在物理解题中，数学技巧具有不可取代的地位，尤其是将矢量引入物理学中后，这一特点显得尤为突出。以下，我们以电场叠加为例，一起来体会数学应用在物理解题中的绝妙之处。
　　图1
　　例如图1所示，A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除A点处的电荷量为-q外，其余各点处的电荷量均为+q，则圆心O处（）。
　　A。场强大小为kqr2，方向沿OA方向
　　B。场强大小为kqr2，方向沿AO方向
　　C。场强大小为2kqr2，方向沿OA方向
　　D。场强大小为2kqr2，方向沿AO方向
　　解析：将A处的点电荷-q等效为在A处同时放一个+q和一个-2q，即可认为圆心O处的电场是5个+q和一个-2q的点电荷产生的电场的叠加，由于5个+q处于对称位置上，在圆心O处产生的合场强为零，那么此题即可转化成求A处点电荷-2q在O处产生的场强。易得：场强大小为2kqr2，方向沿OA方向，故选C。
　　本题的解题关键点是：处于对称位置上的等量同种电荷在圆心处产生的合场强为零。根据对称性，其实我们不难证明处于对称位置上的两个、三个、四个、六个、…+q在圆心处产生的场强叠加后恰好为零。但如上题中所述，有五个+q处于对称位置上，又如何证明呢？
　　方法1：
　　图2
　　如图2所示，设这些电荷在圆心O处产生的场强分别为E1、E2、E3、E4和E5，则有E1=E2=E3=E4=E5=E，且相邻场强间夹角为72°。
　　证明过程如下：
　　E1、E2的合场强：E1，2=2E·cos36°，方向与E4方向相反；
　　E3、E5的合场强：E3，5=2E·cos72°，方向与E4方向相同；
　　所以，E合=E3，5+E4-E1，2=[2（cos72°-cos36°）+1]·E若要证明E合=0，只需证明cos72°-cos36°=-1/2即可，其过程如下：
　　cos72°-cos36°=cos54°+18°-cos54°-18°=-2sin54°sin18°=-sin54°sin36°cos18°=-cos36°sin36°cos18°=-sin72°2cos18°=-12。
　　得证。
　　由于五个处于对称位置上的+q产生的场强夹角并非特殊角度，所以证明过程比较复杂，不难想象，若是处于对称位置上的电荷+q有七个、九个、…，仍用上述方法证明，过程将会更加烦琐！是否会有更简单的方法来证明呢？
　　方法2：
　　图3
　　如图3所示，在数学几何中，若是三个矢量通过平移，可构成首尾相接的三角形，则这三个矢量的矢量合为零。与此类似，在之前的例题中，我们要证明处于对称位置上的等量同种电荷在圆心处产生的合场强为零。其实只需证明，这些点电荷在圆心O处产生的场强经平移后能够构成首尾相接的多边形即可。
　　以五个点电荷+q为例，证明过程如下：
　　图4
　　如图4所示，E1、E2、E3、E4和E5通过平移后可以构成一首尾相接的正五边形，所以这五个点电荷在圆心O处产生的合场强为零。以此类推，处于对称位置上的六个、九个、十一个、…等量点电荷在圆心处产生的合场强为零，亦可采用以上方法来证明。
　　方法3：
　　旋转法：仍以处于圆周对称位置上的五个点电荷+q为例，若这五个点电荷在圆心处产生的合场强不为零，设E合方向如图5所示。现将电荷绕圆心顺时针旋转72°，则电荷所处位置与旋转前一样，所以E合不变；而此时E合已随圆旋转了72°，其方向已发生了改变，即E合改变了，产生矛盾，所以这五个+q在圆心处产生的合场强为零。
　　图5
　　作者单位：湖北省丹江口市一中