=BNNF，
∴GN∥AF∥BE.3分
BE平面BCE，GN平面BCE，
∴GN∥平面BCE.5分
∵MG∩GN=G,
∴平面MNG∥平面BCE.7分
又MN平面MNG，
∴MN∥平面BCE.8分
注：本题亦可用线线平行推出线面平行.
防错机制一要熟练掌握所有判定与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行；二要掌握解题时由已知想性质、由求证想判定，即分析法与综合法相结合来寻找证明的思路；三要严格要求自己注意表述规范，推理严谨，只能用所学的判定与性质定理，避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论.即定理“一条也不能多”。
牛刀小试
（本小题满分15分）如图所示,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.
（1） 求证：B1D1∥面A1BD；
（2） 求证：MD⊥AC；
（3） 试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
【参考答案】
（1） 证明：由直四棱柱,得BB1∥DD1,
且BB1=DD1,
∴BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD.
3分
而BD平面A1BD,B1D1平面A1BD,
∴B1D1∥面A1BD.4分
（2） 证明：∵BB1⊥面ABCD,AC面ABCD，
∴BB1⊥AC.6分
又∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B，
∴AC⊥面BB1D1D.8分
而MD面BB1D1D，∴MD⊥AC.9分
（3） 当点M为棱BB1的中点时,
平面DMC1⊥平面CC1D1D.10分
取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM.
∵N是DC的中点,BD=BC,∴BN⊥DC；
又∵DC是面ABCD与面DCC1D1的交线,而面ABCD⊥面DCC1D1,
∴BN⊥面DCC1D1.12分
又可证得,O是NN1的中点,∴BM∥ON,且BM=ON,即BMON是平行四边形,
∴BN∥OM,∴OM⊥平面CC1D1D,14分
∵OM面DMC1,
∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.15分
（作者：张彬，江苏省西亭高级中学）
（上接第64页）
由2θ+π4∈π4,5π4，此时OC∈(1,2+1］；
当A、B、C、D按逆时针方向时，如图所示，在△OBC中，
a2+1－2acosπ2－θ=OC2，
即OC=(2cosθ)2+1－2•2cosθ•sinθ
=4cos2θ+1－2sin2θ
=2cos2θ－2sin2θ+3
=－22sin2θ－π4+3，
由2θ－π4∈－π4,3π4，此时OC∈［2－1,5)，
综上所述，线段OC长度的最小值为2－1，最大值为2+1．
(作者：陈勇军，江苏省通州高级中学) 数学是一种目标明确的思维活动，是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度——克莱因（美国数学家）。为此，我们在解题时，要加强目标意识，在正确的目标引领下，进行有效的探求。为此，我们在整个教学活动中始终要明确“我要达到什么目标，怎样达到”及“如何选择适当的方法达到最佳效果”，以便少走弯路或不走弯路，从而提高学生学习的主动性和策略性，提高教学活动的效率。尤其在立体几何的复习中更要加强解题的目标意识。
【例1】如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=45°，CD=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1.
（1） 求证：AB∥平面PCD；
（2） 求证：BC⊥平面PAC；
（3）若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．
分析（1） 由“线线平行线面平行面面平行”知，欲达到“线面平行”这一目标，应从“线线平行”或“面面平行”的角度去考察；
（2） 由“线线垂直线面垂直面面垂直”知，欲证BC⊥平面PAC，将目标转化为BC垂直于平面PAC内的两条相交的直线；
（3） 求三棱锥MACD的体积的目标转移为目标1——底面积ADC比较好求，而目标2——M到底面ADC的距离，应由M是PC的中点转化为P到面ADC距离的一半。
证明（1） 由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，
又AB平面PCD，CD平面PCD，
∴AB∥平面PCD.
（2） 在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形，∴AE=DC=1.
又AB=2,∴BE=1，
在Rt△ABC中，∠ABC=45°,
∴CE=BE=1,CB=2,∴AD=CE=1.
则AC=AD2+CD2=2，AC2+BC2=AB2,
∴BC⊥AC.
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC,
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC.
（3） ∵M是PC的中点，∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半，
VMACD=13S△ACD•12PA
=13×12×1×1×12=112.
点拨由“线线平行线面平行”及“线线垂直线面垂直”时，应注意满足的条件不可缺少。
总结：在证明“线面平行或垂直”时，要有化归的意识，利用好转化的方法，即应该利用好“线线平行线面平行面面平行”和“线线垂直线面垂直面面垂直”。
【例2】在四棱锥PABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC,O是AD上一点.
（1） 若CD∥面PBO,试指出O点的位置；
（2） 若面PAB⊥面PCD，试证明PD⊥面PAB.
分析（1） 由“线线平行线面平行面面平行”，将目标转化为“若CD∥BO，试指出O点的位置。”
（2） 由“线线垂直线面垂直面面垂直”知，欲证明PD⊥面PAB，则可转化为PD垂直于面PAB内两条相交的直线，而PD⊥AP易证。那么PD还垂直于哪条直线呢？条件：面PAB⊥面PCD如何转化呢？由平面与平面垂直的性质定理知，要得到“线面垂直”，必须在面PAB内找一条直线与这两平面的交线垂直。
证明（1） ∵CD∥面PBO,CD面ABCD，
又∵面PBO∩面ABCD=BO，∴CD∥BO.
又∵AD＝3BC，
∴点O在AD的三等分点上（靠近点D）.
（2） ∵侧面PAD⊥底面ABCD,∠BAD＝90°，面PAD∩面ABCD=AD，AB面ABCD，
∴AB⊥面PAD.
又∵PD面PAD，∴AB⊥PD.
延长AB，DC交于M点，连接PM，过点A作AH垂直于PM，垂足为H.
又∵面PAB⊥面PCD，面PAB∩面PCD=PM,
∴AH⊥面PCD，又∵PD面PCD，∴AH⊥PD.
又∵AB∩AH=A，AB、AH面PAB，
∴PD⊥面PAB.
点拨（1） 中最后的结果表示应说明：点O在AD的三等分点上（靠近点D处）；
（2） 注意条件面PAB⊥面PCD如何转化，没有现成的“线线垂直”，所以要构造新的“线线垂直”，结合条件面PAB⊥面PCD进行应用。
总结：这一题的第二问难度比较大，关键是平面与平面垂直的性质定理的应用，应该要满足什么条件，这个必须清楚，缺少现成条件的，要添加辅助条件，以帮助问题的解决。
牛刀小试
1. 如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.
(1) 求证：CE⊥平面PAD；
(2) 若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝2，∠CDA＝45°，求四棱锥PABCD的体积．
2. 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O.
（1） 若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；
（2） 若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；
（3） 在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由.
3. 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点．
（1） 求证：BE∥平面PAD；
（2） 若AB⊥平面PAD，平面PBA⊥平面PBD，求证：PA⊥PD．
【参考答案】
1. (1) 证明：因为PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD，
所以PA⊥CE.
因为AB⊥AD，CE∥AB，
所以CE⊥AD.
又PA∩AD＝A，
所以CE⊥平面PAD.
(2) 由(1)可知CE⊥AD.
在Rt△ECD中，DE＝CD•cos45°＝1，CE＝CD•sin45°＝1.
又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，
所以四边形ABCE为矩形．
所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD＝AB•AE＋12CE•DE＝1×2＋12×1×1＝52.
又PA⊥平面ABCD，PA＝1，
所以V四棱锥PABCD＝13S四边形ABCD•PA＝13×52×1＝56.
2. （1） 证明：因为底面ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
因为AC⊥PD，PD∩BD=D，
所以AC⊥平面PBD.
（2） 证明：由（1）可知AC⊥BD.
因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
BD平面ABCD，
所以BD⊥平面PAC.
因为PO平面PAC，
所以BD⊥PO.
因为底面ABCD是菱形，
所以BO=DO.
所以PB=PD.
（3） 不存在.下面用反证法说明.
假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD.
在菱形ABCD中，BC∥AD，
因为AD平面PAD，BC平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为BM平面PBC，BC平面PBC，
BC∩BM=B，
所以平面PBC∥平面PAD.
而平面PBC与平面PAD相交，矛盾.
所以不存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD.
3. （1） 思路1：转化为线线平行，构造一个平行四边形ABEF（其中F为PD的中点）.
取PD的中点F，连接AF、EF，
则EF∥CD且EF=12CD.
又AB∥CD且AB=12CD.
∴四边形ABEF为平行四边形,∴BE∥AF.
∵BE面PAD，AF面PAD，∴BE∥面PAD；
思路2：转化为线线平行，延长DA、CB，交于点F，连接PF，易知BE∥PF.
思路3：转化为面面平行，取CD的中点F，易证平面BEF∥平面PAD.
（2） 在平面PBA内作AH⊥PB于H，
则AH⊥平面PBD，
从而AH⊥PD，又已知AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，
这样PD⊥平面PBA，故PA⊥PD．
（作者：张建，江苏省通州高级中学）