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【摘要】因式分解是中学数学的一个重要内容和方法,它具有题型小,灵活性大,综合性强,应用广泛等特点,同学们在熟练掌握因式分解的三种基本方法的基础上,再掌握一些技巧,对拓展学生的思维,提高解题能力是非常有益的。
【关键词】因式分解;技巧
Factorization techniques
Yuan Zhenglin
【Abstract】Factorization is an important element of secondary school mathematics and methods, it has the kinds of questions a small, flexible large, comprehensive and strong, widely used and so on, the students will have mastered the three basic methods of factorization-based on, and then master some skills, develop the students thinking, improved problem-solving ability is very useful.
【Key words】factorization; Skills
因式分解是中学数学的一个重要内容和方法,它具有题型小,灵活性大,综合性强,应用广泛等特点,因而导致学生在学习分式运算、解方程、解不等式以及某些数的运算中存在较大的困难。因此,同学们在熟练掌握因式分解的三种基本方法的基础上,再掌握一些技巧,对拓展学生的思维,提高解题能力是非常有益的,本文介绍几种因式分解的技巧,供同学们
参考。
1 巧添项,配成完全平方式
当二次三项式ax2+bx+c的二次项系数a等于1时,添项方法是加减一次项系数一半的平方,就能配减完全平方式。
例1:分解因式:x2-8x+12
解:原式=(x2-8x+16)-4
=(x-4)2-22
=(x-6)(x-2)
当二次项系数不为1时,先提取二次项系数后再配方。
例2:分解因式9x2-18x-16
解:原式=9(x2-2x+1)-25
=[3(x-1)]2-52
=(3x-8)(3x+2)
当二次项式含两个未知数时,把其中一个看作常数,再配方。
例3:分解因式4m2+8mn-5n2
解:原式=4[(m2+2mn+n2)-n2]-5n2
=4(m+n)2-9n2
=(2m-n)(2m+5n)
2 巧分组,改变多项式的结构
对于四项式以上的多项式的因式分解一般采用分组分解的方法,分组的目的在于使用公式,更重要的是为下一步分解创造条件。
例1:分解因式a4+4b2c2-a2b2-4a2c2
解法(一):原式=(a4-a2b2)+(4b2c2-4a2c2)
=a2(a2-b2)+4c2(b2-a2)
=(a-b)(a+b)(a+2c)(a-2c)
解法(二):原式=(a4-4a2c2)+(4b2c2-a2b2)
=a2(a2-4c2)+b2(4c2-a2)
=(a-4c2)(a2-b2)
=(a+2c)(a-2c)(a+b)(a-b)
例2:分解因式x4-4x3+4x2-9
解:原式=(x4-4x3+4x2)-9
=x2(x2-4x+4)-9
=[x(x-2)]2-32
=(x2-2x-3)(x2-2x+3)
=(x+1)(x-3)(x2-2x+3)
3 巧拆项,再分组分解
多项式的因式分解,当公式法、分组分解法均无效时,常需要考虑拆项,即把其中的某些项拆开,然后再去分组;拆项的目的是为了拆项后的分组仍可运用公式或其他手段分解因式。
例1:分解因式x3+2x2-3
解法(一)(拆二次项)原式=(x3-x2)+(3x2-3)
=x2(x-1)+3(x2-1)
=x2(x-1)+3(x-1)(x+1)
=(x-1)(x2+3x+3)
解法(二)(拆三次项)原式=(3x3-3)-(2x3-2x2)
=3(x3-1)-2x2(x-1)
=3(x-1)(x2+x+1)-2x2(x-1)
=(x-1)(x2+3x+3)
解法(三)(拆常数项)原式=(x3-1)+(2x2-2)
=(x-1)(x2+x+1)+2(x2-1)
=(x-1)(x2+x+1)+2(x-1)(x+1)
=(x-1)(x2+3x+3)
例2:分解因式a4+4
解:原式=a4+4a2+4-4a2
=(a2+2)2 -(2a)2
=(a2+2a+2)(a2-2a+2)
4 巧换元复杂问题简单化
用换元法分解因式,就是将复杂多项式的某一部分看作一个整体,用一个新字母(元)来代替,使原代数式变得简单、明朗,从而使得问题易于获解。
例1:分解因式(x2-3x+2)(x2-3x-4)-72
解法(一)设x2-3x=m,则原式=(m+2)(m-4)-72
=m2-2m-80
=(m-10)(m+8)
=(x2-3x-10)(x2-3x+8)
=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)
解法(二)设x2-3x+2=m,则原式=m(m-6)-72
=m2-6m-72
=(m+6)(m-12)
=(x2-3x+8)(x2-3x-10)
=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)
解法(三)设x2-3x-4=m,则原式=(m+6)m-72
=(m-6)(m+12)
=(x2-3x-10)(x2-3x+8)
=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)
例2:分解因式(x+y-2xy)(x+y-2)+(1-xy)2
解:设a=x+y,b=xy,则有:
原式=(a-2b)(a-2)+(1-b)2
=a2-2ab+b2-2a+2b+1
=(a-b)2-2(a-b)+1
=(a-b-1)2
=(x+y-xy-1) 2
=[(x-1)-3(x-1)]2
=[(x-1)(1-y)]2
=(x-1) 2(y-1)2
收稿日期:2009-12-11
【关键词】因式分解;技巧
Factorization techniques
Yuan Zhenglin
【Abstract】Factorization is an important element of secondary school mathematics and methods, it has the kinds of questions a small, flexible large, comprehensive and strong, widely used and so on, the students will have mastered the three basic methods of factorization-based on, and then master some skills, develop the students thinking, improved problem-solving ability is very useful.
【Key words】factorization; Skills
因式分解是中学数学的一个重要内容和方法,它具有题型小,灵活性大,综合性强,应用广泛等特点,因而导致学生在学习分式运算、解方程、解不等式以及某些数的运算中存在较大的困难。因此,同学们在熟练掌握因式分解的三种基本方法的基础上,再掌握一些技巧,对拓展学生的思维,提高解题能力是非常有益的,本文介绍几种因式分解的技巧,供同学们
参考。
1 巧添项,配成完全平方式
当二次三项式ax2+bx+c的二次项系数a等于1时,添项方法是加减一次项系数一半的平方,就能配减完全平方式。
例1:分解因式:x2-8x+12
解:原式=(x2-8x+16)-4
=(x-4)2-22
=(x-6)(x-2)
当二次项系数不为1时,先提取二次项系数后再配方。
例2:分解因式9x2-18x-16
解:原式=9(x2-2x+1)-25
=[3(x-1)]2-52
=(3x-8)(3x+2)
当二次项式含两个未知数时,把其中一个看作常数,再配方。
例3:分解因式4m2+8mn-5n2
解:原式=4[(m2+2mn+n2)-n2]-5n2
=4(m+n)2-9n2
=(2m-n)(2m+5n)
2 巧分组,改变多项式的结构
对于四项式以上的多项式的因式分解一般采用分组分解的方法,分组的目的在于使用公式,更重要的是为下一步分解创造条件。
例1:分解因式a4+4b2c2-a2b2-4a2c2
解法(一):原式=(a4-a2b2)+(4b2c2-4a2c2)
=a2(a2-b2)+4c2(b2-a2)
=(a-b)(a+b)(a+2c)(a-2c)
解法(二):原式=(a4-4a2c2)+(4b2c2-a2b2)
=a2(a2-4c2)+b2(4c2-a2)
=(a-4c2)(a2-b2)
=(a+2c)(a-2c)(a+b)(a-b)
例2:分解因式x4-4x3+4x2-9
解:原式=(x4-4x3+4x2)-9
=x2(x2-4x+4)-9
=[x(x-2)]2-32
=(x2-2x-3)(x2-2x+3)
=(x+1)(x-3)(x2-2x+3)
3 巧拆项,再分组分解
多项式的因式分解,当公式法、分组分解法均无效时,常需要考虑拆项,即把其中的某些项拆开,然后再去分组;拆项的目的是为了拆项后的分组仍可运用公式或其他手段分解因式。
例1:分解因式x3+2x2-3
解法(一)(拆二次项)原式=(x3-x2)+(3x2-3)
=x2(x-1)+3(x2-1)
=x2(x-1)+3(x-1)(x+1)
=(x-1)(x2+3x+3)
解法(二)(拆三次项)原式=(3x3-3)-(2x3-2x2)
=3(x3-1)-2x2(x-1)
=3(x-1)(x2+x+1)-2x2(x-1)
=(x-1)(x2+3x+3)
解法(三)(拆常数项)原式=(x3-1)+(2x2-2)
=(x-1)(x2+x+1)+2(x2-1)
=(x-1)(x2+x+1)+2(x-1)(x+1)
=(x-1)(x2+3x+3)
例2:分解因式a4+4
解:原式=a4+4a2+4-4a2
=(a2+2)2 -(2a)2
=(a2+2a+2)(a2-2a+2)
4 巧换元复杂问题简单化
用换元法分解因式,就是将复杂多项式的某一部分看作一个整体,用一个新字母(元)来代替,使原代数式变得简单、明朗,从而使得问题易于获解。
例1:分解因式(x2-3x+2)(x2-3x-4)-72
解法(一)设x2-3x=m,则原式=(m+2)(m-4)-72
=m2-2m-80
=(m-10)(m+8)
=(x2-3x-10)(x2-3x+8)
=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)
解法(二)设x2-3x+2=m,则原式=m(m-6)-72
=m2-6m-72
=(m+6)(m-12)
=(x2-3x+8)(x2-3x-10)
=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)
解法(三)设x2-3x-4=m,则原式=(m+6)m-72
=(m-6)(m+12)
=(x2-3x-10)(x2-3x+8)
=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)
例2:分解因式(x+y-2xy)(x+y-2)+(1-xy)2
解:设a=x+y,b=xy,则有:
原式=(a-2b)(a-2)+(1-b)2
=a2-2ab+b2-2a+2b+1
=(a-b)2-2(a-b)+1
=(a-b-1)2
=(x+y-xy-1) 2
=[(x-1)-3(x-1)]2
=[(x-1)(1-y)]2
=(x-1) 2(y-1)2
收稿日期:2009-12-11