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小学数学教学的一项重要任务就是培养学生的计算能力。上世纪八九十年代先后颁布的历部数学教学大纲,都把培养学生的计算能力作为小学数学教学的一项重要任务,要求学生的计算要达到正确、迅速的程度,做到计算方法合理、灵活。经过长期努力,小学计算教学逐渐形成了基础扎实、技能熟练、要求严谨等特点。世纪之交颁布的《数学课程标准》(实验稿)把运算作为学生必须具有的数学应用技能之一,指出要重视口算、加强估算,改善计算教学方式,使学生掌握运算技能,还给出了基本运算应该达到的速度指标,把能否应用计算知识解决实际问题、能否应用合理的计算策略正确计算、能否估计或验算计算的结果、能否用计算器探求规律作为评价计算学习的着眼点。
一、改进口算、笔算的教学,引导学生建构算法
计算教学通常有两类方式,一类是教师给出计算的规则,要求学生按照规定进行计算;另一类是引导学生经历形成算法的过程,在直接经验的基础上,抽象概括具有一般意义的算法。显然,前一类方式是学生被动接受算法,后一类方式是学生主动建构算法,而新课程主张后一类教学方式。
由于现实情境对个体的认知结构与经验系统的作用有关,因而学生群体内往往出现不同的算法。基于这样的理念和事实,课程标准提倡“算法多样化”,鼓励学生交流各自的算法。可以说,“算法多样化”是学生主动建构算法的具体表现。
反思前几年的计算教学实践,有两点启示:一是既要尊重学生的各种算法又不宜片面追求所谓的“多样化”。一方面,学生人人动手动脑,独立解决新的计算问题,这种学习的主动性必须得到保护。否则,被动的学习方式不会从根本上改变。另一方面,学生的各种算法仍处于新算法的感知阶段,离最终得出计算规则还要走很长的路,还要进行许多学习活动。如果与新算法密切相关的知识经验被唤醒了,学生进入了新知识的最近发展区,教学仍然留连于形式上的“多样化”就没有意义了;二是要在学生的各种算法中寻找新知识的生长点,培育计算规则。学生解决实际问题的各种算法和新知识的相关程度是不相同的,有的算法与新知识接近,有的距离远一些,有的甚至没有明显联系。教师要善于区别对待、合理利用各种算法,通过算法交流,突出新知识的生长点,使全体学生都关注并理解与新算法密切相关的那种(些)算法。
二、加强估算,让各种形式的计算有机融合
新课程强调加强估算,主要原因有三个:一是估算是解决实际问题常用且有效的策略与方法。有人统计过,日常生活中进行估算的次数远比精确计算的次数多。因为许多实际问题并不要求十分精确的结果,只需对结果的范围作出大致的判断,估算能便捷地解决问题;二是估算是数感的表现,能促进数感的发展。尽管对较大数的计算可以用计算器方便地完成,也可以不厌其烦地用竖式计算,但是能不能估算、爱不爱估算对思维发展有很大的影响。估算能力较差的人倾向于精确计算,而精确计算的方法单一、结果惟一,思维比较呆板,数感较弱。估算能力较强的人,在估算时会灵活应用不同的方法,思维比较开放,数感较强;三是估算与口算、笔算、计算器计算是不同形式与方法的计算,能相互影响、相互促进,共同组成运算能力。
另外。在某些笔算遇到困难的时候,估算能突破思维障碍,支持对笔算方法的探索,促进算法的形成。在进行较大数的计算时,估算能监控笔算的得数,及时发现大的差错。如:教材三年级(下册)在教学三位数除以一位数、商是三位数的除法之后,教学三位数除以一位数、商是两位数的除法,这里为什么从先除被除数百位上的数变成先除被除数前两位上的数是教学的难点,例题“312÷4”就利用估算“商比100小”,推理出被除数百位上的数比除数小,不够商1个百,要先除前两位上的数,商几个十。对第一学段的学生而言,两位数乘两位数的积比较大,难免发生计算错误,如果养成先估算后笔算,或者竖式计算以后再估一估的习惯,明显的计算错误就能及时得到纠正。
三、注意心理品质的养成,尽力减少计算错误
计算不准确是困扰计算的一大难题,以前的教学大纲强调两条:一是加强练习,尤其以“四表”为内容的口算练习要求天天练、课课练,希望通过正确、熟练的基本口算减少笔算错误;二是加强验算,重视验算方法的指导,重視验算习惯的培养,希望通过验算发现计算错误。这两条措施在一定程度上提高了计算的正确率,但没有从根本上解决学生不细心、不专心等不良现象,而且计算练习的负担比较重。因为加强训练和强调验算,只是外部对学生学习的控制,学生内因的积极作用并没有形成,熟练的基本口算没有完全转化成计算的能力,学生对验算没有好感,把它看成是附加于笔算的负担。我们常把算错归因为学生粗心,其实粗心是一些心理因素造成的。首先是学生对计算不感兴趣,没有信心,在不积极的状态下被动执行计算任务,因而必定会错误频发。其次是计算题由数字符号和运算符号组成,比较枯燥,10个数字与几个符号组成了不计其数的计算题,容易引起知觉错误。再次,笔算是心智活动与肢体活动的结合,要边看边写,边回忆法则边计算,儿童的年龄和心理特点制约了注意力的集中、分配与转移,往往顾此失彼。最后,口算能力不能满足笔算的要求,短时记忆能力差,也会造成算错。
四、加强计算练习,提高练习的质量
在计算教学中,加强基本训练的一个重要环节就是要加强口算教学和练习。口算是笔算的基础,笔算的技能技巧是口算的发展,笔算是由若干口算按照笔算法则计算出来的。如:“987×786”一题,就要进行9次乘法口算和14次加法口算,由此可以看出,如果口算出错误,笔算必然出错误。因此,不仅低中年级基本口算的训练要持之以恒,随着学习内容的扩展、加深,在高年级也应同样重视。这不仅有利于学生及时巩固概念、法则,增大课堂教学的密度,提高计算能力,而且可以在口算训练中,通过引导学生积极思维和灵活运用知识,培养学生思维的敏捷性以及注意力和记忆力。
首先,计算练习要遵循技能形成的规律,。计算法则是程序性知识,形成技能要把客观的程序性知识内化成主体的行为经验,实现由详尽的思维活动向跳跃的思维活动的变化,从依附法则的计算变为潜意识法则的自动化运算状态。计算练习的实效要体现在促成内化、促成跳跃、促成自动化上;其次,口算练习要促进思维的跳跃。如:计算“46+7”,详尽的过程是:把46分成40和6,先算“6+7=13”,再算“40+13=53”。其中46的分解和“6+7”的计算是视算(能够看着题目进行),“40+13”是心算(题目在头脑里,没有视觉帮助),学生口算的错误集中在“40+13”这一步计算上。因此,口算练习的重点不在前半程的视算上,而在后半程的心算上。促进思维的跳跃就是要看到“46+7”想“40+13”,使口算过程中关键且易错的一步浮出水面,把注意力集中到这一步上来就能算得又对又快。这样的跳跃引导了注意力的转移和分配,实现了思维的化繁为简,一定程度上也实现了算法优化。类似地,计算“72-8”要想“60+4”,计算“15×6”要想“60+30”……;第三,笔算练习要促进步骤联结。完成一道笔算题,总是分几个步骤,进行多次口算。把各计算步骤、各次口算联结起来,连贯而平稳地进行,是笔算练习的任务,也是有效减少错误之所在。在初学计算法则的时候,可以让学生在计算前说说打算怎样算,或者在计算后说说过程和应注意什么。这样,计算法则里的程序就会逐渐变成自动化行为。进位和退位是计算错误的“高发区”,也是在联结上出了问题,像“6×8+5”这样的一位数乘一位数再加一位数的专项口算练习,就能保障笔算乘、除法时的联结。另外,规范写竖式、认真写数字也很重要。书写能调节心情、调节计算速度,书写能稳定心态、集中注意。事实证明,书写习惯好的学生计算的正确率较高,书写马虎的学生计算的正确率较低。因此,书写也是计算学习的重要常规。
提高学生的计算能力是一项细致的、长期的教学工作,除了要做好上述几项工作外,还要注意做好学生的辅导工作。课堂上,通过学生回答问题以及口算、板演或书面作业,要及时发现学生在计算中出现的问题并加以解决,从而努力把学生的错误消灭在萌芽状态之中。另外,教师认真批改作业,分析学生产生错误的原因,找出出现错误的规律,重视培养学生良好的审题、做题和验算的习惯,也是十分重要的。
一、改进口算、笔算的教学,引导学生建构算法
计算教学通常有两类方式,一类是教师给出计算的规则,要求学生按照规定进行计算;另一类是引导学生经历形成算法的过程,在直接经验的基础上,抽象概括具有一般意义的算法。显然,前一类方式是学生被动接受算法,后一类方式是学生主动建构算法,而新课程主张后一类教学方式。
由于现实情境对个体的认知结构与经验系统的作用有关,因而学生群体内往往出现不同的算法。基于这样的理念和事实,课程标准提倡“算法多样化”,鼓励学生交流各自的算法。可以说,“算法多样化”是学生主动建构算法的具体表现。
反思前几年的计算教学实践,有两点启示:一是既要尊重学生的各种算法又不宜片面追求所谓的“多样化”。一方面,学生人人动手动脑,独立解决新的计算问题,这种学习的主动性必须得到保护。否则,被动的学习方式不会从根本上改变。另一方面,学生的各种算法仍处于新算法的感知阶段,离最终得出计算规则还要走很长的路,还要进行许多学习活动。如果与新算法密切相关的知识经验被唤醒了,学生进入了新知识的最近发展区,教学仍然留连于形式上的“多样化”就没有意义了;二是要在学生的各种算法中寻找新知识的生长点,培育计算规则。学生解决实际问题的各种算法和新知识的相关程度是不相同的,有的算法与新知识接近,有的距离远一些,有的甚至没有明显联系。教师要善于区别对待、合理利用各种算法,通过算法交流,突出新知识的生长点,使全体学生都关注并理解与新算法密切相关的那种(些)算法。
二、加强估算,让各种形式的计算有机融合
新课程强调加强估算,主要原因有三个:一是估算是解决实际问题常用且有效的策略与方法。有人统计过,日常生活中进行估算的次数远比精确计算的次数多。因为许多实际问题并不要求十分精确的结果,只需对结果的范围作出大致的判断,估算能便捷地解决问题;二是估算是数感的表现,能促进数感的发展。尽管对较大数的计算可以用计算器方便地完成,也可以不厌其烦地用竖式计算,但是能不能估算、爱不爱估算对思维发展有很大的影响。估算能力较差的人倾向于精确计算,而精确计算的方法单一、结果惟一,思维比较呆板,数感较弱。估算能力较强的人,在估算时会灵活应用不同的方法,思维比较开放,数感较强;三是估算与口算、笔算、计算器计算是不同形式与方法的计算,能相互影响、相互促进,共同组成运算能力。
另外。在某些笔算遇到困难的时候,估算能突破思维障碍,支持对笔算方法的探索,促进算法的形成。在进行较大数的计算时,估算能监控笔算的得数,及时发现大的差错。如:教材三年级(下册)在教学三位数除以一位数、商是三位数的除法之后,教学三位数除以一位数、商是两位数的除法,这里为什么从先除被除数百位上的数变成先除被除数前两位上的数是教学的难点,例题“312÷4”就利用估算“商比100小”,推理出被除数百位上的数比除数小,不够商1个百,要先除前两位上的数,商几个十。对第一学段的学生而言,两位数乘两位数的积比较大,难免发生计算错误,如果养成先估算后笔算,或者竖式计算以后再估一估的习惯,明显的计算错误就能及时得到纠正。
三、注意心理品质的养成,尽力减少计算错误
计算不准确是困扰计算的一大难题,以前的教学大纲强调两条:一是加强练习,尤其以“四表”为内容的口算练习要求天天练、课课练,希望通过正确、熟练的基本口算减少笔算错误;二是加强验算,重视验算方法的指导,重視验算习惯的培养,希望通过验算发现计算错误。这两条措施在一定程度上提高了计算的正确率,但没有从根本上解决学生不细心、不专心等不良现象,而且计算练习的负担比较重。因为加强训练和强调验算,只是外部对学生学习的控制,学生内因的积极作用并没有形成,熟练的基本口算没有完全转化成计算的能力,学生对验算没有好感,把它看成是附加于笔算的负担。我们常把算错归因为学生粗心,其实粗心是一些心理因素造成的。首先是学生对计算不感兴趣,没有信心,在不积极的状态下被动执行计算任务,因而必定会错误频发。其次是计算题由数字符号和运算符号组成,比较枯燥,10个数字与几个符号组成了不计其数的计算题,容易引起知觉错误。再次,笔算是心智活动与肢体活动的结合,要边看边写,边回忆法则边计算,儿童的年龄和心理特点制约了注意力的集中、分配与转移,往往顾此失彼。最后,口算能力不能满足笔算的要求,短时记忆能力差,也会造成算错。
四、加强计算练习,提高练习的质量
在计算教学中,加强基本训练的一个重要环节就是要加强口算教学和练习。口算是笔算的基础,笔算的技能技巧是口算的发展,笔算是由若干口算按照笔算法则计算出来的。如:“987×786”一题,就要进行9次乘法口算和14次加法口算,由此可以看出,如果口算出错误,笔算必然出错误。因此,不仅低中年级基本口算的训练要持之以恒,随着学习内容的扩展、加深,在高年级也应同样重视。这不仅有利于学生及时巩固概念、法则,增大课堂教学的密度,提高计算能力,而且可以在口算训练中,通过引导学生积极思维和灵活运用知识,培养学生思维的敏捷性以及注意力和记忆力。
首先,计算练习要遵循技能形成的规律,。计算法则是程序性知识,形成技能要把客观的程序性知识内化成主体的行为经验,实现由详尽的思维活动向跳跃的思维活动的变化,从依附法则的计算变为潜意识法则的自动化运算状态。计算练习的实效要体现在促成内化、促成跳跃、促成自动化上;其次,口算练习要促进思维的跳跃。如:计算“46+7”,详尽的过程是:把46分成40和6,先算“6+7=13”,再算“40+13=53”。其中46的分解和“6+7”的计算是视算(能够看着题目进行),“40+13”是心算(题目在头脑里,没有视觉帮助),学生口算的错误集中在“40+13”这一步计算上。因此,口算练习的重点不在前半程的视算上,而在后半程的心算上。促进思维的跳跃就是要看到“46+7”想“40+13”,使口算过程中关键且易错的一步浮出水面,把注意力集中到这一步上来就能算得又对又快。这样的跳跃引导了注意力的转移和分配,实现了思维的化繁为简,一定程度上也实现了算法优化。类似地,计算“72-8”要想“60+4”,计算“15×6”要想“60+30”……;第三,笔算练习要促进步骤联结。完成一道笔算题,总是分几个步骤,进行多次口算。把各计算步骤、各次口算联结起来,连贯而平稳地进行,是笔算练习的任务,也是有效减少错误之所在。在初学计算法则的时候,可以让学生在计算前说说打算怎样算,或者在计算后说说过程和应注意什么。这样,计算法则里的程序就会逐渐变成自动化行为。进位和退位是计算错误的“高发区”,也是在联结上出了问题,像“6×8+5”这样的一位数乘一位数再加一位数的专项口算练习,就能保障笔算乘、除法时的联结。另外,规范写竖式、认真写数字也很重要。书写能调节心情、调节计算速度,书写能稳定心态、集中注意。事实证明,书写习惯好的学生计算的正确率较高,书写马虎的学生计算的正确率较低。因此,书写也是计算学习的重要常规。
提高学生的计算能力是一项细致的、长期的教学工作,除了要做好上述几项工作外,还要注意做好学生的辅导工作。课堂上,通过学生回答问题以及口算、板演或书面作业,要及时发现学生在计算中出现的问题并加以解决,从而努力把学生的错误消灭在萌芽状态之中。另外,教师认真批改作业,分析学生产生错误的原因,找出出现错误的规律,重视培养学生良好的审题、做题和验算的习惯,也是十分重要的。