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【摘要】数学理解一直是国内外数学研究的一个热点话题。多年来众多研究者运用不同的方法和手段对数学理解进行研究并得到了一些成果。笔者通过总结国内研究者的研究成果得出，数学理解过程主要是一个数学知识同化顺应的过程，数学理解的层次主要是一个由浅入深的层次，数学理解的功能主要是有利于教学策略和学习策略的制定，数学理解的评价主要是运用多种方法综合评价，数学理解的特征主要有生成性、发展性、过程性、默会性、复杂性、广泛性、循环性。其中数学理解的过程、层次、功能这三方面的研究较为透彻，但是对数学理解的评价、特征这二方面仍需进一步努力。
【关键词】数学理解 特征 过程 评价 层次
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0062-02
一、引言
数学理解是数学学习活动的重要环节，是学生掌握和运用数学知识的关键，也是制定教学策略和学习策略的关键。因此一直以来国内都非常重视对它的研究。张文辉、王光明认为数学理解首先能够促进学生对于数学知识的记忆；其次可以促进学生进一步的学习新的知识；最后它可以影响学生的信念[1]。皮磊、崔宏宇认为学习数学最重要的是要了解数学知识的本质，而加强数学理解是加强数学知识本质理解的重要途径。吕林海认为数学理解能够提高学生的思维能力和解答社会问题能力[2]。杨泽忠认为数学理解直接服务于实际数学教学，对数学实践有很大的指导意义[3]。张春光认为数学概念的理解能够提高学生学习新知识的能力[4]。牛腾认为数学概念的理解能够促进学生掌握数学知识、提高数学素养[5]。
二、关于数学理解的研究
1.数学理解的特征
吕林海认为数学理解具有生成性和发展性。主要表现在三个方面：首先，理解不是一种或有或无的现象，实际上所有复杂的数学概念、数学命题都可以在一定层面上以完全不同的方式被理解。其次，知识的高度结构化、网络化加强了理解的生成性。最后，当在不同的问题情境中灵活而反复地运用同一知识时，与这一知识相关的各种联结将更加丰富、更加牢固，从而个体的理解也获得进一步发展[2]。王瑞霖、綦春认为数学理解具有过程性、默会性和层次性。刘良华认为数学理解有三个特点：首先数学理解的过程是内部思维活动与外部语言表达相结合的过程，其次数学理解的发展呈波浪式，第三数学理解具有超越性。毕力格图、史宁中、马云鹏认为数学理解具有主体性、相对性、差异性和循环性等基本特征[6]。李少保认为数学理解具有复杂性、动态性、广泛性和发展性四个特征。
2.数学理解的过程
于新华、杨之总结认为数学理解的过程是新的数学信息经过同化顺应到已有的认知结构当中，并且同化顺应了的知识再反作用于新的数学信息和新的同化顺应过程[7]。杨泽忠认为数学理解的过程是知识被个体认知之后通过积极地派生类属学习和数学推演活动与原认知结构中的相关知识建立起纵向的和横向的联系的过程，这过程有两部分构成， 一部分是“往”的过程， 一部分是“返”的过程，在“往”过程， 学生进行派生类属学习， 建立起纵向联系， 在“返”过程， 学生利用旧知识推演新知识的例子， 建立起横向联系[3]。张春光认为：中学生数学概念认知理解的过程实际上是一个基于新数学概念的特点在头脑中进行双向操作的过程[4]。牛腾认为：数学理解心理过程一部分联系是新概念主动联系旧概念，如新概念与上位概念和上上位概念之间的联系；一部分是旧概念主动联系新概念，如新概念与上位概念的相关概念的下位概念之间的联系[5]。马复认为：数学的理解过程是一个智力认知过程，在各种数学活动过程中构建自己对于学习对象的理解[8]。
3.数学理解的层次
田万海认为数学理解经过初步理解、确切理解和深刻理解这三个阶段[9]。徐彦辉认为数学理解包括记忆性理解、解释性理解和探究性理解这三个层次。周建华将数学理解分为直接性理解、解释性理解、推断性理解和创造性理解四个层次。吕林海把理解分为经验性理解、形式化理解、结构化理解、文化感悟与理解四个层次。于新华把理解分为零层次、常识性层次、逻辑层次、观念性层次、无尽的层次五个层次。于秀慧把理解分为经验型认识阶段、形式化认识阶段、关系型认识阶段、观念型认识阶段四个层次。钟志华把理解分为识记性理解、操作性理解、直觉性理解和分析性理解四个层次。贺真真把理解分为操作性记忆、概念性记忆、解释性理解和探究性理解四个层次。王瑞霖、綦春霞认为理解包括表象理解、解释理解、建立联系、思想运用和创造生成五个层次。刘良华把数学理解从横向分析分为解释说明、自我阐释、应用迁移、批判洞察、移情体验和自我反思这六个层次。向先应认为数学理解是具有层次性的，可分为前理解、误解、不充分理解、理解和后理解五个层次。
4.数学理解的评价
吕林海认为可以用三个假设对数学理解进行评价：首先评价应当被视作一个不间断地过程；其次评价应当包含课堂交流和书面作品；第三评价应当既运用非正规评价也运用正规评价，非正规评价主要是通过学生的活动与行为来进行评价，正规评价主要是通过学生知道什么来进行评价，比如说学习成绩[2]。杨慧卿认为对数学理解的评价宜采取定性和定量相结合的方法--加权求和法。主要有3个步骤：利用古林法确定权重；确定评价对象数学理解各因素的分值；计算数学理解水平值。蔡瑾认为数学理解水平是不能单纯用成绩来评定的，对数学理解进行评价应该应用定性和定量相结合的方法。定性评价是根据学生的现实表现和状态来观察分析的评价模式，这种评价模式是专业人士根据所学知识、现有的工作经验和自身的主观判断能力进行表决，从而给出一个等级和一些相应的评语。定量评价是采用数学方法的评价即利用数据进行直观的划分和区别。王新兵认为数学理解的过程常常不是一蹴而就的，而是历经周折、盘旋深入的，要考查学习者对数学知识的理解程度，应作多次的跟踪测量，称为多次跟踪测量法[10]。 三、数学理解研究评述
尽管数学理解的研究工作一直备受重视并且取得了一些成果，但是在许多方面仍需要进一步的努力。
首先，数学理解的过程。当前对于数学理解过程的定义有一个共同的特点就是数学理解过程都与内部的认知结构有关系，都可以看做是数学知识在大脑中同化顺应的过程。但是数学理解的过程研究仍存在不足。首先，并没有说明知识在大脑内部是怎样重组形成网络结构的。其次，数学理解的过程是一个内部心理的过程，大多研究者都只是理论研究，并没有进行实践验证。第三，有的研究者说的过于笼统，文章中出现的名词并没有给出明确的解释。因此，笔者希望在这方面的研究应该运用理论与实践相结合的方法，用数据得出可信度更高的结果而不只是纸上谈兵。杨泽忠、张春光、牛腾通过具体的实践调查研究得出了数学理解的心理过程，笔者认为可信度比较高。
其次，数学理解的层次。当前对于数学理解层次这方面的研究已经得到了很多的成果，但是很多都是表面文字不同而表达的意思是一样的，从国内研究者给出的数学理解层次来看，可以归结于由浅入深的理解层次这一个说法。这方面的研究也有一些不足，首先，研究者大都沿用前人的研究思路和方式，创新性严重不足。其次，研究得出的各种层次并没有给出具体的表现特征，这让我们很难界定学生到底处于理解的哪一个层次。笔者希望研究者能够运用新的研究思路，全面的分析数学理解的层次，不要拘泥于现有的研究成果。
第三，数学理解的特征。当前对数学理解特征这方面的研究很少，总结当前国内研究者的看法，数学理解具有生成性、过程性、默会性、发展性、复杂性、广泛性、循环性。数学理解特征这方面虽然研究较少，但也存在一些不足。首先，研究者对相同性质的说法各不相同，比如说吕林海和李少保都认为数学理解具有发展性，但是通过综述可以看出他们对发展性的解释各不相同。其次，有的性质和数学理解的过程混为一谈，比如说波浪式、发展性都类似于数学理解过程。针对数学理解特征研究较少这个问题，笔者认为研究者应该多加的对这方面进行研究，得出可靠性更好的数学理解特征，这对于数学理解其它方面的研究都有很大的推动作用。
第四，数学理解的评价。数学理解评价和数学理解特征一样，当前的研究与论述并不是很多，国内研究者的主要观点是不能用单一的评价方式而应该进行综合评价，比如说定性评价定量评价相结合和正规评价和非正规评价相结合。笔者认为当前数学理解评价最大的不足是并没有给出一个严格的评价标准，这让我们很难对学生进行有效的评价，运用当前现有的这些评价标准可能产生较大的误差。因此，笔者希望在数学理解评价这方面，研究者们能够朝着误差最小、耗时最少等这些方面努力。
参考文献：
[1]张文辉，王光明.数学认知理解的研究综述[J].曲阜师范大学学报，2005.
[2]吕林海.数学理解之面面观[J].中学数学教学参考，2003.
[3]杨泽忠.关于数学理解过程的调查研究[J].数学教育学报，2012，12.
[4]张春光.中学生数学概念认知理解过程研究[D].山东师范大学，2011.
[5]牛腾.初中生深刻理解数学概念的心理过程研究[D].山东师范大学，2013.
[6]毕力格图，史宁中，马云鹏.基于数学教育观的理解之理解[J].东北师大学报， 2011，2.
[7]于新华，杨之.数学理解的层次性及其教学意义[J].数学教育学报，2005，5（2）.
[8]马复.试论数学理解的两种类型[J].数学教育学报，2001，10（3）：50-53.
[9]田万海.数学教育学[M].杭州：浙江教育出版社，1993.88-89.
[10]王新兵.关于数学学习中的理解问题评述[J].数学教育学报，2008，10.
【关键词】数学理解 特征 过程 评价 层次
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）10-0062-02
一、引言
数学理解是数学学习活动的重要环节，是学生掌握和运用数学知识的关键，也是制定教学策略和学习策略的关键。因此一直以来国内都非常重视对它的研究。张文辉、王光明认为数学理解首先能够促进学生对于数学知识的记忆；其次可以促进学生进一步的学习新的知识；最后它可以影响学生的信念[1]。皮磊、崔宏宇认为学习数学最重要的是要了解数学知识的本质，而加强数学理解是加强数学知识本质理解的重要途径。吕林海认为数学理解能够提高学生的思维能力和解答社会问题能力[2]。杨泽忠认为数学理解直接服务于实际数学教学，对数学实践有很大的指导意义[3]。张春光认为数学概念的理解能够提高学生学习新知识的能力[4]。牛腾认为数学概念的理解能够促进学生掌握数学知识、提高数学素养[5]。
二、关于数学理解的研究
1.数学理解的特征
吕林海认为数学理解具有生成性和发展性。主要表现在三个方面：首先，理解不是一种或有或无的现象，实际上所有复杂的数学概念、数学命题都可以在一定层面上以完全不同的方式被理解。其次，知识的高度结构化、网络化加强了理解的生成性。最后，当在不同的问题情境中灵活而反复地运用同一知识时，与这一知识相关的各种联结将更加丰富、更加牢固，从而个体的理解也获得进一步发展[2]。王瑞霖、綦春认为数学理解具有过程性、默会性和层次性。刘良华认为数学理解有三个特点：首先数学理解的过程是内部思维活动与外部语言表达相结合的过程，其次数学理解的发展呈波浪式，第三数学理解具有超越性。毕力格图、史宁中、马云鹏认为数学理解具有主体性、相对性、差异性和循环性等基本特征[6]。李少保认为数学理解具有复杂性、动态性、广泛性和发展性四个特征。
2.数学理解的过程
于新华、杨之总结认为数学理解的过程是新的数学信息经过同化顺应到已有的认知结构当中，并且同化顺应了的知识再反作用于新的数学信息和新的同化顺应过程[7]。杨泽忠认为数学理解的过程是知识被个体认知之后通过积极地派生类属学习和数学推演活动与原认知结构中的相关知识建立起纵向的和横向的联系的过程，这过程有两部分构成， 一部分是“往”的过程， 一部分是“返”的过程，在“往”过程， 学生进行派生类属学习， 建立起纵向联系， 在“返”过程， 学生利用旧知识推演新知识的例子， 建立起横向联系[3]。张春光认为：中学生数学概念认知理解的过程实际上是一个基于新数学概念的特点在头脑中进行双向操作的过程[4]。牛腾认为：数学理解心理过程一部分联系是新概念主动联系旧概念，如新概念与上位概念和上上位概念之间的联系；一部分是旧概念主动联系新概念，如新概念与上位概念的相关概念的下位概念之间的联系[5]。马复认为：数学的理解过程是一个智力认知过程，在各种数学活动过程中构建自己对于学习对象的理解[8]。
3.数学理解的层次
田万海认为数学理解经过初步理解、确切理解和深刻理解这三个阶段[9]。徐彦辉认为数学理解包括记忆性理解、解释性理解和探究性理解这三个层次。周建华将数学理解分为直接性理解、解释性理解、推断性理解和创造性理解四个层次。吕林海把理解分为经验性理解、形式化理解、结构化理解、文化感悟与理解四个层次。于新华把理解分为零层次、常识性层次、逻辑层次、观念性层次、无尽的层次五个层次。于秀慧把理解分为经验型认识阶段、形式化认识阶段、关系型认识阶段、观念型认识阶段四个层次。钟志华把理解分为识记性理解、操作性理解、直觉性理解和分析性理解四个层次。贺真真把理解分为操作性记忆、概念性记忆、解释性理解和探究性理解四个层次。王瑞霖、綦春霞认为理解包括表象理解、解释理解、建立联系、思想运用和创造生成五个层次。刘良华把数学理解从横向分析分为解释说明、自我阐释、应用迁移、批判洞察、移情体验和自我反思这六个层次。向先应认为数学理解是具有层次性的，可分为前理解、误解、不充分理解、理解和后理解五个层次。
4.数学理解的评价
吕林海认为可以用三个假设对数学理解进行评价：首先评价应当被视作一个不间断地过程；其次评价应当包含课堂交流和书面作品；第三评价应当既运用非正规评价也运用正规评价，非正规评价主要是通过学生的活动与行为来进行评价，正规评价主要是通过学生知道什么来进行评价，比如说学习成绩[2]。杨慧卿认为对数学理解的评价宜采取定性和定量相结合的方法--加权求和法。主要有3个步骤：利用古林法确定权重；确定评价对象数学理解各因素的分值；计算数学理解水平值。蔡瑾认为数学理解水平是不能单纯用成绩来评定的，对数学理解进行评价应该应用定性和定量相结合的方法。定性评价是根据学生的现实表现和状态来观察分析的评价模式，这种评价模式是专业人士根据所学知识、现有的工作经验和自身的主观判断能力进行表决，从而给出一个等级和一些相应的评语。定量评价是采用数学方法的评价即利用数据进行直观的划分和区别。王新兵认为数学理解的过程常常不是一蹴而就的，而是历经周折、盘旋深入的，要考查学习者对数学知识的理解程度，应作多次的跟踪测量，称为多次跟踪测量法[10]。 三、数学理解研究评述
尽管数学理解的研究工作一直备受重视并且取得了一些成果，但是在许多方面仍需要进一步的努力。
首先，数学理解的过程。当前对于数学理解过程的定义有一个共同的特点就是数学理解过程都与内部的认知结构有关系，都可以看做是数学知识在大脑中同化顺应的过程。但是数学理解的过程研究仍存在不足。首先，并没有说明知识在大脑内部是怎样重组形成网络结构的。其次，数学理解的过程是一个内部心理的过程，大多研究者都只是理论研究，并没有进行实践验证。第三，有的研究者说的过于笼统，文章中出现的名词并没有给出明确的解释。因此，笔者希望在这方面的研究应该运用理论与实践相结合的方法，用数据得出可信度更高的结果而不只是纸上谈兵。杨泽忠、张春光、牛腾通过具体的实践调查研究得出了数学理解的心理过程，笔者认为可信度比较高。
其次，数学理解的层次。当前对于数学理解层次这方面的研究已经得到了很多的成果，但是很多都是表面文字不同而表达的意思是一样的，从国内研究者给出的数学理解层次来看，可以归结于由浅入深的理解层次这一个说法。这方面的研究也有一些不足，首先，研究者大都沿用前人的研究思路和方式，创新性严重不足。其次，研究得出的各种层次并没有给出具体的表现特征，这让我们很难界定学生到底处于理解的哪一个层次。笔者希望研究者能够运用新的研究思路，全面的分析数学理解的层次，不要拘泥于现有的研究成果。
第三，数学理解的特征。当前对数学理解特征这方面的研究很少，总结当前国内研究者的看法，数学理解具有生成性、过程性、默会性、发展性、复杂性、广泛性、循环性。数学理解特征这方面虽然研究较少，但也存在一些不足。首先，研究者对相同性质的说法各不相同，比如说吕林海和李少保都认为数学理解具有发展性，但是通过综述可以看出他们对发展性的解释各不相同。其次，有的性质和数学理解的过程混为一谈，比如说波浪式、发展性都类似于数学理解过程。针对数学理解特征研究较少这个问题，笔者认为研究者应该多加的对这方面进行研究，得出可靠性更好的数学理解特征，这对于数学理解其它方面的研究都有很大的推动作用。
第四，数学理解的评价。数学理解评价和数学理解特征一样，当前的研究与论述并不是很多，国内研究者的主要观点是不能用单一的评价方式而应该进行综合评价，比如说定性评价定量评价相结合和正规评价和非正规评价相结合。笔者认为当前数学理解评价最大的不足是并没有给出一个严格的评价标准，这让我们很难对学生进行有效的评价，运用当前现有的这些评价标准可能产生较大的误差。因此，笔者希望在数学理解评价这方面，研究者们能够朝着误差最小、耗时最少等这些方面努力。
参考文献：
[1]张文辉，王光明.数学认知理解的研究综述[J].曲阜师范大学学报，2005.
[2]吕林海.数学理解之面面观[J].中学数学教学参考，2003.
[3]杨泽忠.关于数学理解过程的调查研究[J].数学教育学报，2012，12.
[4]张春光.中学生数学概念认知理解过程研究[D].山东师范大学，2011.
[5]牛腾.初中生深刻理解数学概念的心理过程研究[D].山东师范大学，2013.
[6]毕力格图，史宁中，马云鹏.基于数学教育观的理解之理解[J].东北师大学报， 2011，2.
[7]于新华，杨之.数学理解的层次性及其教学意义[J].数学教育学报，2005，5（2）.
[8]马复.试论数学理解的两种类型[J].数学教育学报，2001，10（3）：50-53.
[9]田万海.数学教育学[M].杭州：浙江教育出版社，1993.88-89.
[10]王新兵.关于数学学习中的理解问题评述[J].数学教育学报，2008，10.