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“经历”、“过程”、“探索”、“发现”是新课标中出现频率最多的词，在“经历----过程”中，学生必然要以探索者的身份出现，而探索是发现问题的温床，是培养学生创新意识、创新能力的土壤。但在数学课堂教学中，暴露和展现数学思维过程，让学生从“经历---过程”到发现，并非易事，因此，本文以“反比例函数的图像和性质的教学”这一实例深入探讨。
1.实际操作，探索图像
利用函数图像来探讨函数的性质是重要的数学的思想方法。首先与学生重温画函数图像三步曲。
师：若画反比例函数 的图像，第一步做什么？
生：列表，选取适当的自变量值，算出对应的函数值。
我在巡视中发现有的学生只选取了正值，有的选取的数值没有对称性等。我立即追问：怎样的数值才为适当？同学们对解析式初步梳理后，选取了自变量-3，-2，-1，1，2，3，都能自觉地避开0。但在描点连线时，有不少学生连成折线，图像“起角”，短、断，没有无限伸展的形象，有的同学甚至将（-1，-2）和（1，2）两点也连了起来。
由于直线的负迁移，干扰画反比例函数图象，学生陷入思维误区，出现各种错误实不足为奇，这些典型的错误，也是展现思维过程的良机，教师要灵活机智抓住机会去引导，让学生“经历---过程”，实现认识上的升华。
师：图象（指图1）的走向、趋势明显吗？为什么会这样？
生：不明显，因为描的点太少。
在教师的引导下，学生经观察得：当自变量取值的绝对值越来越大时，描出的点越来越靠近 轴；反之，描出的点越来越靠近 轴。
师：点的走向明确了，那么函数的图象就是这两条折线吗？（学生在思考，停顿片刻）。
师：如果将自变量1、2的距离折半，算出对应值后描出的对应点在哪里？
生1：可以验证一下，经过点（1，2）与（2，1）的折线段所在的函数表达式是 ，折半后的对应点A（ ， ）在函数 的图象上，但不在折线段 上，所以，这条折线（图2）肯定不是反比例函数 的图象。
生2：那将这三点连起来不就行了吗？
师：如果顺次连结此三点，会是什么形状？
生3：依然是折线。
师：是否就是反比例函数图象真面目？
生：不是，仍有函数对应点落在折线外。
师：那可否一网打尽呢？
生：描的点之间的间隔小点再小点。
师：对了！如果我们将自变量1至2间的距离不断折半，即 ， ， ，……，计算出相应的函数值，由此描出的点相隔就很紧密，将它们连起来，同学们想象一下，变为什么？（图3）。
“平滑曲线”，同学们异口同声地说。（他们联想到了正多边形过渡到圆的情形）。“平滑曲线”终在一翻经历后生成。
请同学们画出函数 的图象。
这次虽有平滑效果，但新毛病来了：图象卷尾、翘起、与坐标轴相交，表面上看是由于粗心描点造成的偏差，实际上病根在 “数理”未理通，故而缺乏对图象走势的宏观把握。这时必须引领学生从“数”这一根本点出发去经历这一核心变化过程，方能入微。类似的误解还有：双曲线与坐标轴永不相交，它们必在很远的地方平行。的确，单靠描点、手绘在技术上很难避免在很远的地方平行的嫌疑，不能单靠“形”解决问题，需回归到“数”，经历数形结合是必不可少的。
2.探索特征，发现性质
认识和掌握图形的性质，也要让学生“经历……过程”，探索、发现特征，体验快乐。
师：请同学们仔细观察双曲线，能发现它的其它特征吗？
生4：双曲线是关于原点对称的中心对称图形。
师：你是怎样发现的？能否论证它？
生4：我是看图形估计的。
生5：我能论证，在表中，发现点（3， ）与（-3， ），（2，1）与（-2，-1），（1，2）与（-1，-2）都是关于原点对称的。
生6：点（ ， ）和（ ， ）都在函数 的图象上，它们关于原点对称。
师：对，那么其它双曲线是否也有此对称？它们都在第一、三象限吗？
在探究反比例函数性质的过程中，让学生观察图形必不可少，但不能将对函数的认识完全等价于对其图形的认识，教师应引领学生以“数”与“形”的转化为途径，把两者结合起来，经历分析、探究、归纳、概括的认知过程。最后，同学们顺利总结出： 图象 >0时在第一、三象限， <0时在第二、四象限。
3. 激发情智，深入探索
为了培养学生不畏艰难的思维品质和勇于探索的精神，我继续引导，提出问题，激发学生去探索发现。
师：正比例函数 和一次函数 中的系数 都是有几何意义，反比例函数 中的 是否也有几何意义呢？
生：从函数 ， 的图象可看出， 的值较大，图象接近坐标轴的速度就较慢。
师：说得好！那 取负值时，也是这样吗？
生：| |越大，图象逼近横坐标轴的速度越慢，反之越快。
师：说得没错，还有更直观具体的表现吗？
学生出现了思维盲点。此时，教师该出手点拨一下，帮助学生构建“悟场”，把学生的思维引向连接点。
师：反比例函数的表达式 通过变形会有什么发现呢？
学生经过分析思考，终于回话了。
生：将表达式变形为 ，表明图象上任一点的横坐标与纵坐标的积是一个常数。
师：两个数的积，让我们联想到平面图形的面积。这个常数 能否用图形面积表示？
生：从图象上任一点作两坐标轴的垂线段，两者与两坐标轴围成的矩形面积就是 。
师：若 是负数呢？
生（顿悟）：应是| |。师：同学们真了不起，挖掘出了课本没有提到的 的几何意义。
“经历......过程”，必然伴随着探索，两者是孪生姊妹，密不可分。探索是数学教学的生命线，肯探索必然有发现！数学课堂教学只有让学生经历探索发现的过程，才能更有效地使学生获得数学知识、技能以及对数学思维的全面理解和体验。
1.实际操作，探索图像
利用函数图像来探讨函数的性质是重要的数学的思想方法。首先与学生重温画函数图像三步曲。
师：若画反比例函数 的图像，第一步做什么？
生：列表，选取适当的自变量值，算出对应的函数值。
我在巡视中发现有的学生只选取了正值，有的选取的数值没有对称性等。我立即追问：怎样的数值才为适当？同学们对解析式初步梳理后，选取了自变量-3，-2，-1，1，2，3，都能自觉地避开0。但在描点连线时，有不少学生连成折线，图像“起角”，短、断，没有无限伸展的形象，有的同学甚至将（-1，-2）和（1，2）两点也连了起来。
由于直线的负迁移，干扰画反比例函数图象，学生陷入思维误区，出现各种错误实不足为奇，这些典型的错误，也是展现思维过程的良机，教师要灵活机智抓住机会去引导，让学生“经历---过程”，实现认识上的升华。
师：图象（指图1）的走向、趋势明显吗？为什么会这样？
生：不明显，因为描的点太少。
在教师的引导下，学生经观察得：当自变量取值的绝对值越来越大时，描出的点越来越靠近 轴；反之，描出的点越来越靠近 轴。
师：点的走向明确了，那么函数的图象就是这两条折线吗？（学生在思考，停顿片刻）。
师：如果将自变量1、2的距离折半，算出对应值后描出的对应点在哪里？
生1：可以验证一下，经过点（1，2）与（2，1）的折线段所在的函数表达式是 ，折半后的对应点A（ ， ）在函数 的图象上，但不在折线段 上，所以，这条折线（图2）肯定不是反比例函数 的图象。
生2：那将这三点连起来不就行了吗？
师：如果顺次连结此三点，会是什么形状？
生3：依然是折线。
师：是否就是反比例函数图象真面目？
生：不是，仍有函数对应点落在折线外。
师：那可否一网打尽呢？
生：描的点之间的间隔小点再小点。
师：对了！如果我们将自变量1至2间的距离不断折半，即 ， ， ，……，计算出相应的函数值，由此描出的点相隔就很紧密，将它们连起来，同学们想象一下，变为什么？（图3）。
“平滑曲线”，同学们异口同声地说。（他们联想到了正多边形过渡到圆的情形）。“平滑曲线”终在一翻经历后生成。
请同学们画出函数 的图象。
这次虽有平滑效果，但新毛病来了：图象卷尾、翘起、与坐标轴相交，表面上看是由于粗心描点造成的偏差，实际上病根在 “数理”未理通，故而缺乏对图象走势的宏观把握。这时必须引领学生从“数”这一根本点出发去经历这一核心变化过程，方能入微。类似的误解还有：双曲线与坐标轴永不相交，它们必在很远的地方平行。的确，单靠描点、手绘在技术上很难避免在很远的地方平行的嫌疑，不能单靠“形”解决问题，需回归到“数”，经历数形结合是必不可少的。
2.探索特征，发现性质
认识和掌握图形的性质，也要让学生“经历……过程”，探索、发现特征，体验快乐。
师：请同学们仔细观察双曲线，能发现它的其它特征吗？
生4：双曲线是关于原点对称的中心对称图形。
师：你是怎样发现的？能否论证它？
生4：我是看图形估计的。
生5：我能论证，在表中，发现点（3， ）与（-3， ），（2，1）与（-2，-1），（1，2）与（-1，-2）都是关于原点对称的。
生6：点（ ， ）和（ ， ）都在函数 的图象上，它们关于原点对称。
师：对，那么其它双曲线是否也有此对称？它们都在第一、三象限吗？
在探究反比例函数性质的过程中，让学生观察图形必不可少，但不能将对函数的认识完全等价于对其图形的认识，教师应引领学生以“数”与“形”的转化为途径，把两者结合起来，经历分析、探究、归纳、概括的认知过程。最后，同学们顺利总结出： 图象 >0时在第一、三象限， <0时在第二、四象限。
3. 激发情智，深入探索
为了培养学生不畏艰难的思维品质和勇于探索的精神，我继续引导，提出问题，激发学生去探索发现。
师：正比例函数 和一次函数 中的系数 都是有几何意义，反比例函数 中的 是否也有几何意义呢？
生：从函数 ， 的图象可看出， 的值较大，图象接近坐标轴的速度就较慢。
师：说得好！那 取负值时，也是这样吗？
生：| |越大，图象逼近横坐标轴的速度越慢，反之越快。
师：说得没错，还有更直观具体的表现吗？
学生出现了思维盲点。此时，教师该出手点拨一下，帮助学生构建“悟场”，把学生的思维引向连接点。
师：反比例函数的表达式 通过变形会有什么发现呢？
学生经过分析思考，终于回话了。
生：将表达式变形为 ，表明图象上任一点的横坐标与纵坐标的积是一个常数。
师：两个数的积，让我们联想到平面图形的面积。这个常数 能否用图形面积表示？
生：从图象上任一点作两坐标轴的垂线段，两者与两坐标轴围成的矩形面积就是 。
师：若 是负数呢？
生（顿悟）：应是| |。师：同学们真了不起，挖掘出了课本没有提到的 的几何意义。
“经历......过程”，必然伴随着探索，两者是孪生姊妹，密不可分。探索是数学教学的生命线，肯探索必然有发现！数学课堂教学只有让学生经历探索发现的过程，才能更有效地使学生获得数学知识、技能以及对数学思维的全面理解和体验。