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《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《新课标》)中数学课程总目标的首条是:通过义务教育阶段数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验,即获得“四基”。作为“四基”之一的数学基本思想,在《新课标》实施建议中指出:“感悟数学思想,积累数学活动经验”。为此,笔者仔细研读《新课标》,分析新版教材,结合教学实际,浅谈对小学数学基本思想的认识和分析。
一、对数学基本思想的认识
数学基本思想是指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性认识。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括,如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、结构、数形结合、随机……等。
1.数学基本思想和数学方法的区别与联系。
数学基本思想表现相对宏观,体现的是对数学对象的一种本质性认识;而数学方法受数学思想的制约,表现相对具体,具有程序性、步骤性、路径性和可操作性。例如归纳,从一般意义上讲,它表现为从特殊到一般的推理思想,但若具体用于一个具体命题结论的获得时,就是归纳法。
2.数学基本思想是数学的本质
早在近代科学的黎明时期,德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)就指出:数学的本质不在于它的对象,而在于它的思想方法。
一方面,纵观数学发展史,每一项重大的成果,无一不是首先在思想方法上得到突破和创新。如:笛卡尔的“坐标法”思想、伽罗华的“群论”思想、罗氏和黎氏的“非欧几何”思想等都证明了这一点。另一方面,无数事实也说明:一个人数学学习的优劣和数学才能的大小,往往不在于数学知识累积的多寡,而在于数学思想和方法的素养是否达到一定程度;一个人完成学业进入社会后,如果不是在与数学相关的领域工作,他学过的具体的数学定理和公式可能大多都用不到,若干年以后就渐渐忘记了,而学习数学知识的同时获得的数学思想,却一定会终生受益。
德国诺贝尔奖获得者、物理学家冯·劳厄:“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西”。也有学者通俗地把“数学思想”说成“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西”。可见,数学课堂教学应该是有思想的教学,有了思想才有了课堂的生命。
因此,数学基本思想是数学的本质,是数学课堂的生命。
二、基本思想在数学课程中的应用
《新课标》所提出的“数学基本思想”主要包括数学抽象的思想、数学推理的思想和数学建模的思想。以及演变、派生、发展出来的思想。如“数学建模的思想”派生出来的有:简化的思想、量化的思想、函数的思想、方程的思想、优化的思想、随机的思想、抽样统计的思想等等,这些思想广泛应用于数学课程中。如“抽象思想”和“推理思想”。
1.抽象思想。
抽象思想在数学课程内容中无处不在。所有概念、原理、公式、关系、结论都是数学抽象的结果。课程内容发生、发展的主线常靠不断的抽象来形成。如:义务教育阶段“数与代数”的课程内容。该部分内容的主线是:从数及数的运算到代数式及其运算,再到方程和解方程、函数……。在数的认识中,从数量抽象出数,并对数进行扩充;在数的运算中,从整数、小数、分数的四则运算到有理数的运算,乘方和开方运算等。体现了表示方法的抽象和运算的逐步抽象两个方面。在学生学习的过程中,这条主线的各部分,总体上不是线性排列和割裂的。
数学抽象思想派生出的有很多。如:分类的思想、数形结合的思想、对称的思想等等,它们都广泛应用到数学课程中。譬如“分类的思想”,《新课标》指出:“分类是一种重要的数学思想。”学习数学的过程中经常会遇到分类问题,如数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等。在研究数学问题中,常常需要通过分类讨论解决问题,分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中,要使学生逐步体会为什么要分类,如何分类,如何确定分类的标准,在分类的过程中如何认识对象的性质,如何区别不同对象的不同性质。
2.推理思想
《新课标》指出:“推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。
数学推理模式主要有合情推理与演绎推理两类。演绎推理主要用于中学的逻辑证明(这里不作分析)。合情推理常用于获得数学猜想,在数学发展中起着重要作用,在义务教育数学课程中有着广泛的运用。
合情推理主要指不完全归纳推理、类比推理等或然性的推理,其结论不一定成立。譬如“归纳推理”,它是以个别(或特殊)的知识为前提,推出一般性知识为结论的推理方法,是特殊到一般的方法。在小学教材中许多结论都是通过归纳推理得到的。如:数的交换律、结合律、分配率,分数的基本性质,圆的面积公式等等。再如“类比推理”,它是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似,推出它们在另一属性也相同或相似的一种推理方法,是从特殊到特殊的推理。在小学教材中通过类比推理得到结论的也有许多。如比的基本性质:教材中由学生回忆商不变的性质和分数的基本性质,通过比与除法、比与分数关系的类比,探讨出比的基本性质。
数学推理思想派生出的也很多。如:转换化归的思想、代换的思想、逐步逼近的思想等等,它们都广泛应用到数学课程中。譬如“转换化归的思想”,它是数学活动中广泛采用的最具有思维特色的思想方法,已成为多种数学方法的指导思想和原则。如计算小数乘小数1.2×0.6,先将1.2扩大10倍得12,0.6扩大10倍得6,再计算12×6=72,最后将72缩小100倍得0.72,从而算出1.2×0.6=0.72
三、基本思想在数学核心概念中的渗透
《新课标》提出了10个核心概念:数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、应用意识、创新意识。从本质上看,数学基本思想渗透在10个核心概念中。如:基本思想在“数感”、“运算能力”中的渗透。
1.数感。《新课标》指出:“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表述具体情境中的数量关系。”数感的建立是逐步从感性认识到理性认识发展的过程。这一过程离不开对数学基本思想(如抽象思想、推理思想)的感悟,建立在思想之上的數感才能发展成为更为良好的数感品质。
2.运算能力
《新课标》指出:运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题。
运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力,而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中,要力求做到善于分析运算条件,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,使运算符合算理,合理简洁。其本质仍然是思想方法的要求。
综上所述。数学基本思想是数学的本质,是课堂的生命。数学课程中处处有数学基本思想,数学基本思想渗透到数学课程的每个核心概念之中。教师在运用《新课标》新教材教学时,要善于挖掘教材中的思想要素,以适当的方式使学生感悟和注意教材中蕴含的数学基本思想,融数学基本思想的教学于数学知识内容的教学之中,精心设计有利于学生感悟数学思想的数学活动,在问题解决中突出数学基本思想,重视数学基本思想对内容的贯通性、统领性。真正落实数学课程的核心理念:“人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展”。
一、对数学基本思想的认识
数学基本思想是指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性认识。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括,如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、结构、数形结合、随机……等。
1.数学基本思想和数学方法的区别与联系。
数学基本思想表现相对宏观,体现的是对数学对象的一种本质性认识;而数学方法受数学思想的制约,表现相对具体,具有程序性、步骤性、路径性和可操作性。例如归纳,从一般意义上讲,它表现为从特殊到一般的推理思想,但若具体用于一个具体命题结论的获得时,就是归纳法。
2.数学基本思想是数学的本质
早在近代科学的黎明时期,德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)就指出:数学的本质不在于它的对象,而在于它的思想方法。
一方面,纵观数学发展史,每一项重大的成果,无一不是首先在思想方法上得到突破和创新。如:笛卡尔的“坐标法”思想、伽罗华的“群论”思想、罗氏和黎氏的“非欧几何”思想等都证明了这一点。另一方面,无数事实也说明:一个人数学学习的优劣和数学才能的大小,往往不在于数学知识累积的多寡,而在于数学思想和方法的素养是否达到一定程度;一个人完成学业进入社会后,如果不是在与数学相关的领域工作,他学过的具体的数学定理和公式可能大多都用不到,若干年以后就渐渐忘记了,而学习数学知识的同时获得的数学思想,却一定会终生受益。
德国诺贝尔奖获得者、物理学家冯·劳厄:“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西”。也有学者通俗地把“数学思想”说成“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西”。可见,数学课堂教学应该是有思想的教学,有了思想才有了课堂的生命。
因此,数学基本思想是数学的本质,是数学课堂的生命。
二、基本思想在数学课程中的应用
《新课标》所提出的“数学基本思想”主要包括数学抽象的思想、数学推理的思想和数学建模的思想。以及演变、派生、发展出来的思想。如“数学建模的思想”派生出来的有:简化的思想、量化的思想、函数的思想、方程的思想、优化的思想、随机的思想、抽样统计的思想等等,这些思想广泛应用于数学课程中。如“抽象思想”和“推理思想”。
1.抽象思想。
抽象思想在数学课程内容中无处不在。所有概念、原理、公式、关系、结论都是数学抽象的结果。课程内容发生、发展的主线常靠不断的抽象来形成。如:义务教育阶段“数与代数”的课程内容。该部分内容的主线是:从数及数的运算到代数式及其运算,再到方程和解方程、函数……。在数的认识中,从数量抽象出数,并对数进行扩充;在数的运算中,从整数、小数、分数的四则运算到有理数的运算,乘方和开方运算等。体现了表示方法的抽象和运算的逐步抽象两个方面。在学生学习的过程中,这条主线的各部分,总体上不是线性排列和割裂的。
数学抽象思想派生出的有很多。如:分类的思想、数形结合的思想、对称的思想等等,它们都广泛应用到数学课程中。譬如“分类的思想”,《新课标》指出:“分类是一种重要的数学思想。”学习数学的过程中经常会遇到分类问题,如数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等。在研究数学问题中,常常需要通过分类讨论解决问题,分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中,要使学生逐步体会为什么要分类,如何分类,如何确定分类的标准,在分类的过程中如何认识对象的性质,如何区别不同对象的不同性质。
2.推理思想
《新课标》指出:“推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。
数学推理模式主要有合情推理与演绎推理两类。演绎推理主要用于中学的逻辑证明(这里不作分析)。合情推理常用于获得数学猜想,在数学发展中起着重要作用,在义务教育数学课程中有着广泛的运用。
合情推理主要指不完全归纳推理、类比推理等或然性的推理,其结论不一定成立。譬如“归纳推理”,它是以个别(或特殊)的知识为前提,推出一般性知识为结论的推理方法,是特殊到一般的方法。在小学教材中许多结论都是通过归纳推理得到的。如:数的交换律、结合律、分配率,分数的基本性质,圆的面积公式等等。再如“类比推理”,它是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似,推出它们在另一属性也相同或相似的一种推理方法,是从特殊到特殊的推理。在小学教材中通过类比推理得到结论的也有许多。如比的基本性质:教材中由学生回忆商不变的性质和分数的基本性质,通过比与除法、比与分数关系的类比,探讨出比的基本性质。
数学推理思想派生出的也很多。如:转换化归的思想、代换的思想、逐步逼近的思想等等,它们都广泛应用到数学课程中。譬如“转换化归的思想”,它是数学活动中广泛采用的最具有思维特色的思想方法,已成为多种数学方法的指导思想和原则。如计算小数乘小数1.2×0.6,先将1.2扩大10倍得12,0.6扩大10倍得6,再计算12×6=72,最后将72缩小100倍得0.72,从而算出1.2×0.6=0.72
三、基本思想在数学核心概念中的渗透
《新课标》提出了10个核心概念:数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、应用意识、创新意识。从本质上看,数学基本思想渗透在10个核心概念中。如:基本思想在“数感”、“运算能力”中的渗透。
1.数感。《新课标》指出:“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表述具体情境中的数量关系。”数感的建立是逐步从感性认识到理性认识发展的过程。这一过程离不开对数学基本思想(如抽象思想、推理思想)的感悟,建立在思想之上的數感才能发展成为更为良好的数感品质。
2.运算能力
《新课标》指出:运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题。
运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力,而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中,要力求做到善于分析运算条件,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,使运算符合算理,合理简洁。其本质仍然是思想方法的要求。
综上所述。数学基本思想是数学的本质,是课堂的生命。数学课程中处处有数学基本思想,数学基本思想渗透到数学课程的每个核心概念之中。教师在运用《新课标》新教材教学时,要善于挖掘教材中的思想要素,以适当的方式使学生感悟和注意教材中蕴含的数学基本思想,融数学基本思想的教学于数学知识内容的教学之中,精心设计有利于学生感悟数学思想的数学活动,在问题解决中突出数学基本思想,重视数学基本思想对内容的贯通性、统领性。真正落实数学课程的核心理念:“人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展”。