历年高考中，弹簧作为一个重要的物理模型，一直是高考中的热点和难点，因为它涉及到物理力学中的几大重要知识内容，包括机械能守恒、动量守恒及简谐运动，而竖直弹簧模型在高考中更是屡见不鲜。下面我们就来探讨有关竖直弹簧振子的问题。
　　一、竖直弹簧振子模型的建立
　　如图（1）所示，一劲度系数为的轻质弹簧竖直固定在地面上，上端拴结质量为的物体，物体静止在位置时，设弹簧压缩量为，物体所受重力与弹簧弹力平衡，点是物体的平衡位置。
　　将物体竖直向下或向上拉离平衡位置一段距离（但在弹性限度以内）后放手，物体将围绕在竖直方向上振动，弹簧弹力和重力的合力提供回复力。
　　设物体向上运动到任一位置时，离点距离为，所受合力为，弹簧弹力为，则有：
　　从⑤式可以看出，物体在振动过程中回复力与物体位移（指振动位移）大小成正比，方向相反。根据物体做简谐运动的定义（即物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动）可知，该物体所做的运动即为简谐运动，这就是我们通常所说的竖直弹簧振子模型。
　　二、应用竖直弹簧振子的对称性解题
　　既然竖直弹簧振子所做运动是简谐运动，那么简谐运动过程中的运动规律，如，对称性等，就适用于竖直弹簧振子的运动，又由于竖直弹簧振子在运动过程中，只有重力和弹力做功，振子与弹簧组成的系统机械有守恒。因此，简谐运动的规律和机械能守恒定律常常出现在综合考题中。
　　例1.如图（2）所示竖直悬挂的弹簧振子做振幅为的简谐运动，当物体到达下面最大位移处时，恰好物体掉了一半（即物体质量减少了一半），此后，物体振动的振幅变化是
　　A.振幅不变 B.振幅变大
　　C.振幅变小 D.无法确定
　　解析：在简谐运动过程中，振幅等于振动物体离开平衡位置的最大距离，所以该题的关键在于找准平衡位置。而平衡位置就是回复力为零的位置，物体质量减半，它的重力也减半，重力和弹力平衡的位置，即回复力为零的位置也发生变化，所以该物体振动时的平衡位置发生了变化，物体质量未减少时，平衡位置在弹簧伸长处，，物体质量减半后，平衡位置在弹簧伸长处，，新振幅应等于物体从最低点到新平衡位置的距离，即新振幅增加，所以，物体振动时振幅变大。正确选项是（B）。
　　例2.如图（3）所示，质量为的小球放在劲度系数为的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧，求弹簧对小球的最大弹力是多大？
　　解析：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力，在平衡位置，弹力和重力等大反向，合力为零，在平衡位置以下，弹力大于重力，，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，，越往上弹力越小。平衡位置和振幅的大小无关，因此振幅越大，小球在最高点处所受弹力越小，极端情况是在最高点处小球刚好未脱离弹簧，弹力为零，合力就等于重力，这时弹簧恰好为原长，小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有。
　　例3.直立轻弹簧的下端与水平地面上质量为的甲木块连接，轻弹簧上端静止于点（如图4.1所示），再将质量也为的乙木块与弹簧的上端连接。当甲、乙及弹簧均处于静止状态时，弹簧上端位于B（图如4.2所示）。现用力向下压乙，当弹簧上端下降到点时将弹簧锁定，两点间的距离为。一个质量为的小球丙从距离乙正上方处自由落下（如图4.3所示），当丙与乙刚接触时，弹簧立即被解除锁定，之后，丙与乙发生弹性碰撞（碰撞时间极短），碰撞后取走小球丙，当甲第一次刚离开地面时，乙的速度为，求从弹簧被解除锁定至甲第一次刚离开地面时，弹簧弹性势能的改变量。
　　碰后，乙立即以的速度从C点向下运动，从此时起直到甲第一次刚离开地面的时间内，乙在自身重量和弹簧弹力的共同作用下以B点为平衡位置做简谐运动。
　　例4.利用传感器和计算机可以测量快速变化的力，如图（5）所示，是用这种方法获得的弹性绳中拉力随时间的变化曲线，实验时，把小球举到绳子的悬点处，然后让小球自由下落，从此曲线所提供的信息，判断以下说法正确的是：
　　A.时刻小球速度最大 B.时刻绳子最长
　　C.时刻小球动能最小 D.时刻绳子最长
　　解析：从图象中可以看出，弹性绳在这段时间内松弛，这段时间内弹力逐渐增大，由于物体还受到向下的重力，，为弹力，所以加速度先減小后增大，速度先增大后减小，时间内弹力逐渐减小，加速度先向下减小后向上增大，至时刻，弹性绳处于原长。所以本题正确选项是（B）。
　　三、练习
　　1.如图（6）所示，一根轻弹簧竖直直立在水平地面上，下端固定，在弹簧的正上方有一物块，物块从高处自由下落到弹簧上端，将弹簧压缩，当弹簧被压缩了 时，物块的速度变为零，从物块与弹簧接触开始，物块加速度的大小随下降的位移变化的图象可能是下图中的。
　　解析：本题涉及到简谐运动过程中物理量的对称性。关键是要找准平衡位置，方法是假设法。
　　假定物体由原长处自由释放，则物体速度为零的位置距原长设为。物体平衡位置应在处。因现在该物体是从原长上方某处自由落体，所以与弹簧接触时已经具有一定的速度，在物块以后运动中，与前面的假定比较可知，当物体速度为零时，离原长距离与比较可知，又由于物体平衡位置固定不变，所以物体加速度的位置距原长应。又由于，在假定中处，所以在处物体加速度，所以本题正确选项是（D）。
　　2.质量为m的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为，如图（7）所示。一物体从钢板正上方距离为的处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，已知物体质量也为时，它们恰能回到点。若物块质量为2m，仍从处自由落下，则物块与钢板回到点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。
　　解析：本题中涉及到物块与钢板碰撞后，与弹簧组成的系统机械能守恒的问题，所以该题中涉及到弹性势能的表达式，所以这类题目其实明确暗示了该题中给出的状态及过程的选取，即选项原状态，保证弹性势能的值不发生变化。
　　当质量为2m的物块与钢板一起回到点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力作用，加速度为，由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为，故在点物块与钢板分离，分离后，物块以速度竖直上升，则由以上各式解得物体向上运动所到最高点与点的距离为：。